アレクサンダー・ラム

アレクサンダー・G・ラム（1940年ロシアのサンクトペテルブルク生まれ）はアメリカの数学者です。彼の研究は、微分・積分方程式、作用素理論、不適切問題と逆問題、散乱理論、関数解析、スペクトル理論、数値解析、理論電気工学、信号推定、トモグラフィーに重点を置いています。

ラムは1959年にレニングラード国立大学で数学の学士号、1961年に修士号を取得しました。1964年にモスクワ国立大学で博士号、1972年にミンスク数学研究所科学アカデミーで理学博士号を取得しました。

ラムは 1962 年から 1979 年までレニングラード精密機械光学研究所で教鞭をとりました。1979 年から 1981 年にかけてはミシガン大学の客員教授および研究科学者を務めました。1981 年からはカンザス州立大学の教授を務め、世界中の多くの大学や研究センターで講義を行ってきました。現在は名誉教授です。

ラム氏は、1996 年に優秀大学院教授賞を受賞し、 2004 年には数学研究で国際フワーリズミ賞を受賞しました。また、メキシコ科学アカデミーの外国人特別教授 (1997 年)、フランスの CNRS 研究教授 (2003 年)、カイロ大学の特別客員教授 (2004 年、2006 年)、英国王立工学アカデミーの特別客員教授 (2009 年) を務めました。さらに、2007 年にはメルカトル教授、HKSTAM の特別講演者 (2005 年)、ロンドン数学会の講演者 (2005 年) を務めました。ラム氏は、1991年から1992年にかけてイスラエル（テクニオン）でフルブライト研究教授を務め、2009年には第7回PACOMで招待基調講演者を務めました。2010年にはIMPAN、2011年にはMPI（マックス・プランク研究所）、 2013年には北京理工大学（BIT）で客員教授を務め、2015年にはウクライナのリヴィウ大学でフルブライト研究教授を務めました。ラム氏は、MIT電磁気アカデミー（1990年6月）の選出会員であり、ニューヨーク科学アカデミーの会員でもあります。また、多くの専門誌の共同編集者を務めています。

ラム氏の仕事は以下の分野に分けられます。

1. PDE、ODE、積分方程式、
2. 微分作用素、特にシュレーディンガー作用素のスペクトルおよび散乱理論、
3. 静的問題および任意の形状の小物体による波の散乱、
4. ランダムフィールド推定理論、
5. 非線形受動システム、
6. 逆散乱問題
7. 理論的な数値解析と不適切設定問題、
8. 非自己随伴演算子と散乱理論におけるその応用、
9. 信号および画像処理、
10. 局所トモグラフィー、
11. 数理地球物理学、
12. 電磁気理論と数理物理学、
13. 望ましい屈折率を持つ材料を作成する、
14. PDEの対称性問題、
15. ナビエ・ストークス問題、${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$
16. 過剰決定されていない散乱データを使用した逆散乱。

ラムの研究のハイライトは次のとおりです。

1. ^{[1] [2]}から始まる長い一連の論文では、無限境界を持つ領域におけるシュレーディンガー作用素のスペクトル特性と固有関数展開の徹底的な研究が初めて示されています。
2. ラプラス方程式の内部境界値問題と外部境界値問題を解く反復法が開発され、任意形状の小物体による音響波と電磁波の散乱に対するS行列の解析公式が導出され、数値問題と物理問題にうまく適用されている（ ^[3]を参照）。
3. ランダムフィールド推定の解析理論は、推定理論の基礎となる新しい種類の多次元積分方程式の独自の詳細な研究であるモノグラフ^[4]で開発されました。この種の結果は、Rammの研究以前には知られていませんでした。このモノグラフは、1996年にMIR出版社によってロシア語に翻訳されました。1次元推定理論で知られている多くの結果は、モノグラフで開発された一般理論の非常に特殊なケースです。^[5]この理論は、信号処理、特に地球物理学で多くの用途があります。
4. 論文^[6]と^[7]（また^{[8] [9] [10] [11]}）では、EEM法とSEM法の数学的基礎が示されています。これらの方法は現在、電気工学の分野で非常に人気があります。
5. 受動非線形システムにおける定常状態の存在、全体的安定性、計算に関する徹底的な研究が論文で示されています。^[12]結果は例で示されているように最適です。
6. 逆散乱問題の研究は、著者の結果のいくつかの要約が示されている一連の論文（モノグラフ^{[13] [14] [15]}および論文^{[16] [17] [18]を参照）で示されています。最近の論文[19]}では、何十年も未解決であった問題が解決されています。非過剰決定逆散乱問題の解の一意性が証明されています。
   低周波散乱データの正確な逆変換は、この本で提供されています。^[13]
   PDEの解の積の集合の完全性の概念に基づく強力な方法、特性C法が開発され、多くの重要な逆問題に適用されています。これらの研究では、何十年も未解決であったいくつかの問題が解決されています。例えば、固定エネルギーデータによる地球物理学およびポテンシャル散乱における初の大域的一意性定理が得られ、ノイズの多い固定エネルギーデータによる 3D 逆散乱問題を解く初の数学的に正当化された方法が示され、ノイズの多い固定エネルギーデータによる逆散乱問題の解の安定性推定が初めて得られました。
   逆問題と同等の逆散乱問題を解く初の変分原理が見つかりました。この研究はモノグラフ^{[14]として出版されていますが、これは 1994 年にロシア語に翻訳されたモノグラフ[20]}の拡張版です。ごく最近 (論文^[21] )、根本的に新しい一意性定理が得られました。それは、コンパクトにサポートされた実数値の二乗積分可能な球対称ポテンシャルは、任意の非負整数の集合を通過する角運動量による固定エネルギー位相シフトの任意の部分によって一意に定義され、となるというものです。常微分方程式 (ODE) に対して特性 C が定義され、証明され、その多くの新しい応用が実証されている。1 次元逆問題に対する既知の結果のほとんどは、この特性を使用して得られ、多くの新しい結果も得られている。^{[22] [23]} ODE に対して特性 C を使用して得られる古典的な結果には、2 つのスペクトルおよび散乱データまたはスペクトル関数からのポテンシャルの回復に関する Marchenko と Borg の一意性定理がある。非同次シュレーディンガー方程式の逆問題が初めて研究され、^{[24] [25]}有界領域の境界上で既知のスペクトル関数の対角値とスペクトルパラメータのすべての実数値からポテンシャルを回復する非過剰決定 3 次元逆問題が検討され、この問題に対する一意性定理が証明されている。^[26]${\displaystyle j}$${\displaystyle J}$${\displaystyle \sum _{j\in J,j\not =0}{\frac {1}{j}}=\infty }$
   
   
   固定エネルギーデータを持つ逆散乱問題を解くための新しい近似法が、r > a については既知だが については未知である球対称ポテンシャルに対して与えられている。ここで は任意の大きな固定数である。^[27]この方法により数値結果が得られた。逆散乱におけるクラインの方法が正当化され、その一貫性が証明された。^[28]地中浸透レーダー問題における表面散乱データの逆変換について、地面の誘電率と導電率の 2 つの関数に対する解析理論が、これらの関数が垂直座標のみに依存するという仮定の下で与えられた。^{[29] [30]}実験データからクォーコニウム系を回復する方法が開発された。^[31]表面散乱データから点散乱体を見つける逆問題が提示され、解決された。^{[32] [33]}過剰決定されていないデータを持つ 3 次元散乱問題に対する一意性定理が初めて証明された。^{[19] [34] [35] [36]}ポンペイウ特性の安定性が確立され^[37]、さらなる結果が得られています。^{[38] [39]}論文^[40]と^[41]では、「スマート材料」を構築する方法が示されています。境界領域に小さな粒子を分散させることで、結果として得られる材料が事前に選択した放射パターンを持つようにできることが証明されています。さらに、これらの粒子の密度と特性を計算する方法が開発されています。論文^[42]では、さまざまな境界条件 (ディリクレ、ノイマン、インピーダンス、透過) に対する、任意の形状の 1 つまたは複数の小さな物体によるスカラー波の散乱理論が開発されています。論文^[43]では、任意の形状の 1 つまたは複数の小さなインピーダンス物体による EM (電磁) 波の散乱理論が開発されています。上記の理論に基づいて、必要な屈折係数を持つ材料を作成する方法が示されています。^[19]とモノグラフ^{[44] [45]}では、非過剰決定散乱データに対する3D逆散乱問題が初めて研究され、その解の一意性が証明されました。${\displaystyle r<a}$${\displaystyle a>0}$
   
   
   
   
   
   
   
7. 散乱理論におけるT行列アプローチの数学的正当性が示されています。^[13]一連の論文では、いくつかの不適切問題が調査されています。特に、現在広く使用されている、差分法のステップサイズの選択による正規化に基づく安定した微分化手順は、もともとで導入されました。^[46]
   この研究と私の他の不適切問題に関する研究の重要な特徴は、明示的に記述された推定定数による誤差推定です。
   特性値でのフレドホルム方程式のクラスの安定解の理論は、いくつかの論文で構築され、モノグラフで体系的に提示されています。^[3]この理論は、このモノグラフで任意の形状の小物体による波の散乱の理論の基礎となりました。
   分布における推定理論の積分方程式を解くための数値的方法が示されました。この理論は、モノグラフで要約されています。^[4]その基礎は、著者が開発した、任意の自己随伴楕円作用素の正有理関数の核を核とする多次元積分方程式のクラスの理論である。
   ラム博士課程の学生との共同研究を含む一連の論文とモノグラフ^[47]では、ヒルベルト空間で適切なコーシー問題を解くことによって線形、特に非線形の不適切問題を扱うための一般的な方法、動的システム法(DSM)が開発された。収束定理が証明されている。コーシー問題を離散化することで、不適切非線形問題を解くためのさまざまな反復法が得られ、これらの方法の収束定理が得られる。モノグラフ^[48]では、これらの結果が数値例で説明されている。
   ラムによって証明された修正レイリー予想と呼ばれる定理に基づいて、外部境界値問題と内部境界値問題および散乱問題を解く新しいアプローチが開発され、数値的にテストされました（論文、^{[49] [50] [51] [52] [53]}）。
8. 弱非自己随伴演算子の理論が散乱理論に適用されました。回折および散乱理論で生じるいくつかの非自己随伴積分演算子のルート ベクトルの集合の完全性が初めて証明されました。これにより、電気工学でよく使われる方法である EEM (固有モード展開法) が数学的に正当化されました。
9. 博士課程の学生であるAI Katsevichと共同で、信号および画像処理、特にエッジ検出のための数値的手法を開発し、かなり広範な代替案に対するランダム性の非常に一般的なテストを見つけて数学的に正当化しました。AI
   Katsevichと共同で、局所トモグラフィーデータから関数のジャンプを見つけるための新しい手法を開発しました。これらの手法は実用上重要であることがわかりました。
   これらの結果は数値的および実用的にテストされ、その有効性が実証されました。これらの結果を含むモノグラフ（^[53]）は、1996年にAI Katsevichと共同で出版されました。
   米国特許庁はAG RammとAI Katsevichに「拡張局所トモグラフィー」と「擬似局所トモグラフィー」の2つの特許（1996年7月23日の5,539,800と1996年8月27日の5,550,892）を発行しました。
10. ラドン変換の特異点に関する体系的な研究が行われ、ラドン変換の特異点近傍の漸近挙動の完全な記述が得られ、トモグラフィーの重要な問題、すなわちトモグラフィーデータから関数の特異点を見つける問題に適用されました。これらの結果は一連の論文として発表され、モノグラフに掲載されました。^[54]
11. 地球物理学のモデル逆問題に対する一意性定理が証明され、非一意性の例が構築され、低周波データの逆変換の理論が開発されました（モノグラフ^[13]と^[20]）。
12. 非線形合成問題を含む、多数のアンテナ合成問題の理論的調査が行われた。一般的な合成問題の解の非一意性の程度が説明されている（モノグラフ、^{[55] [56]}）。一般相対性理論、線形演算子と二次形式のスペクトルの漸近線、近似理論、静電容量と分極率の変分推定、開放系と量子力学における共鳴の計算方法、共鳴の摂動論、インピーダンストモグラフィー、積分方程式の特異摂動、量子カオスなど、様々な性質と数学の異なる分野における他の多くの結果がある。作品の特徴は、関数解析と古典解析、数値法、PDE、物理学と理論工学、およびそれらの組み合わせの体系的な使用である。幅広い関心により、非常に多様な関心を持つ数学者やエンジニアと交流することができた。
13. 2007 年から 2017 年にかけて、AGRamm は一連の論文 ( ^[57] -、^{[58] [59]} -、^{[60] [61]} -、^{[62] [63] [64] [65] [ 66 ] [67] [68] [69] [70] [71] [72] [73] [74] [42] [75] [76]}およびモノグラフ^[77]と^[78] ) を発表し、所望の屈折係数を持つ材料を作成する方法を開発した。 この方法は、不均質媒体に埋め込まれた多数の小さな粒子による多体散乱問題に対する Ramm の解法に基づいている。 屈折係数は、新しい材料が所望の波集束特性を持つように作成することも、負の屈折特性を持つように作成することもできる。負の屈折特性とは、この材料の群速度が位相速度と反対方向を向いていることを意味する。 これらの結果はモノグラフ^[77]とで発表されている。^[78]モノグラフ^[79]は第2版です。^[78]これらの結果は、所望の屈折係数を持つ小さなインピーダンス粒子を実際に製造できれば、すぐに実用化できるでしょう。
14. 2017年から2019年にかけて、AGラムは偏微分方程式の対称性問題に取り組んでいました。シファー予想の証明やポンペイウ問題の解決を含む彼の新しい結果は、モノグラフ^{[80]と論文[81] [82] [83]}で発表されています。
15. 2019年から2021年にかけて、AGRammはナビエ・ストークス問題（NSP）に取り組みました。彼はNSPの詳細な分析を示すモノグラフR707を発表しました。ナビエ・ストークス方程式は矛盾していることが証明されています。論文^[84]では、 NSPパラドックスが定式化されています。これらの結果は、でミレニアムナビエ・ストークス問題を解決します。2022年8月24日現在、この解決策はクレイ数学研究所に受け入れられていませんが、これまでのところ、モノグラフで不明な点を指摘した人はいません。 ^{[85] Zentralblattに掲載された論文[86]}のレビューがあり、^{[87]では[86]}の推定が間違っていると主張されています。Zentralblattのレビューでのこの主張は、で証明されたように誤りです。^[85]${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$
16. 2017年から2019年にかけて、AGRammはコンパクトに支えられたポテンシャルと非過剰決定散乱データに対する逆散乱問題の解の一意性を初めて証明した。これらの結果はモノグラフ^[44]と、そこに引用されている著者の論文、特に^{[19] [35] [36]}に掲載されている。彼の理論には、非過剰決定データによる逆障害散乱問題の解の一意性の証明が含まれている。これらの結果は論文^{[88] [89]とモノグラフ[44] [45]}に掲載されている。
17. 2018年から2022年にかけて、AGラムは、高度に特異なカーネルを持つ畳み込み積分方程式を解く理論を開発しました。^{[85] [90] [91]}
18. 2022年にAGラムは$L^1(S)​​$境界データを用いたディリクレ問題の解の存在と一意性を証明した。^[92]
19. ^{[93] [94]}では、非線形微分方程式の解の大域的存在と安定性が提示されている。
20. ^[95]では散乱体の大きさは散乱振幅から推定される。