二次形式

数学において、二次形式とは、すべての項が2次の多項式である（「形式」は同次多項式の別名である）。例えば、 $4x^{2}+2xy-3y^{2}$

は、変数 $x$ と $y$ の 2 次形式です。係数は通常、実数や複素数などの固定体 $Kに属し、$ $K$ 上の 2 次形式と呼ばれます。 $K$ $=$ $R$ であり、すべての変数が同時に 0 の場合にのみ 2 次形式が 0 になる場合、それは定常 2 次形式です。それ以外の場合は、等方 2 次形式です。

二次形式は、数論、線型代数、群論（直交群）、微分幾何学（リーマン計量、第 2 基本形式）、微分位相幾何学（多様体の交差形式、特に4 次元多様体）、リー理論（キリング形式）、統計学（平均ゼロの多変量正規分布の指数が二次形式になる）など、数学のさまざまな分野で中心的な位置を占めています。 $-\mathbf {x} ^{\mathsf {T}}{\boldsymbol {\Sigma }}^{-1}\mathbf {x}$

2 次形式は、変数が 1 つだけで、次数が 2 以下の項を含む2 次方程式と混同しないでください。2 次形式は、より一般的な概念である同次多項式の一例です。

導入

$二次形式は、 n$ 変数の同次二次多項式です。1 変数、2 変数、3 変数の場合は、単項、2 変数、3 変数と呼ばれ、明示的な形式は次のようになります。 ${\begin{aligned}q(x)&=ax^{2}&&{\textrm {(単項)}}\\q(x,y)&=ax^{2}+bxy+cy^{2}&&{\textrm {(二項)}}\\q(x,y,z)&=ax^{2}+bxy+cy^{2}+dyz+ez^{2}+fxz&&{\textrm {(三項)}}\end{aligned}}$

ここで $a$ ,..., $fは$ 係数である。^[1]

二次形式の理論とその研究に用いられる方法は、係数の性質に大きく依存しており、係数は実数または複素数、有理数、整数のいずれかである。線型代数、解析幾何学、および二次形式の応用の大部分において、係数は実数または複素数である。二次形式の代数理論では、係数は特定の体の元である。二次形式の算術理論では、係数は固定された可換環に属し、整数 $Z$ または $p$ 進整数 $Z p$ であることが多い。^[2] 2元二次形式は、数論、特に二次体、連分数、モジュラー形式の理論で広く研究されてきた $。n$ 変数の整二次形式の理論は、代数的位相幾何学に重要な応用がある。

同次座標を用いると、 $n$ 変数の非ゼロの二次形式は、 $(n - 1)$ 次元射影空間内の $($ $n$ $- 2)$ 次元二次形式を定義する。これは射影幾何学の基本的な構成である。このようにして、3 次元実二次形式を円錐曲線として視覚化することができる。例として、3 次元ユークリッド空間と、座標 $($ $x$ $、$ $y$ $、$ $z$ $)$ の点と原点の間の距離を表すユークリッドノルムの2 乗が示される。 $q(x,y,z)=d((x,y,z),(0,0,0))^{2}=\left\|(x,y,z)\right\|^{2}=x^{2}+y^{2}+z^{2}.$

幾何学的な意味合いを持つ密接に関連する概念に二次空間があります。これは $(V 、 q) の$ ペアで、 $V$ は体 $K$ 上のベクトル空間、 $q$ $:$ $V$ $\to$ $K は$ V上の二次形式です。ベクトル空間上の二次形式の定義については、以下の§ 定義を参照してください。

歴史

二次形式の研究、特に与えられた整数が整数上の二次形式の値になり得るかどうかという問題は、何世紀も前に遡る。そのような例の1つは、フェルマーの2平方和の定理であり、これは整数が $x 2 + y 2$ の形式で表現できる場合を決定する。ここで、 $x$ 、 $y$ は整数である。この問題は、紀元前2千年紀に登場したピタゴラスの数を求める問題に関連している。 ^[3]

628年、インドの数学者ブラフマグプタはブラフマスプタシッダーンタを著した。そこには、他の多くの事柄の中でも、 $x 2 - ny 2 = c の$ 形式の方程式の研究が含まれている。彼は現在ペル方程式と呼ばれる $x 2 - ny 2 = 1$ を考察し、その解法を発見した。^{[4]ヨーロッパでは、この問題は}ブラウンカー、オイラー、ラグランジュによって研究された。

1801年にガウスは『算術論』を出版したが、その大部分は整数上の2元二次形式の完全な理論に費やされていた。それ以来、この概念は一般化され、二次数体、モジュラー群、および数学の他の分野との関連がさらに解明された。

実二次形式

基本的な問題は、変数の線形変化の下での実二次形式の分類です。

ヤコビは、すべての実二次形式に対して、直交対角化が存在することを証明した。これは、変数の直交変換によって二次形式が「対角形式」になり、関連する対称行列が対角になるというものである。さらに、係数 $λ$ $1$ $、$ $λ$ $2$ $、...、$ $λ$ $n は$ 、順列を除いて一意に決定される。^[5] $\lambda _{1}{\tilde {x}}_{1}^{2}+\lambda _{2}{\tilde {x}}_{2}^{2}+\cdots +\lambda _{n}{\tilde {x}}_{n}^{2},$

変数変換が必ずしも直交しない可逆行列によって与えられる場合、すべての係数 $λ i$ は 0、1、または -1 であると仮定できます。シルベスターの慣性法則は、0、1、および -1 のそれぞれの数は、他の任意の対角化でそれぞれ同じ数だけ含まれるという意味で、二次形式の不変量であると規定しています。二次形式のシグネチャは 3 つの $(n 0 、 n + 、 n -)$ であり、これらの要素はそれぞれ 0 の数、1 の数、および -1 の数を数えます。シルベスターの慣性法則は、これが二次形式に付随する明確に定義された量であることを示しています。

$すべてのλ i が$ 同じ符号を持つ場合が特に重要です。この場合、二次形式は正定値（すべて1）または負定値（すべて-1）と呼ばれます。どの項も0でない場合、形式は非退化。これには正定値、負定値、等方性二次形式（1 と −1 の混合）が含まれます。同様に、非退化二次形式とは、関連する対称形式が非退化双線型形式 $(p 、 q)$ $の不定非退化二次形式（ p$ 1s および $q$ −1sを表すを持つ実ベクトル空間は、時空の物理理論では $R p 、 q$ と表記されることが多いです。

二次形式の判別式、具体的には $K / (K \times) 2$ (非ゼロの平方まで) の表現行列の行列式のクラスも定義でき、実二次形式の場合、は署名よりも粗い不変量であり、「正、ゼロ、または負」の値のみを取ります。ゼロは退化に対応し、非退化形式の場合、負の係数の数の偶奇 $(-1) n -$ です。

これらの結果は、以下で別の方法で再定式化されます。

$q を$ $n$ 次元実ベクトル空間上で定義された二次形式とする。A を与えられた基底における二次形式 $q$ の行列とする。これは、 $A$ $が$ 対称 $n$ $\times$ $n$ 行列であり、 x が選択された基底における $v$ の座標の列ベクトルであることを意味する。基底の変更により、列 $x は$ 左側で $n$ $\times$ $n$ の可逆行列 $S$ で乗算され、対称正方行列 $A$ は式に従って同じサイズの別の対称正方行列 $B$ に変換される。 $q(v)=x^{\mathsf {T}}Ax,$ $A\to B=S^{\mathsf {T}}AS.$

任意の対称行列 $Aは、直交行列$ $S を$ 適切に選択することで対角行列に変換でき、 $B$ の対角要素は一意に決まります。これがヤコビの定理です。 $S$ が任意の可逆行列である場合、 $B の$ 対角要素は 0、1、および -1 のみを持つようにすることができ、各タイプの要素の数 ( $0の場合は$ $n$ 0 、 1 の場合は $n$ $+$ 、 -1 の場合は $n$ $- ) は$ $A$ のみに依存します。これはシルベスターの慣性法則の定式化の 1 つであり、数 $n$ $+$ と $n$ $- は$ 、慣性の正のインデックスと負のインデックスと呼ばれます。それらの定義には、基底の選択と、対応する実対称行列 $A$ の考慮が含まれますが、シルベスターの慣性法則は、それらが二次形式 $q$ の不変量を意味しています。 $B={\begin{pmatrix}\lambda _{1}&0&\cdots &0\\0&\lambda _{2}&\cdots &0\\\vdots &\vdots &\ddots &0\\0&0&\cdots &\lambda _{n}\end{pmatrix}}$

二次形式 $q は$ 、任意の非零ベクトル $vに対して$ $q (v) > 0$ であれば正定値であり(同様に、 $q (v) < 0$ であれば負定値である) 。^[6] $q$ $($ $v$ $) が$ 正と負の両方の値をとる場合、 $q は$ 等方性二次形式である。ヤコビとシルベスターの定理は、 $n$ 変数の任意の正定値二次形式は、適切な可逆線形変換によって $n$ 平方の和にできることを示している。幾何学的には、あらゆる次元に正定値実二次形式は1 つしかない。その等長変換群はコンパクト直交群 $O($ $n$ $)$ である。これは、対応する群である不定値直交群 $O($ $p$ $,$ $q$ $)$ が非コンパクトである等方性形式の場合とは対照的である。さらに、 $Q$ と $-Q$ $の$ 等長変換群は同じ（ $O($ $p$ $,$ $q$ $)\approxO($ $q$ $,$ $p$ $)）$ ですが、関連するクリフォード代数（したがってピン群）は異なります。

定義

体 $K$ 上の二次形式とは、有限次元 $K$ ベクトル空間から $K$ への写像 $q$ $:$ $V$ $\to$ $K$ であって、すべての $a$ $\in$ $K$ 、 $v$ $\in$ $V$ に対して $q$ $($ $av$ $) =$ $a$ $2$ $q$ $($ $v$ $)$ が成り立ち、関数 $q$ $($ $u$ $+$ $v$ $) -$ $q$ $($ $u$ $) -$ $q$ $($ $v$ $)$ が双線型であるものをいう。

より具体的には、体 $K上の$ $n$ 元二次形式は、 $Kに係数を持つ$ $n$ 変数の 2 次同次多項式です。 $q(x_{1},\ldots ,x_{n})=\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}a_{ij}{x_{i}}{x_{j}},\quad a_{ij}\in K.$

この式は行列を使って書き直すことができる $。xを$ $x$ $1$ , ..., $x$ $n を$ 成分とする列ベクトルとし、 $A$ $= ($ $a$ $ij$ $)を各要素が$ $q$ の係数である $K$ 上の $n$ $\times$ $n$ 行列とする。すると $q(x)=x^{\mathsf {T}}Ax.$

ベクトル $v = (x 1, ..., x n)は、$ $q$ $($ $v$ $) = 0$ の場合、ヌルベクトルになります。

$K$ 上の2つの $n$ 次二次形式 $φ$ と $ψ は$ 、次の非特異線型変換 $C$ $\in$ $GL$ $($ $n$ $,$ $K$ $)が存在するとき$ 同値である。 $\psi (x)=\varphi (Cx).$

$K$ の特性が2 と異なるものとします^。[7] $q$ の係数行列 $A は$ 、同じ二次形式を持つ対称行列 $($ $A$ $+$ $A$ $T$ $)/2$ に置き換えることができるため、最初から $A$ が対称であると仮定できます。さらに、対称行列 $A は$ 、対応する二次形式によって一意に決定されます。同値 $C の下では、$ $φ$ の対称行列 $Aと$ $ψ$ の対称行列 $B$ は次のように関係します。 $B=C^{\mathsf {T}}AC.$

二次形式 $q$ の関連する双一次形式は次のように定義される。 $b_{q}(x,y)={\tfrac {1}{2}}(q(x+y)-q(x)-q(y))=x^{\mathsf {T}}Ay=y^{\mathsf {T}}Ax.$

したがって、 $b q は$ 行列 $Aを持つ$ $K$ 上の対称双線型形式です。逆に、任意の対称双線型形式 $b$ は二次形式を定義し、これら 2 つのプロセスは互いの逆です。結果として、特性が 2 に等しくない体上では、対称双線型形式の理論と $n$ 変数の二次形式の理論は本質的に同じです。 $q(x)=b(x,x),$

二次空間

体 $K上の$ $n$ 次元ベクトル空間 $V$ が与えられたとき、 $V$ 上の二次形式は関数 $Q$ $:$ $V$ $\to$ $K$ であり、次の性質を持つ: ある基底に対して、 $v$ $\in$ $V$ の座標を $Q$ $($ $v$ $)$ に写す関数 $q は$ 二次形式である。特に、標準基底を持つ $V$ $=$ $K$ $n$ の場合、 $q(v_{1},\ldots ,v_{n})=Q([v_{1},\ldots ,v_{n}])\quad {\text{for}}\quad [v_{1},\ldots ,v_{n}]\in K^{n}.$

基底変換公式は、二次形式 $q は$ 基底の選択に依存するものの、二次形式であるという性質は $Vにおける特定の基底の選択に依存しないことを示しています。$

二次形式を持つ有限次元ベクトル空間を二次空間と呼びます。

写像 $Q は$ 次数 2 の同次関数であり、これは $K$ のすべての $a$ と $V$ のすべての $v$ に対して次の性質を持つことを意味します。 $Q(av)=a^{2}Q(v).$

$K$ の標数が 2 でない場合、 $K$ 上の双線型写像 $B : V \times V \to K$ が定義されます。この双線型形式 $B$ は対称です。つまり、 $V$ 内のすべての $x$ 、 $y$ に対して $B$ $($ $x$ $、$ $y$ $) =$ $B$ $($ $y$ $、$ $x$ $)$ が成立し、 $V$ 内のすべての $xに対して$ $Q$ : $Q$ $($ $x$ $) =$ $B$ $($ $x$ $、$ $x$ $)$ が成立します。 $B(v,w)={\tfrac {1}{2}}(Q(v+w)-Q(v)-Q(w)).$

$K$ の標数が 2 で、2 が単位数でないときでも、対称双線型形式 $B'(x, y) = Q (x + y) - Q (x) - Q (y)$ を定義するために二次形式を使用することは可能です。しかし、すべての $xに対して$ $B$ $'($ $x$ $,$ $x$ $) = 0$ である（したがって交代である）ため、同じ方法でこの $B$ $'から$ $Q (x)$ を復元することはできなくなります。 ^{[8]あるいは、常に双線型形式} $B$ $″$ （一般に一意でも対称でもない）が存在し、 $B$ $″($ $x$ $,$ $x$ $) =$ $Q$ $($ $x$ $)$ となります。

$K$ 上の有限次元ベクトル空間 $Vと$ $V$ から $K$ への二次写像 $Q$ からなる対 $(V, Q)は$ 二次空間と呼ばれ、ここで定義される $B は$ $Q$ の関連する対称双線型形式である。二次空間の概念は二次形式の概念の座標フリー版である。 $Q は$ 二次形式と呼ばれることもある。

2つの $n$ 次元二次空間 $(V, Q)$ と $(V', Q')$ が等長であるとは、可逆な線型変換 $T : V \to V'$ (等長変換) が存在し、 $Q(v)=Q'(Tv){\text{ for all }}v\in V.$

$K上の$ $n$ 次元二次空間の等長類は、 $K上の$ $n$ 元二次形式の同値類に対応する。

一般化

$R$ を可換環、 $M を$ R 加群 $、$ b : M $\times$ $M$ $\to$ $R$ $を$ $R$ $双$ $線型$ 形式とする。^[9]写像 $q$ $:$ $M$ $\to$ $R$ $:$ $v$ $\mapsto$ $b$ $($ $v$ $,$ $v$ $)は$ $b$ の付随する二次形式であり、 $B$ $:$ $M$ $\times$ $M$ $\to$ $R$ $: ($ $u$ $,$ $v$ $) \mapsto$ $q$ $($ $u$ $+$ $v$ $) -$ $q$ $($ $u$ $) -$ $q$ $($ $v$ $)は$ $q$ の極形式である。

二次形式 $q : M \to R$ は次のように同値な特徴付けることができる。

$R$ 双線型形式 $b : M \times M \to R$ が存在し、 $q (v)$ は関連する二次形式です。
$すべてのa \in R$ および $v \in M$ に対して $q$ $($ $av$ $) =$ $a$ $2$ $q$ $($ $v$ $)$ であり、 $qの極形式は$ $R$ 双線型です。

形式の同等性

2に等しくない特性を持つ体上の $n$ 変数の2次形式 $q$ はすべて対角形式と同値である。 $q(x)=a_{1}x_{1}^{2}+a_{2}x_{2}^{2}+\cdots +a_{n}x_{n}^{2}.$

$このような対角形式は、しばしば⟨ a 1, ..., a n ⟩$ と表記される。したがって、同値性までのすべての二次形式の分類は、対角形式の場合に還元できる。

幾何学的な意味

3 次元の直交座標を使用して、 $x = (x, y, z) T$ とし、 $A を$ 対称3 行 3 列の行列とします。方程式 $x$ $T$ $A$ $x$ $+$ $b$ $T$ $x$ $= 1の$ 解の集合の幾何学的性質は、行列 $A$ の固有値によって決まります。

$A$ のすべての固有値がゼロでない場合、解の集合は楕円体または双曲面です。^[^要出典^]すべての固有値が正の場合、楕円体です。すべての固有値が負の場合、虚楕円体です（楕円体の方程式が得られますが、半径は虚数です）。一部の固有値が正で一部が負の場合、双曲面です。

$1 つ以上の固有値λ i = 0$ が存在する場合、形状は対応する $b i$ によって決まります。対応する $b i \neq 0$ の場合、解の集合は放物面（楕円または双曲面）です。対応する $b i = 0$ の場合、次元 $i は$ 退化して影響を及ぼさず、幾何学的な意味は他の固有値と $b$ の他の成分によって決まります。解の集合が放物面の場合、それが楕円か双曲面かは、他のすべてのゼロでない固有値が同じ符号であるかどうかによって決まります。そうであれば楕円で、そうでない場合は双曲面です。

積分二次形式

整数環上の二次形式は整二次形式と呼ばれ、対応する加群は二次格子（単に格子と呼ばれることもある）である。これらは数論と位相幾何学において重要な役割を果たしている。

積分二次形式は整数係数を持ちます (例: $x 2 + xy + y 2 )$ 。同様に、ベクトル空間 $V ($ $Q$ や $R$ などの特性 0 の体上) 内の格子 $Λ が$ 与えられた場合、二次形式 $Q が$ $Λ$ に関して積分となるのは、 $Λ$ 上で整数値である場合のみです。つまり、 $x$ $、$ $y$ $\in Λ$ であれば $Q$ $($ $x$ $、$ $y$ $) \in$ $Z$ となります。

これはこの用語の現在の用法です。過去には、以下に詳述するように、異なる意味で使用されることがありました。

歴史的使用

歴史的には、積分二次形式の概念が以下を意味するかどうかについて混乱と論争がありました。

2つで: 整数係数を持つ対称行列に関連付けられた二次形式
ツーアウト: 整数係数を持つ多項式（したがって、関連する対称行列は対角線外の半整数係数を持つ場合があります）

この議論は、二次形式 (多項式で表される) と対称双線形形式 (行列で表される) の混同によるもので、現在では「2 を外す」が慣例となっており、「2 を内に入れる」は、代わりに積分対称双線形形式 (積分対称行列) の理論となっています。

$「2 で」は、2 進二次形式はax 2 + 2 bxy + cy 2$ の形式で、対称行列で表されます。これは、ガウスが『算術研究』で使用している規則です。 ${\begin{pmatrix}a&b\\b&c\end{pmatrix}}$

$「2つを出力」では、2進二次形式はax 2 + bxy + cy 2$ の形式で表され、対称行列で表される。 ${\begin{pmatrix}a&b/2\\b/2&c\end{pmatrix}}.$

いくつかの観点から、ツーアウトが標準的な慣例に採用されています。これには次のものが含まれます。

困難の「局所的」な原因である二次形式の 2 進理論の理解を深める。
1950 年代に二次形式の算術の専門家によって一般的に採用された格子観点。
交差理論のための位相幾何学における積分二次形式理論の実際の必要性;
リー群と代数群の側面。

普遍的な二次形式

像がすべての正の整数からなる積分二次形式は、普遍的と呼ばれることがある。ラグランジュの四平方定理は、 $w 2 + x 2 + y 2 + z 2$ が普遍的であることを示す。ラマヌジャンはこれを一般化して $aw 2 + bx 2 + cy 2 + dz 2$ とし、それぞれがすべての正の整数を生成できる 54個の多重集合 ${a 、 b 、 c 、 d}を発見した。$

${1, 1, 1, d}, 1 \leq d \leq 7$
${1, 1, 2, d}, 2 \leq d \leq 14$
${1, 1, 3, d}, 3 \leq d \leq 6$
${1, 2, 2, d}, 2 \leq d \leq 7$
${1, 2, 3, d}, 3 \leq d \leq 10$
${1, 2, 4, d}, 4 \leq d \leq 14$
${1, 2, 5, d}, 6 \leq d \leq 10$

正の整数の 1 つを除くすべてからイメージが構成される形式もあります。たとえば、 ${1, 2, 5, 5}$ には例外として 15 があります。最近、15 定理と 290 定理によって、普遍的な積分二次形式が完全に特徴付けられました。つまり、すべての係数が整数である場合、290 までのすべての整数を表す場合のみ、すべての正の整数を表します。積分行列がある場合、15 までのすべての整数を表す場合のみ、すべての正の整数を表します。

参照

注記

^ ガウスに遡る伝統では、異なる変数の積には明らかに偶数の係数を使うこと、つまり2項形式では $b$ の代わりに $2$ $b を使い、3項形式では$ $b$ 、 $d$ 、 $f$ $の代わりに2$ $b$ 、 $2$ $d$ 、 $2$ $f を$ 使うことになっている。どちらの慣例も文献に見られる。
^ 2 から離れると、つまり 2 が環内で可逆であれば、二次形式は対称双線型形式と同値になります(分極恒等式により)。しかし、2 ではそれらは異なる概念です。この区別は、整数上の二次形式では特に重要です。
^ バビロニアのピタゴラス
^ ブラフマグプタの伝記
^ Maxime Bôcher (EPR DuVal と共著)(1907)高等代数入門、§ 45 二次形式の平方和への縮約HathiTrust経由
^ 非厳密な不等式（≥ または ≤）が成り立つ場合、二次形式 $q は$ 半正定値と呼ばれます。
^ 標数 2 の体上の二次形式の理論には重要な違いがあり、多くの定義と定理を修正する必要があります。
^この交代形式は、特性 2 の二次形式と関連しており、 Arf 不変量に関連して興味深いものです– Irving Kaplansky (1974)、Linear Algebra and Geometry、p. 27。
^二次形式が関連付けられる双一次形式は対称であることに制限されず、これは 2 が $R$ の単位ではない場合に重要です。

参考文献

O'Meara, OT (2000)、Introduction to Quadratic Forms、ベルリン、ニューヨーク：Springer-Verlag、ISBN 978-3-540-66564-9
コンウェイ、ジョン・ホートン、ファング、フランシス・YC（1997）、The Sensual (Quadratic) Form、Carus Mathematical Monographs、アメリカ数学協会、ISBN 978-0-88385-030-5
Shafarevich, IR ; Remizov, AO (2012). 線形代数と幾何学. Springer . ISBN 978-3-642-30993-9。

さらに読む

Cassels, JWS (1978)。有理二次形式。ロンドン数学協会モノグラフ。第 13 巻。Academic Press。ISBN 0-12-163260-1.ZBL0395.10029 。
北岡好之 (1993)。二次形式の算術。ケンブリッジ数学論文集。第106巻。ケンブリッジ大学出版局。ISBN 0-521-40475-4.ZBL0785.11021 。
ラム、ツィットユエン(2005)。体上の二次形式入門。数学大学院研究。第 67 巻。アメリカ数学会。ISBN 0-8218-1095-2. MR 2104929. Zbl 1068.11023.
ミルナー、Ｊ．ヒューゼモラー、D. (1973)。対称双線形形式。Ergebnisse der Mathematik および ihrer Grenzgebiete。 Vol. 73.シュプリンガー・フェルラークISBN 3-540-06009-X.ZBL0292.10016 。
オメラ州オメラ（1973年）。二次形式の紹介。 Die Grundlehren der mathematischen Wissenschaften。 Vol. 117.シュプリンガー・フェルラーグISBN 3-540-66564-1.ZBL0259.10018 。
Pfister, Albrecht (1995)。Quadratic Forms with Applications to Algebraic Geometry and Topology 。ロンドン数学会講義ノートシリーズ。第217巻。ケンブリッジ大学出版局。ISBN 0-521-46755-1.ZBL0847.11014 .

外部リンク

AVMalyshev (2001) [1994]、「二次形式」、数学百科事典、EMS Press
AVMalyshev (2001) [1994]、「二元二次形式」、数学百科事典、EMS Press

[1] ガウスに遡る伝統では、異なる変数の積には明らかに偶数の係数を使うこと、つまり2項形式では $b$ の代わりに $2$ $b を使い、3項形式では$ $b$ 、 $d$ 、 $f$ $の代わりに2$ $b$ 、 $2$ $d$ 、 $2$ $f を$ 使うことになっている。どちらの慣例も文献に見られる。

[2] 2 から離れると、つまり 2 が環内で可逆であれば、二次形式は対称双線型形式と同値になります(分極恒等式により)。しかし、2 ではそれらは異なる概念です。この区別は、整数上の二次形式では特に重要です。

[3] バビロニアのピタゴラス

[4] ブラフマグプタの伝記

[5] Maxime Bôcher (EPR DuVal と共著)(1907)高等代数入門、§ 45 二次形式の平方和への縮約HathiTrust経由

[6] 非厳密な不等式（≥ または ≤）が成り立つ場合、二次形式 $q は$ 半正定値と呼ばれます。

[7] 標数 2 の体上の二次形式の理論には重要な違いがあり、多くの定義と定理を修正する必要があります。

[8] ^この交代形式は、特性 2 の二次形式と関連しており、 Arf 不変量に関連して興味深いものです– Irving Kaplansky (1974)、Linear Algebra and Geometry、p. 27。

[9] ^二次形式が関連付けられる双一次形式は対称であることに制限されず、これは 2 が $R$ の単位ではない場合に重要です。