微分の一般化

数学において、導関数は微分積分学の基本的な構成であり、数学的解析、組合せ論、代数、幾何学など の分野内で多くの一般化が可能です。

フレシェ微分は、一般のノルムベクトル空間 の微分を定義します。簡単に言うと、の開部分集合である関数 は、有界線型演算子が存在し、 ${\displaystyle V,W}$${\displaystyle f:U\to W}$${\displaystyle U}$${\displaystyle V}$${\displaystyle x\in U}$ ${\displaystyle A:V\to W}$$${\displaystyle \lim _{\|h\|\to 0}{\frac {\|f(x+h)-f(x)-Ah\|_{W}}{\|h\|_{V}}}=0.}$$

関数は、個々の点ではなく、の何らかの開近傍で微分可能であると定義されます。そうしないと、多くの病的な反例につながる傾向があるためです。 ${\displaystyle x}$

フレシェ微分は初等的な一変数微積分における微分公式と非常によく似ており、単に A を左側に移動するだけです。ただし、フレシェ微分A は関数 を表します。 $${\displaystyle \lim _{h\to 0}{\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}=A,}$$${\displaystyle t\mapsto f'(x)\cdot t}$

多変数解析において、ベクトル値関数R ⁿからR ^mによって定義される微分方程式の文脈において、フレシェ導関数A は、 Rをそれ自身のベクトル空間と見なしたR上の線型演算子であり、関数の最良線型近似に対応する。このような演算子が存在する場合、それは一意であり、点xにおける写像 ƒ のヤコビ行列J _x (ƒ)と呼ばれるm行n列の行列によって表すことができる。この行列の各要素は偏導関数を表し、ドメイン座標の変化に対する 1 つの範囲座標の変化率を指定する。もちろん、合成g _° fのヤコビ行列は、対応するヤコビ行列の積である: J _x ( g _° f ) =J _{ƒ( x )} ( g )J _x (ƒ)。これは連鎖律の高次元表現である。

R ⁿからR (スカラー場)への実数値関数の場合、フレシェ微分は全微分と呼ばれるベクトル場に対応します。これは勾配として解釈できますが、外微分を使用する方が自然です。

対流微分は、時間依存性とベクトル場に沿った空間内の動きによる変化を考慮しており、全微分という特殊なケースです。

RからR ⁿまでのベクトル値関数(つまり、パラメトリック曲線)の場合、フレシェ導関数は各コンポーネントの導関数を個別に取ることに相当します。結果の導関数はベクトルにマッピングできます。これは、たとえば、ベクトル値関数が時間経過に伴う粒子の位置ベクトルである場合、導関数は時間経過に伴う粒子の速度ベクトルになるので便利です。

複素解析では、フレシェ微分が存在する 複素数上の複素数値関数である正則関数が中心的な研究対象です。

幾何微積分学では、幾何微分はライプニッツ（積）則の弱い形式を満たします。これはフレシェ微分を幾何代数の対象に特化したものです。幾何微積分学は、微分形式と微分幾何学の同様の枠組みを包含することが示されている強力な形式です。^[1]

滑らかな多様体上の微分形式の外積代数において、外微分はライプニッツの法則の次数バージョンを満たし、ゼロに二乗する唯一の線型写像である。これは外積代数上の第 1 次微分である。 R ³では、勾配、回転、発散は外積の特殊なケースである。勾配の直感的な解釈は、それが「上」を指している、つまり関数が最も速く増加する方向を指している、ということである。これは、スカラー関数の方向微分または法線方向を計算するために使用できる。発散は、点の近くにどれだけの「ソース」または「シンク」があるかの尺度を与える。これは、発散定理によってフラックスを計算するために使用できる。回転は、点の近くでベクトル場がどれだけの「回転」を持っているかを測定する。

リー微分は、別のベクトル場の流れに沿ったベクトル場またはテンソル場の変化率です。ベクトル場の場合、これはリー括弧の例です(ベクトル場は多様体の微分同相群のリー代数を形成します)。これは代数上のグレード 0 の微分です。

外微分とリー微分は、内積（ベクトル場との縮約によって定義される外積代数上の次数 -1 の微分）とともに、リー超代数を形成します。

微分位相幾何学では、ベクトル場は多様体上の滑らかな関数の環上の微分として定義され、接ベクトルは点での微分として定義されます。これにより、スカラー関数の方向微分の概念を一般多様体に対して抽象化できます。R ⁿのサブセットである多様体の場合、この接ベクトルは方向微分と一致します。

多様体間の写像の微分またはプッシュフォワードは、それらの写像の接空間間の誘導写像です。これはヤコビ行列を抽象化します。

微分幾何学では、共変微分は曲線に沿ったベクトル場の方向微分を取るための選択を行います。これは、スカラー関数の方向微分をベクトル束または主束の切断に拡張します。リーマン幾何学では、計量の存在により、レヴィ-チヴィタ接続として知られる、唯一の好ましいねじれのない共変微分が選択されます。物理学向けの処理については、 ゲージ共変微分も参照してください。

外共変微分は外微分をベクトル値形式に拡張します。

局所的に積分可能であるが、必ずしも古典的に微分可能であるとは限らない関数 が与えられた場合、部分積分によって弱導関数を定義できます。まず、無限微分可能でコンパクトにサポートされている関数 であるテスト関数と、長さ の整数のリストであるマルチインデックスを定義します。これをテスト関数に適用すると、になります 。すると、すべてのテスト関数に対して、次が成り立つ関数が存在する場合、の弱導関数が存在し、${\displaystyle u:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} }$${\displaystyle \varphi \in C_{c}^{\infty }\left(\mathbb {R} ^{n}\right)}$${\displaystyle n}$${\displaystyle \alpha =(\alpha _{1},\dots ,\alpha _{n})}$${\textstyle |\alpha |:=\sum _{1}^{n}\alpha _{i}}$${\textstyle D^{\alpha }\varphi :={\frac {\partial ^{|\alpha |}\varphi }{\partial x_{1}^{\alpha _{1}}\dotsm x_{n}^{\alpha _{n}}}}}$${\textstyle \alpha ^{\text{th}}}$${\displaystyle u}$${\displaystyle v:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} }$${\displaystyle \varphi }$

${\displaystyle \int _{\mathbb {R} ^{n}}u\ D^{\alpha }\!\varphi \ dx=(-1)^{|\alpha |}\int _{\mathbb {R} ^{n}}v\ \varphi \ dx}$

そのような関数が存在する場合、はほぼどこでも一意です。この定義は関数 の古典的な微分と一致し、超関数と呼ばれる一般化された関数の一種、つまりテスト関数の双対空間に拡張できます。弱微分は、偏微分方程式の研究や関数解析の一部で特に役立ちます。 ${\displaystyle D^{\alpha }u:=v}$${\displaystyle u\in C^{|\alpha |}\left(\mathbb {R} ^{n}\right)}$

実数では、微分処理を反復することができます。つまり、導関数を複数回適用して、2 次以上の導関数を得ることができます。多変数微積分学で研究される、複数の変数を持つ関数に対して、より高次の導関数を定義することもできます。この場合、導関数を繰り返し適用する代わりに、異なる変数に関して偏導関数を繰り返し適用します。たとえば、 n変数のスカラー関数の 2 次偏導関数は、 n行n列の行列、つまりヘッセ行列にまとめることができます。微妙な点の 1 つは、高次の導関数が本質的に定義されておらず、複雑な方法で座標の選択に依存することです (特に、関数のヘッセ行列はテンソルではありません)。それでも、高次の導関数は、関数の臨界点における局所的極値の解析に重要な用途があります。この解析の多様体の位相への高度な応用については、 モース理論を参照してください。

任意の自然数nのn 次導関数に加えて、分数または負の次の導関数を定義するさまざまな方法があり、これらは分数計算で研究されます。 -1 次の導関数は積分に対応するため、 differintegral という用語が使用されます。

四元数解析では、実関数や複素関数と同様の方法で導関数を定義できます。四元数 は可換ではないため、差商の極限により2つの異なる導関数が得られます。左導関数 ${\displaystyle \mathbb {H} }$

${\displaystyle \lim _{h\to 0}\left[h^{-1}\left(f(a+h)-f(a)\right)\right]}$

そして右微分

${\displaystyle \lim _{h\to 0}\left[\left(f(a+h)-f(a)\right)h^{-1}\right].}$

これらの極限の存在は非常に制限的な条件です。たとえば、 が開連結集合 上のすべての点で左微分を持つ場合、に対して となります。 ${\displaystyle f:\mathbb {H} \to \mathbb {H} }$${\displaystyle U\subset \mathbb {H} }$${\displaystyle f(q)=a+qb}$${\displaystyle a,b\in \mathbb {H} }$

• 関数のq微分は、 公式 で定義されます。x がゼロでない場合、f がxの微分可能関数であれば、 q → 1の極限で常微分が得られるため、q微分はそのq 変形と見なすことができます。二項式公式やテイラー展開など、常微分積分学の結果の大部分には、19 世紀に発見された自然なq類似体がありますが、特殊関数の理論以外では、20 世紀の大部分の間、あまり知られていません。組合せ論の進歩と量子群の発見により、状況は劇的に変化し、q類似体の人気が高まっています。$${\displaystyle D_{q}f(x)={\frac {f(qx)-f(x)}{(q-1)x}}.}$$
• 差分方程式の差分演算子は、標準微分の別の離散類似物です。$${\displaystyle \Delta f(x)=f(x+1)-f(x)}$$
• q-微分、差分演算子、標準微分は、異なる時間スケールでは同じものとしてみなすことができます。たとえば、 を取ると、次のようになります。q-微分はハーン差分の特殊なケースです。^[2]ハーン差分はq-微分の一般化であるだけでなく、前進差分の拡張でもあります。${\displaystyle \varepsilon =(q-1)x}$$${\displaystyle {\frac {f(qx)-f(x)}{(q-1)x}}={\frac {f(x+\varepsilon )-f(x)}{\varepsilon }}.}$$ $${\displaystyle {\frac {f(qx+\omega )-f(x)}{qx+\omega -x}}.}$$
• また、q-微分は、よく知られている微分の特別なケースにすぎないことにも注意してください。 とします。すると、${\displaystyle z=qx}$$${\displaystyle \lim _{z\to x}{\frac {f(z)-f(x)}{z-x}}=\lim _{q\to 1}{\frac {f(qx)-f(x)}{qx-x}}=\lim _{q\to 1}{\frac {f(qx)-f(x)}{(q-1)x}}.}$$

代数学では、環やリー代数などの代数構造にライプニッツの微分規則を適用することで、導関数の一般化を得ることができます。

微分は、ライプニッツの法則（積の法則）を満たす環または代数上の線型写像である。高次の微分や代数微分作用素も定義できる。これらは、微分ガロア理論やD 加群の理論において純粋に代数的な設定で研究されているが、他の多くの分野にも登場し、代数的でない微分の定義と一致することが多い。

例えば、可換環R上の多項式の形式微分は次のように定義される。

${\displaystyle \left(a_{d}x^{d}+a_{d-1}x^{d-1}+\cdots +a_{1}x+a_{0}\right)'=da_{d}x^{d-1}+(d-1)a_{d-1}x^{d-2}+\cdots +a_{1}.}$

この写像は多項式環R [ X ]上の微分となる。この定義は有理関数にも 拡張できる。${\displaystyle f\mapsto f'}$

微分の概念は、可換環だけでなく非可換環にも適用され、リー代数などの非結合的な代数構造にも適用されます。

型理論では、多くの抽象データ型は、型に基づく構造を型にマッピングする変換によって生成される代数として記述できます。たとえば、型 A の値を含むバイナリ ツリーの型 T は、変換 1+A×T ² →T によって生成される代数として表すことができます。「1」は空のツリーの構築を表し、2 番目の項は値と 2 つのサブツリーからツリーを構築することを表します。「+」は、どちらの方法でもツリーを構築できることを示します。

このような型の導関数は、特定のサブ構造のコンテキストを、その次の外側の包含構造に関して記述する型です。言い換えると、2 つの間の「違い」を表す型です。ツリーの例では、導関数は、特定のサブツリーが与えられた場合に、その親ツリーを構築するために必要な情報を表す型です。この情報は、子が左側にあるか右側にあるかを示すバイナリ インジケーター、親の値、および兄弟サブツリーを含むタプルです。この型は 2×A×T として表すことができます。これは、ツリー型を生成した変換の導関数に非常によく似ています。

型の派生というこの概念は、関数型プログラミング言語で使用されるジッパー技法などの実用的な用途があります。

微分演算子は、異なる次数の複数の導関数を 1 つの代数式に組み合わせます。これは、定数係数を持つ通常の線形微分方程式を考えるときに特に便利です。たとえば、f ( x ) が 1 変数の 2 回微分可能な関数である場合、微分方程式はという形式に書き直すことができます 。ここで、 は xの関数に作用する2 次線形定数係数微分演算子 です。ここでの重要な考え方は、ゼロ次、1 次、2 次導関数の特定の線形結合を「すべて同時に」考えることです。これにより、通常の積分との類推により、この微分方程式の解の集合をその右辺 4 x  − 1の「一般化された原始微分」として考えることができ、正式には次のように書きます。 ${\displaystyle f''+2f'-3f=4x-1}$${\displaystyle L(f)=4x-1}$$${\displaystyle L={\frac {d^{2}}{dx^{2}}}+2{\frac {d}{dx}}-3}$$$${\displaystyle f(x)=L^{-1}(4x-1).}$$

異なる変数の導関数を組み合わせると、偏微分演算子の概念が得られます。各関数にその導関数を割り当てる線形演算子は、関数空間上の微分演算子の例です。フーリエ変換によって、分数計算を可能にする擬似微分演算子を定義できます。

これらの演算子の中には非常に重要なものがあり、独自の名前が付けられています。

• R ^3上のラプラス演算子またはラプラシアンは、3 つの変数のスカラー関数の勾配の発散によって与えられる 2 次偏微分演算子Δです。または、任意の数の変数の関数に対して類似の演算子を定義できます。$${\displaystyle \Delta ={\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}}{\partial z^{2}}}.}$$
• ダランベール演算子または波動演算子はラプラシアン演算子に似ていますが、4 変数の関数に作用します。その定義では、R ³のユークリッド内積の代わりに、ミンコフスキー空間の不定計量テンソルを使用します。 $${\displaystyle \square ={\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}}{\partial z^{2}}}-{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}.}$$
• シュワルツ微分は、通常の微分が関数を線形写像で近似する方法を記述するのとほぼ同じように、複素関数を分数線形写像で近似する方法を記述する非線形微分演算子です。
• ヴィルティンガー導関数は、実変数の関数に対する通常の微分積分と完全に類似した複素関数の微分積分の構築を可能にする微分演算子のセットです。

関数解析において、関数微分は関数の空間上の関数の関数に関する微分を定義します。これは方向微分を無限次元ベクトル空間に拡張したものです。重要なケースは変分法における変分微分です。

部分微分と部分勾配は、凸解析で使用される凸関数への微分を一般化したものです。

可換代数において、ケーラー微分は可換環または可換加群の普遍微分である。ケーラー微分は、滑らかな多様体だけでなく任意の代数多様体に適用される微分幾何学の外微分と同様のものを定義するために使用できる。

p 進解析では、通常の微分の定義は十分に強力ではなく、代わりに厳密な微分可能性が必要になります。

ガトー微分はフレシェ微分を局所凸位相 ベクトル空間に拡張します。フレシェ微分可能性は、有限次元であってもガトー微分可能性よりも厳密に強い条件です。2 つの極端な条件の間には、準微分 があります。

測度論において、ラドン・ニコディム微分は、変数変換に使用されるヤコビアンを測度に一般化します。これは、ある測度 μ を別の測度 ν で表現します (特定の条件下)。

H微分は、抽象ウィーナー空間とマリアヴァン計算の研究における微分の概念であり、確率過程の研究に使用されます。

ラプラシアンとそれを用いた微分方程式はフラクタル上で定義できる。1次微分や勾配に完全に一致する類似物はない。^[3]

カーリッツ微分は、通常の微分に似た操作であるが、実数または複素数の通常のコンテキストが、ある有限体F _qの係数を持つ形式ローラン級数の形の正特性の局所体に変換される（正特性の局所体はローラン級数体に同型であることが知られている）。指数関数、対数、その他に適切に定義された類似物とともに、この微分は、滑らかさ、解析性、積分、テイラー級数、および微分方程式の理論の概念を展開するために使用できる。^[4]

元の微分に対する上記の異なる拡張または抽象化の概念を 2 つ以上組み合わせることも可能かもしれません。たとえば、フィンスラー幾何学では、局所的にバナッハ空間のように見える空間を研究します。したがって、関数微分と共変微分のいくつかの特徴を備えた微分が必要になる場合があります。

乗法微積分は加算を乗算に置き換えるため、差の比の極限を扱うのではなく、比の累乗の極限を扱います。これにより、幾何微分と重幾何微分の開発が可能になります。さらに、古典的な微分演算子に離散類似物である差演算子があるのと同じように、これらの乗法微分にも離散類似物が存在します。

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