標準変換

ハミルトン力学において、正準変換とは、ハミルトン方程式の形を保存する正準座標 ( q , p ) → ( Q , P )の変更です。これは、形式不変性と呼ばれることもあります。ハミルトン方程式は保存されますが、ハミルトニアン自体の明示的な形を保存する必要はありません。正準変換は、それ自体が有用であり、ハミルトン-ヤコビ方程式(保存量を計算するための有用な方法) やリウヴィルの定理(それ自体が古典統計力学の基礎) の基礎にもなります。

ラグランジュ力学は一般化座標に基づいているため、座標変換q → Q はラグランジュ方程式の形には影響しません。したがって、運動量が同時にルジャンドル変換によって に変更される場合、ハミルトン方程式の形にも影響しません。 ここで、 は新しい座標であり、 の標準共役運動量ペアと対応する位置でグループ化され、は 両方の座標系の 自由度の数です。$${\displaystyle P_{i}={\frac {\partial L}{\partial {\dot {Q}}_{i}}}\ ,}$$${\displaystyle \left\{\ (P_{1},Q_{1}),\ (P_{2},Q_{2}),\ (P_{3},Q_{3}),\ \ldots \ \right\}}$${\displaystyle P_{i}}$${\displaystyle Q_{i},}$${\displaystyle i=1,2,\ldots \ N,}$${\displaystyle N}$

したがって、座標変換 (点変換とも呼ばれる)は、正準変換の一種です。ただし、正準変換のクラスははるかに広く、古い一般化座標、運動量、さらには時間さえも組み合わせて、新しい一般化座標と運動量を形成できます。時間を明示的に含めない正準変換は、制限付き正準変換と呼ばれます(多くの教科書では、このタイプのみを扱っています)。

標準変換の現代的な数学的記述は、余接束、外微分、シンプレクティック多様体などの高度な数学的前提条件を伴う主題をカバーする、より広範なトピックであるシンプレクティック同相写像の下で検討されます。

qなどの太字の変数は、回転の下でベクトルのように変換する必要のないN個 の一般化座標のリストを表し、同様にpは対応する一般化運動量を表す。 $${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {q} &\equiv \left(q_{1},q_{2},\ldots ,q_{N-1},q_{N}\right)\\\mathbf {p} &\equiv \left(p_{1},p_{2},\ldots ,p_{N-1},p_{N}\right).\end{aligned}}}$$

変数またはリスト上のドットは時間微分を表します。たとえば、 等式はすべての座標に対して満たされると解釈されます。たとえば、次のようになります。$${\displaystyle {\dot {\mathbf {q} }}\equiv {\frac {d\mathbf {q} }{dt}}}$$$${\displaystyle {\dot {\mathbf {p} }}=-{\frac {\partial f}{\partial \mathbf {q} }}\quad \Longleftrightarrow \quad {\dot {p_{i}}}=-{\frac {\partial f}{\partial {q_{i}}}}\quad (i=1,\dots ,N).}$$

同じ数の座標を持つ2つのリスト間のドット積表記は、対応する成分の積の合計を表す略記法です。例: $${\displaystyle \mathbf {p} \cdot \mathbf {q} \equiv \sum _{k=1}^{N}p_{k}q_{k}.}$$

ドット積 (「内積」とも呼ばれる) は、2 つの座標リストを 1 つの数値を表す 1 つの変数にマッピングします。変換後の座標には、変換された一般化座標にはQ、変換された一般化運動量にはPというラベルが付けられます。

制限付き正準変換は、変換された座標QとP が明示的な時間依存性を持たない座標変換、すなわち、およびである。ハミルトン方程式の関数形式は、である。 一般に、変換( q、p ) → ( Q、P ) は、ハミルトン方程式の形を維持しないが、変換に時間依存性がない場合には、いくつかの簡略化が可能である。正準変換の正式な定義に従うと、このタイプの変換では、新しいハミルトニアン (カミルトニアン^[1]と呼ばれることもある) は、次のように表すことができる。ここで、これは、ジェネレーターと呼ばれる関数の部分時間微分によって異なり、制限付き正準変換では、時間の関数のみになる。 ${\textstyle \mathbf {Q} =\mathbf {Q} (\mathbf {q} ,\mathbf {p} )}$${\textstyle \mathbf {P} =\mathbf {P} (\mathbf {q} ,\mathbf {p} )}$$${\displaystyle {\begin{aligned}{\dot {\mathbf {p} }}&=-{\frac {\partial H}{\partial \mathbf {q} }}\,,&{\dot {\mathbf {q} }}&={\frac {\partial H}{\partial \mathbf {p} }}\end{aligned}}}$$$${\displaystyle K(\mathbf {Q} ,\mathbf {P} ,t)=H(q(\mathbf {Q} ,\mathbf {P} ),p(\mathbf {Q} ,\mathbf {P} ),t)+{\frac {\partial G}{\partial t}}(t)}$$

ハミルトニアンの形を変更せずに残すことに加えて、上記の形式により、ハミルトンの運動方程式で変更されていないハミルトニアンを使用することもできます。

$${\displaystyle {\begin{alignedat}{3}{\dot {\mathbf {P} }}&=-{\frac {\partial K}{\partial \mathbf {Q} }}&&=-\left({\frac {\partial H}{\partial \mathbf {Q} }}\right)_{\mathbf {Q} ,\mathbf {P} ,t}\\{\dot {\mathbf {Q} }}&=\,\,\,\,{\frac {\partial K}{\partial \mathbf {P} }}&&=\,\,\,\,\,\left({\frac {\partial H}{\partial \mathbf {P} }}\right)_{\mathbf {Q} ,\mathbf {P} ,t}\\\end{alignedat}}}$$

正準変換は、ハミルトニアンの許容度の低い変換に対応する位相空間のより一般的な変換のセットを指しますが、さらに一般化できる結果を得るためのより単純な条件を提供します。双線形不変性条件を除く次の条件はすべて、時間依存性を含む正準変換に対して一般化できます。

制限された変換は（定義により）明示的な時間依存性を持たないため、新しい一般化座標Q _mの時間微分は

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\dot {Q}}_{m}&={\frac {\partial Q_{m}}{\partial \mathbf {q} }}\cdot {\dot {\mathbf {q} }}+{\frac {\partial Q_{m}}{\partial \mathbf {p} }}\cdot {\dot {\mathbf {p} }}\\&={\frac {\partial Q_{m}}{\partial \mathbf {q} }}\cdot {\frac {\partial H}{\partial \mathbf {p} }}-{\frac {\partial Q_{m}}{\partial \mathbf {p} }}\cdot {\frac {\partial H}{\partial \mathbf {q} }}\\&=\lbrace Q_{m},H\rbrace \end{aligned}}}$$
ここで{⋅, ⋅}はポアソン括弧です。

同様に、共役運動量P _mの恒等式については、 「カミルトニアン」の形式を使用すると次のようになります。

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial K(\mathbf {Q} ,\mathbf {P} ,t)}{\partial P_{m}}}&={\frac {\partial K(\mathbf {Q} (\mathbf {q} ,\mathbf {p} ),\mathbf {P} (\mathbf {q} ,\mathbf {p} ),t)}{\partial \mathbf {q} }}\cdot {\frac {\partial \mathbf {q} }{\partial P_{m}}}+{\frac {\partial K(\mathbf {Q} (\mathbf {q} ,\mathbf {p} ),\mathbf {P} (\mathbf {q} ,\mathbf {p} ),t)}{\partial \mathbf {p} }}\cdot {\frac {\partial \mathbf {p} }{\partial P_{m}}}\\[1ex]&={\frac {\partial H(\mathbf {q} ,\mathbf {p} ,t)}{\partial \mathbf {q} }}\cdot {\frac {\partial \mathbf {q} }{\partial P_{m}}}+{\frac {\partial H(\mathbf {q} ,\mathbf {p} ,t)}{\partial \mathbf {p} }}\cdot {\frac {\partial \mathbf {p} }{\partial P_{m}}}\\[1ex]&={\frac {\partial H}{\partial \mathbf {q} }}\cdot {\frac {\partial \mathbf {q} }{\partial P_{m}}}+{\frac {\partial H}{\partial \mathbf {p} }}\cdot {\frac {\partial \mathbf {p} }{\partial P_{m}}}\end{aligned}}}$$

ハミルトンの運動方程式の形式により、

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\dot {\mathbf {P} }}&=-{\frac {\partial K}{\partial \mathbf {Q} }}\\{\dot {\mathbf {Q} }}&=\,\,\,\,{\frac {\partial K}{\partial \mathbf {P} }}\end{aligned}}}$$

変換が正規形である場合、導出された 2 つの結果は等しくなるはずであり、次の式が得られます。 $${\displaystyle {\begin{aligned}\left({\frac {\partial Q_{m}}{\partial p_{n}}}\right)_{\mathbf {q} ,\mathbf {p} }&=-\left({\frac {\partial q_{n}}{\partial P_{m}}}\right)_{\mathbf {Q} ,\mathbf {P} }\\\left({\frac {\partial Q_{m}}{\partial q_{n}}}\right)_{\mathbf {q} ,\mathbf {p} }&=\left({\frac {\partial p_{n}}{\partial P_{m}}}\right)_{\mathbf {Q} ,\mathbf {P} }\end{aligned}}}$$

一般化された運動量P _mについての同様の議論から、他の 2 つの方程式のセットが導かれます。 $${\displaystyle {\begin{aligned}\left({\frac {\partial P_{m}}{\partial p_{n}}}\right)_{\mathbf {q} ,\mathbf {p} }&=\left({\frac {\partial q_{n}}{\partial Q_{m}}}\right)_{\mathbf {Q} ,\mathbf {P} }\\\left({\frac {\partial P_{m}}{\partial q_{n}}}\right)_{\mathbf {q} ,\mathbf {p} }&=-\left({\frac {\partial p_{n}}{\partial Q_{m}}}\right)_{\mathbf {Q} ,\mathbf {P} }\end{aligned}}}$$

これらは、特定の変換が標準的であるかどうかを確認するための 間接的な条件です。

ハミルトン関係は次のように表されることもあります。

$${\displaystyle {\dot {\eta }}=J\nabla _{\eta }H}$$

どこ${\textstyle J:={\begin{pmatrix}0&I_{n}\\-I_{n}&0\\\end{pmatrix}},}$

および とします。同様に、 とします。 ${\textstyle \mathbf {\eta } ={\begin{bmatrix}q_{1}\\\vdots \\q_{n}\\p_{1}\\\vdots \\p_{n}\\\end{bmatrix}}}$${\textstyle \mathbf {\varepsilon } ={\begin{bmatrix}Q_{1}\\\vdots \\Q_{n}\\P_{1}\\\vdots \\P_{n}\\\end{bmatrix}}}$

偏微分の関係から、関係を新しい変数を含む偏微分に変換すると、 が得られます。についても同様に、 ${\displaystyle {\dot {\eta }}=J\nabla _{\eta }H}$${\displaystyle {\dot {\eta }}=J(M^{T}\nabla _{\varepsilon }H)}$${\textstyle M:={\frac {\partial (\mathbf {Q} ,\mathbf {P} )}{\partial (\mathbf {q} ,\mathbf {p} )}}}$${\textstyle {\dot {\varepsilon }}}$

$${\displaystyle {\dot {\varepsilon }}=M{\dot {\eta }}=MJM^{T}\nabla _{\varepsilon }H}$$

のハミルトン方程式の形式により、 ${\textstyle {\dot {\varepsilon }}}$

$${\displaystyle {\dot {\varepsilon }}=J\nabla _{\varepsilon }K=J\nabla _{\varepsilon }H}$$

ここで、カミルトニアンの形式により、 を使用することができる。2つの式を等しくすると、シンプレクティック条件は次のようになる。^[2]${\textstyle \nabla _{\varepsilon }K=\nabla _{\varepsilon }H}$

$${\displaystyle MJM^{T}=J}$$上記の式の左辺は のポアソン行列と呼ばれ、 と表記されます。同様に、 のラグランジュ行列はとして構築できます。^[3]シンプレクティック条件は の性質を使用することでと同等であることが示せます。シンプレクティック条件を満たすすべての行列の集合は、シンプレクティック群 を形成します。シンプレクティック条件は間接条件と同等であり、どちらも という式につながり、両方の導出で使用されます。 ${\displaystyle \varepsilon }$${\textstyle {\mathcal {P}}(\varepsilon )=MJM^{T}}$${\displaystyle \eta }$${\textstyle {\mathcal {L}}(\eta )=M^{T}JM}$${\textstyle M^{T}JM=J}$${\textstyle J^{-1}=-J}$${\textstyle M}$${\textstyle {\dot {\varepsilon }}=J\nabla _{\varepsilon }H}$

ポアソン括弧は次のように定義される。これは行列形式で次のように表すことができる。したがって、偏微分関係とシンプレクティック条件を用いると、次の式が得られる。^[4]$${\displaystyle \{u,v\}_{\eta }:=\sum _{i=1}^{n}\left({\frac {\partial u}{\partial q_{i}}}{\frac {\partial v}{\partial p_{i}}}-{\frac {\partial u}{\partial p_{i}}}{\frac {\partial v}{\partial q_{i}}}\right)}$$$${\displaystyle \{u,v\}_{\eta }:=(\nabla _{\eta }u)^{T}J(\nabla _{\eta }v)}$$$${\displaystyle \{u,v\}_{\eta }=(\nabla _{\eta }u)^{T}J(\nabla _{\eta }v)=(M^{T}\nabla _{\varepsilon }u)^{T}J(M^{T}\nabla _{\varepsilon }v)=(\nabla _{\varepsilon }u)^{T}MJM^{T}(\nabla _{\varepsilon }v)=(\nabla _{\varepsilon }u)^{T}J(\nabla _{\varepsilon }v)=\{u,v\}_{\varepsilon }}$$

シンプレクティック条件は、 と をとることでも復元でき、であることがわかります。したがって、これらの条件はシンプレクティック条件と同等です。さらに、 であることがわかり、これも行列要素を展開して明示的に計算した結果です。^[3]${\textstyle u=\varepsilon _{i}}$${\textstyle v=\varepsilon _{j}}$${\textstyle (MJM^{T})_{ij}=J_{ij}}$${\textstyle {\mathcal {P}}_{ij}(\varepsilon )=\{\varepsilon _{i},\varepsilon _{j}\}_{\eta }=(MJM^{T})_{ij}}$

ラグランジュ括弧は次のように定義されます。

$${\displaystyle [u,v]_{\eta }:=\sum _{i=1}^{n}\left({\frac {\partial q_{i}}{\partial u}}{\frac {\partial p_{i}}{\partial v}}-{\frac {\partial p_{i}}{\partial u}}{\frac {\partial q_{i}}{\partial v}}\right)}$$

行列形式では次のように表すことができます。

$${\displaystyle [u,v]_{\eta }:=\left({\frac {\partial \eta }{\partial u}}\right)^{T}J\left({\frac {\partial \eta }{\partial v}}\right)}$$

同様の導出を用いると、次のようになります。

$${\displaystyle [u,v]_{\varepsilon }=(\partial _{u}\varepsilon )^{T}\,J\,(\partial _{v}\varepsilon )=(M\,\partial _{u}\eta )^{T}\,J\,(M\,\partial _{v}\eta )=(\partial _{u}\eta )^{T}\,M^{T}JM\,(\partial _{v}\eta )=(\partial _{u}\eta )^{T}\,J\,(\partial _{v}\eta )=[u,v]_{\eta }}$$シンプレクティック条件は、 と をとることでも復元でき、であることがわかります。したがって、これらの条件はシンプレクティック条件と同等です。さらに、 であることがわかり、これも行列要素を展開して明示的に計算した結果です。^[3]${\textstyle u=\eta _{i}}$${\textstyle v=\eta _{j}}$${\textstyle (M^{T}JM)_{ij}=J_{ij}}$${\textstyle {\mathcal {L}}_{ij}(\eta )=[\eta _{i},\eta _{j}]_{\varepsilon }=(M^{T}JM)_{ij}}$

これらの条件セットは、制限された正準変換または時間変数に依存しない正準変換にのみ適用されます。

一般化座標とそれに対応する運動量の一組における2種類の任意の変化を考える: ^[5]

${\textstyle d\varepsilon =(dq_{1},dp_{1},0,0,\ldots ),\quad \delta \varepsilon =(\delta q_{1},\delta p_{1},0,0,\ldots ).}$

無限小平行四辺形の面積は次のように与えられます。

${\textstyle \delta a(12)=dq_{1}\delta p_{1}-\delta q_{1}dp_{1}={(\delta \varepsilon )}^{T}\,J\,d\varepsilon .}$

シンプレクティック条件から、無限小面積は正準変換の下で保存されることがわかります。 ${\textstyle M^{T}JM=J}$

${\textstyle \delta a(12)={(\delta \varepsilon )}^{T}\,J\,d\varepsilon ={(M\delta \eta )}^{T}\,J\,Md\eta ={(\delta \eta )}^{T}\,M^{T}JM\,d\eta ={(\delta \eta )}^{T}\,J\,d\eta =\delta A(12).}$

新しい座標は、1 つの座標運動量平面に完全に合わせる必要はないことに注意してください。

したがって、条件はより一般的には、正準変換の下での形式の不変性として述べられ、次のように展開される。任意の変化に対して上記が守られる場合、間接条件が満たされた場合にのみ可能となる。^{[6] [7]} 方程式の形式は、ベクトルとベクトルのシンプレクティック積としても知られており、双線形不変性条件はシンプレクティック積の局所的保存として述べることができる。^[8]${\textstyle {(d\varepsilon )}^{T}\,J\,\delta \varepsilon }$$${\displaystyle \sum \delta q\cdot dp-\delta p\cdot dq=\sum \delta Q\cdot dP-\delta P\cdot dQ}$$${\textstyle {v}^{T}\,J\,w}$${\textstyle {v}}$${\textstyle w}$

間接条件により、位相空間の体積は標準変換の下で保存されるというリウヴィルの定理を証明することができる。 $${\displaystyle \int \mathrm {d} \mathbf {q} \,\mathrm {d} \mathbf {p} =\int \mathrm {d} \mathbf {Q} \,\mathrm {d} \mathbf {P} }$$

微積分によれば、後者の積分は前者の積分にヤコビ行列式 Mを掛けたものに等しくなければならない。ここで$${\displaystyle \int \mathrm {d} \mathbf {Q} \,\mathrm {d} \mathbf {P} =\int \det(M)\,\mathrm {d} \mathbf {q} \,\mathrm {d} \mathbf {p} }$$${\textstyle M:={\frac {\partial (\mathbf {Q} ,\mathbf {P} )}{\partial (\mathbf {q} ,\mathbf {p} )}}}$

ヤコビアン の「除算」の性質を利用すると、$${\displaystyle M\equiv {\frac {\partial (\mathbf {Q} ,\mathbf {P} )}{\partial (\mathbf {q} ,\mathbf {P} )}}\left/{\frac {\partial (\mathbf {q} ,\mathbf {p} )}{\partial (\mathbf {q} ,\mathbf {P} )}}\right.}$$

重複する変数を除外すると、$${\displaystyle M\equiv {\frac {\partial (\mathbf {Q} )}{\partial (\mathbf {q} )}}\left/{\frac {\partial (\mathbf {p} )}{\partial (\mathbf {P} )}}\right.}$$

上記の間接条件を適用すると次の式が得られる。^[9]${\displaystyle \operatorname {det} (M)=1}$

( q、p、H )と( Q、P、K )の間の有効な変換を保証するために、直接生成関数アプローチに頼ることができます。 両方の変数セットはハミルトンの原理に従わなければなりません。 つまり、それぞれのハミルトニアンから「逆」ルジャンドル変換を介して得られるラグランジアンおよび上の作用積分は、両方のケースで定常でなければなりません (そのため、オイラー-ラグランジュ方程式を使用して、指定された形式のハミルトン運動方程式に到達できます。これは、ここで例を示しています)。 ${\displaystyle {\mathcal {L}}_{qp}=\mathbf {p} \cdot {\dot {\mathbf {q} }}-H(\mathbf {q} ,\mathbf {p} ,t)}$${\displaystyle {\mathcal {L}}_{QP}=\mathbf {P} \cdot {\dot {\mathbf {Q} }}-K(\mathbf {Q} ,\mathbf {P} ,t)}$$${\displaystyle {\begin{aligned}\delta \int _{t_{1}}^{t_{2}}\left[\mathbf {p} \cdot {\dot {\mathbf {q} }}-H(\mathbf {q} ,\mathbf {p} ,t)\right]dt&=0\\\delta \int _{t_{1}}^{t_{2}}\left[\mathbf {P} \cdot {\dot {\mathbf {Q} }}-K(\mathbf {Q} ,\mathbf {P} ,t)\right]dt&=0\end{aligned}}}$$

両方の変分積分等式を満たす 一つの方法は、$${\displaystyle \lambda \left[\mathbf {p} \cdot {\dot {\mathbf {q} }}-H(\mathbf {q} ,\mathbf {p} ,t)\right]=\mathbf {P} \cdot {\dot {\mathbf {Q} }}-K(\mathbf {Q} ,\mathbf {P} ,t)+{\frac {dG}{dt}}}$$

ラグランジアンは一意ではない。常に定数λを掛けて全時間微分を加えることができる。dG/dt⁠そして、同じ運動方程式を生成します（Wikibooksで説明されているように）。一般に、スケーリング係数λは 1 に設定されます。λ ≠ 1 の正準変換は拡張正準変換と呼ばれます。 ⁠dG/dt⁠が保持されないと、問題は些細なものとなり、新しい標準変数が古いものと異なる自由度があまりなくなります。

ここでG は、 1 つの古い標準座標( qまたはp )、1 つの新しい標準座標( QまたはP )、および (場合によっては) 時間tの生成関数です。したがって、変数の選択に応じて、4 つの基本的なタイプの生成関数があります (ただし、これら 4 つのタイプが混在する場合もあります)。以下に示すように、生成関数は古い標準座標から新しい標準座標への変換を定義し、そのような変換( q、p ) → ( Q、P )は標準であることが保証されます。

以下に表に示すさまざまな生成関数とそのプロパティについて詳しく説明します。

タイプ1生成関数G ₁は、古い一般化座標と新しい一般化座標のみに依存します。 暗黙の変換を導くために、上記の定義式を展開します。 $${\displaystyle G\equiv G_{1}(\mathbf {q} ,\mathbf {Q} ,t)}$$$${\displaystyle \mathbf {p} \cdot {\dot {\mathbf {q} }}-H(\mathbf {q} ,\mathbf {p} ,t)=\mathbf {P} \cdot {\dot {\mathbf {Q} }}-K(\mathbf {Q} ,\mathbf {P} ,t)+{\frac {\partial G_{1}}{\partial t}}+{\frac {\partial G_{1}}{\partial \mathbf {q} }}\cdot {\dot {\mathbf {q} }}+{\frac {\partial G_{1}}{\partial \mathbf {Q} }}\cdot {\dot {\mathbf {Q} }}}$$

新しい座標と古い座標はそれぞれ独立しているので、次の2つのN + 1式が成り立つ必要があります。 $${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {p} &={\frac {\partial G_{1}}{\partial \mathbf {q} }}\\\mathbf {P} &=-{\frac {\partial G_{1}}{\partial \mathbf {Q} }}\\K&=H+{\frac {\partial G_{1}}{\partial t}}\end{aligned}}}$$

これらの方程式は、変換( q , p ) → ( Q , P )を次のように定義します。最初のN方程式 セットは、 新しい一般化座標Qと古い正準座標( q , p )との関係を定義します。理想的には、これらの関係を逆転させて、古い正準座標 の関数として各Q _kの式を得ることができます。Q座標のこれらの式を N 方程式の 2 番目のセットに代入すると、古い正準座標( q , p )に関して新しい一般化運動量P の類似の式が得られます。次に、両方のセットの式を逆転させて、新しい正準座標( Q、P )の関数として古い正準座標( q、 p )を取得します。逆転した式を最後の方程式に代入すると、 新しい正準座標( Q、P )の関数としてK の式が得られます。 $${\displaystyle \ \mathbf {p} ={\frac {\ \partial G_{1}\ }{\partial \mathbf {q} }}\ }$$ $${\displaystyle \mathbf {P} =-{\frac {\partial G_{1}}{\partial \mathbf {Q} }}}$$ $${\displaystyle K=H+{\frac {\partial G_{1}}{\partial t}}}$$

実際には、この手順は思ったより簡単です。なぜなら、生成関数は通常単純だからです。たとえば、次の式を仮定します。これにより、 一般化座標と運動量が入れ替わり、その逆も成り立ち 、K = Hとなります。この例は、ハミルトン定式化において座標と運動量がいかに独立しているかを示しています。これらは同等の変数です。 $${\displaystyle G_{1}\equiv \mathbf {q} \cdot \mathbf {Q} }$$$${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {p} &={\frac {\partial G_{1}}{\partial \mathbf {q} }}=\mathbf {Q} \\\mathbf {P} &=-{\frac {\partial G_{1}}{\partial \mathbf {Q} }}=-\mathbf {q} \end{aligned}}}$$

タイプ2の生成関数は、古い一般化座標と新しい一般化運動量 のみに依存し 、項はルジャンドル変換を表し、以下の式の右辺を変更します。暗黙の変換を導くために、上記の定義式を展開します。 ${\displaystyle G_{2}(\mathbf {q} ,\mathbf {P} ,t)}$$${\displaystyle G\equiv G_{2}(\mathbf {q} ,\mathbf {P} ,t)-\mathbf {Q} \cdot \mathbf {P} }$$${\displaystyle -\mathbf {Q} \cdot \mathbf {P} }$$${\displaystyle \mathbf {p} \cdot {\dot {\mathbf {q} }}-H(\mathbf {q} ,\mathbf {p} ,t)=-\mathbf {Q} \cdot {\dot {\mathbf {P} }}-K(\mathbf {Q} ,\mathbf {P} ,t)+{\frac {\partial G_{2}}{\partial t}}+{\frac {\partial G_{2}}{\partial \mathbf {q} }}\cdot {\dot {\mathbf {q} }}+{\frac {\partial G_{2}}{\partial \mathbf {P} }}\cdot {\dot {\mathbf {P} }}}$$

古い座標と新しい運動量はそれぞれ独立しているので、次の2つのN + 1方程式が成り立つ必要があります。 $${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {p} &={\frac {\partial G_{2}}{\partial \mathbf {q} }}\\\mathbf {Q} &={\frac {\partial G_{2}}{\partial \mathbf {P} }}\\K&=H+{\frac {\partial G_{2}}{\partial t}}\end{aligned}}}$$

これらの方程式は、変換( q、p ) → ( Q、P )を次のように定義します。最初のN方程式 セットは、 新しい一般化運動量Pと古い正準座標( q、p )との関係を定義します。理想的には、これらの関係を逆転させて、古い正準座標の関数として各P _kの式を取得できます。 P座標のこれらの式を2番目のN方程式 セットに代入すると、古い正準座標( q、p )に関して 新しい一般化座標Qの類似の式が得られます。次に、両方の式セットを逆転させて、新しい正準座標( Q、P )の関数として古い正準座標( q、p )を取得します。逆転した式を最後の方程式に代入すると、 新しい正準座標( Q、P )の関数としてのK の式が得られます。 $${\displaystyle \mathbf {p} ={\frac {\partial G_{2}}{\partial \mathbf {q} }}}$$ $${\displaystyle \mathbf {Q} ={\frac {\partial G_{2}}{\partial \mathbf {P} }}}$$ $${\displaystyle K=H+{\frac {\partial G_{2}}{\partial t}}}$$

実際には、この手順は思ったより簡単です。なぜなら、生成関数は通常単純だからです。例えば、 gがN個の関数の集合である とします。これは、一般化座標の点変換になります。 $${\displaystyle G_{2}\equiv \mathbf {g} (\mathbf {q} ;t)\cdot \mathbf {P} }$$$${\displaystyle \mathbf {Q} ={\frac {\partial G_{2}}{\partial \mathbf {P} }}=\mathbf {g} (\mathbf {q} ;t)}$$

タイプ3の生成関数は、古い一般化運動量と新しい一般化座標のみに依存し 、項はルジャンドル変換を表し、以下の式の左辺を変更します。暗黙の変換を導くために、上記の定義式を展開します。 ${\displaystyle G_{3}(\mathbf {p} ,\mathbf {Q} ,t)}$$${\displaystyle G\equiv G_{3}(\mathbf {p} ,\mathbf {Q} ,t)+\mathbf {q} \cdot \mathbf {p} }$$${\displaystyle \mathbf {q} \cdot \mathbf {p} }$$${\displaystyle -\mathbf {q} \cdot {\dot {\mathbf {p} }}-H(\mathbf {q} ,\mathbf {p} ,t)=\mathbf {P} \cdot {\dot {\mathbf {Q} }}-K(\mathbf {Q} ,\mathbf {P} ,t)+{\frac {\partial G_{3}}{\partial t}}+{\frac {\partial G_{3}}{\partial \mathbf {p} }}\cdot {\dot {\mathbf {p} }}+{\frac {\partial G_{3}}{\partial \mathbf {Q} }}\cdot {\dot {\mathbf {Q} }}}$$

新しい座標と古い座標はそれぞれ独立しているので、次の2つのN + 1式が成り立つ必要があります。 $${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {q} &=-{\frac {\partial G_{3}}{\partial \mathbf {p} }}\\\mathbf {P} &=-{\frac {\partial G_{3}}{\partial \mathbf {Q} }}\\K&=H+{\frac {\partial G_{3}}{\partial t}}\end{aligned}}}$$

これらの方程式は、変換( q , p ) → ( Q , P )を次のように定義します。最初のN方程式 セットは、 新しい一般化座標Qと古い正準座標( q , p )との関係を定義します。理想的には、これらの関係を逆転させて、古い正準座標 の関数として各Q _kの式を得ることができます。Q座標のこれらの式を N 方程式の 2 番目のセットに代入すると、古い正準座標( q , p )に関して新しい一般化運動量P の類似の式が得られます。次に、両方のセットの式を逆転させて、新しい正準座標( Q、P )の関数として古い正準座標( q、 p )を取得します。逆転した式を最後の方程式に代入すると、新しい正準座標( Q、P )の関数としてKの式が得られます。 $${\displaystyle \mathbf {q} =-{\frac {\partial G_{3}}{\partial \mathbf {p} }}}$$ $${\displaystyle \mathbf {P} =-{\frac {\partial G_{3}}{\partial \mathbf {Q} }}}$$ $${\displaystyle K=H+{\frac {\partial G_{3}}{\partial t}}}$$

実際には、生成関数は通常単純であるため、この手順は思ったより簡単です。

タイプ4の生成関数は、新旧の一般化運動量のみに依存し 、項はルジャンドル変換を表し、以下の式の両辺を変更します。暗黙の変換を導くために、上記の定義式を展開します。 ${\displaystyle G_{4}(\mathbf {p} ,\mathbf {P} ,t)}$$${\displaystyle G\equiv G_{4}(\mathbf {p} ,\mathbf {P} ,t)+\mathbf {q} \cdot \mathbf {p} -\mathbf {Q} \cdot \mathbf {P} }$$${\displaystyle \mathbf {q} \cdot \mathbf {p} -\mathbf {Q} \cdot \mathbf {P} }$$${\displaystyle -\mathbf {q} \cdot {\dot {\mathbf {p} }}-H(\mathbf {q} ,\mathbf {p} ,t)=-\mathbf {Q} \cdot {\dot {\mathbf {P} }}-K(\mathbf {Q} ,\mathbf {P} ,t)+{\frac {\partial G_{4}}{\partial t}}+{\frac {\partial G_{4}}{\partial \mathbf {p} }}\cdot {\dot {\mathbf {p} }}+{\frac {\partial G_{4}}{\partial \mathbf {P} }}\cdot {\dot {\mathbf {P} }}}$$

新しい座標と古い座標はそれぞれ独立しているので、次の2つのN + 1式が成り立つ必要があります。 $${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {q} &=-{\frac {\partial G_{4}}{\partial \mathbf {p} }}\\\mathbf {Q} &={\frac {\partial G_{4}}{\partial \mathbf {P} }}\\K&=H+{\frac {\partial G_{4}}{\partial t}}\end{aligned}}}$$

これらの方程式は、変換( q、p ) → ( Q、P )を次のように定義します。最初のN方程式 セットは、 新しい一般化運動量Pと古い正準座標( q、p )との関係を定義します。理想的には、これらの関係を逆転させて、古い正準座標の関数として各P _kの式を取得できます。 P座標のこれらの式を2番目のN方程式 セットに代入すると、古い正準座標( q、p )に関して 新しい一般化座標Qの類似の式が得られます。次に、両方の式セットを逆転させて、新しい正準座標( Q、P )の関数として古い正準座標( q、p )を取得します。逆転した式を最後の方程式に代入すると、 新しい正準座標( Q、P )の関数としてのK の式が得られます。 $${\displaystyle \mathbf {q} =-{\frac {\partial G_{4}}{\partial \mathbf {p} }}}$$ $${\displaystyle \mathbf {Q} ={\frac {\partial G_{4}}{\partial \mathbf {P} }}}$$ $${\displaystyle K=H+{\frac {\partial G_{4}}{\partial t}}}$$

例えば、第二種生成関数とを使用すると、変数、およびからなる最初の方程式の逆行列を計算して を得ることができます。この処理は、 で定義される行列が非特異である場合に可能です。 ^[11]${\textstyle {p}_{i}={\frac {\partial G_{2}}{\partial {q}_{i}}}}$${\textstyle {Q}_{i}={\frac {\partial G_{2}}{\partial {P}_{i}}}}$${\textstyle \mathbf {p} }$${\textstyle \mathbf {q} }$${\textstyle \mathbf {P} }$${\textstyle \mathbf {P} (\mathbf {q} ,\mathbf {p} )}$${\textstyle a_{ij}={\frac {\partial {p}_{i}(\mathbf {q} ,\mathbf {P} )}{\partial P_{j}}}}$

$${\displaystyle \left|{\begin{array}{l l l}{\displaystyle {\frac {\partial ^{2}G_{2}}{\partial P_{1}\partial q_{1}}}}&{\cdots }&{\displaystyle {\frac {\partial ^{2}G_{2}}{\partial P_{1}\partial q_{n}}}}\\{\quad \vdots }&{\ddots }&{\quad \vdots }\\{\displaystyle {\frac {\partial ^{2}G_{2}}{\partial P_{n}\partial q_{1}}}}&{\cdots }&{\displaystyle {\frac {\partial ^{2}G_{2}}{\partial P_{n}\partial q_{n}}}}\end{array}}\right|{\neq 0}}$$

したがって、関数を生成する際に、行列、、が非特異となるような制約が課される。^{[12] [13]}${\textstyle \left[{\frac {\partial ^{2}G_{1}}{\partial Q_{j}\partial q_{i}}}\right]}$${\textstyle \left[{\frac {\partial ^{2}G_{2}}{\partial P_{j}\partial q_{i}}}\right]}$${\textstyle \left[{\frac {\partial ^{2}G_{3}}{\partial p_{j}\partial Q_{i}}}\right]}$${\textstyle \left[{\frac {\partial ^{2}G_{4}}{\partial p_{j}\partial P_{i}}}\right]}$

は非特異なので、も非特異であることを意味します。行列はの逆行列なので、タイプ 2 生成関数の変換は常に非特異行列を持ちます。同様に、タイプ 1 およびタイプ 4 生成関数は常に非特異行列を持ち、タイプ 2 およびタイプ 3 生成関数は常に非特異行列を持つと言えます。したがって、これらの生成関数から生じる標準変換は完全に一般的なものではありません。^[14]${\textstyle \left[{\frac {\partial ^{2}G_{2}}{\partial P_{j}\partial q_{i}}}\right]}$${\textstyle \left[{\frac {\partial {p}_{i}(\mathbf {q} ,\mathbf {P} )}{\partial P_{j}}}\right]}$${\textstyle \left[{\frac {\partial P_{i}(\mathbf {q} ,\mathbf {p} )}{\partial p_{j}}}\right]}$${\textstyle \left[{\frac {\partial {p}_{i}(\mathbf {q} ,\mathbf {P} )}{\partial P_{j}}}\right]}$${\textstyle \left[{\frac {\partial P_{i}(\mathbf {q} ,\mathbf {p} )}{\partial p_{j}}}\right]}$${\textstyle \left[{\frac {\partial Q_{i}(\mathbf {q} ,\mathbf {p} )}{\partial p_{j}}}\right]}$${\textstyle \left[{\frac {\partial P_{i}(\mathbf {q} ,\mathbf {p} )}{\partial p_{j}}}\right]}$

言い換えれば、( Q , P )と( q , p )はそれぞれ2 N個の独立関数なので、およびまたはおよびの形式の生成関数を持つためには、対応するヤコビ行列およびが非特異に制限され、生成関数が2 N + 1 個の独立変数の関数であることが保証される。しかし、正準変換の特徴として、集合( q , p )または( Q , P )から2 N個のそのような独立関数を選択して、時間変数を含む正準変換の生成関数表現を形成することが常に可能である。したがって、すべての有限正準変換は、与えられた4つの単純形式の変形である閉じた暗黙の形式として与えられることが証明できる。^[15]${\textstyle G_{1}(\mathbf {q} ,\mathbf {Q} ,t)}$${\displaystyle G_{4}(\mathbf {p} ,\mathbf {P} ,t)}$${\displaystyle G_{2}(\mathbf {q} ,\mathbf {P} ,t)}$${\displaystyle G_{3}(\mathbf {p} ,\mathbf {Q} ,t)}$${\textstyle \left[{\frac {\partial Q_{i}}{\partial p_{j}}}\right]}$${\textstyle \left[{\frac {\partial P_{i}}{\partial p_{j}}}\right]}$

から: 、計算: ${\displaystyle K=H+{\frac {\partial G}{\partial t}}}$${\textstyle {\frac {\partial (K-H)}{\partial P}}}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}\left({\frac {\partial (K-H)}{\partial P}}\right)_{Q,P,t}&={\frac {\partial K}{\partial P}}-{\frac {\partial H}{\partial p}}{\frac {\partial p}{\partial P}}-{\frac {\partial H}{\partial q}}{\frac {\partial q}{\partial P}}-{\frac {\partial H}{\partial t}}\left({\frac {\partial t}{\partial P}}\right)_{Q,P,t}\\&={\dot {Q}}+{\dot {p}}{\frac {\partial q}{\partial P}}-{\dot {q}}{\frac {\partial p}{\partial P}}\\&={\frac {\partial Q}{\partial t}}+{\frac {\partial Q}{\partial q}}\cdot {\dot {q}}+{\frac {\partial Q}{\partial p}}\cdot {\dot {p}}+{\dot {p}}{\frac {\partial q}{\partial P}}-{\dot {q}}{\frac {\partial p}{\partial P}}\\&={\dot {q}}\left({\frac {\partial Q}{\partial q}}-{\frac {\partial p}{\partial P}}\right)+{\dot {p}}\left({\frac {\partial q}{\partial P}}+{\frac {\partial Q}{\partial p}}\right)+{\frac {\partial Q}{\partial t}}\end{aligned}}}$$