外共変微分

微分幾何学という数学の分野において、外共変微分は、接続を持つ微分可能な主束またはベクトル束の設定に対する外微分の概念の拡張である。

G をリー群とし、P → M を滑らかな多様体M上の主G束とします。 P上に接続があると仮定します。これにより、各接空間が水平部分空間と垂直部分空間に自然に直接和分解されます。を水平部分空間への射影とします。 ${\displaystyle T_{u}P=H_{u}\oplus V_{u}}$${\displaystyle h:T_{u}P\to H_{u}}$

ϕ がベクトル空間Vに値を持つP上のk形式である場合、その外共変微分Dϕ は次のように定義される形式である。

${\displaystyle D\phi (v_{0},v_{1},\dots ,v_{k})=d\phi (hv_{0},hv_{1},\dots ,hv_{k})}$

ここで、v _{i は}uにおけるPの接線ベクトルです。

ρ  : G → GL( V )がベクトル空間V上のGの表現であるとする。ϕ が次の意味で 同変であれば、

${\displaystyle R_{g}^{*}\phi =\rho (g)^{-1}\phi }$

ここで、Dϕ はP上のρ型のテンソル( k + 1)形式です。これは同変かつ水平です (形式ψが水平であるためには、ψ ( v ₀、...、v _k ) = ψ ( hv ₀、...、hv _k )が成り立ちます)。 ${\displaystyle R_{g}(u)=ug}$

表記法を誤用すると、単位元におけるρの微分は再びρと表記される。

${\displaystyle \rho :{\mathfrak {g}}\to {\mathfrak {gl}}(V).}$

を接続1形式とし、接続の表現をとします。つまり、は-値形式であり、水平部分空間上では消えます。ϕ がρ型のテンソルk -形式である場合、 ${\displaystyle \omega}$${\displaystyle \rho (\omega )}$${\displaystyle {\mathfrak {gl}}(V).}$${\displaystyle \rho (\omega )}$${\displaystyle {\mathfrak {gl}}(V)}$

${\displaystyle D\phi =d\phi +\rho (\omega )\cdot \phi ,}$^[1]

ここで、リー代数値微分形式§演算の表記に従って、次のように書きました。

${\displaystyle (\rho (\omega )\cdot \phi )(v_{1},\dots ,v_{k+1})={1 \over (1+k)!}\sum _{\sigma } \演算子名 {sgn} (\sigma )\rho (\omega (v_{\sigma (1)}))\phi (v_{\sigma (2)},\dots ,v_{\sigma (k+1)}).}$

通常の外微分は0に2乗されるが、外共変微分は0に2乗されない。一般に、テンソル零形式ϕに対して、

${\displaystyle D^{2}\phi =F\cdot \phi .}$^[2]

ここで、F = ρ (Ω) は、曲率 2 形式Ωのにおける表現^{[明確化が必要]です。形式 F は、}電磁気学での役割に倣って、場の強度テンソルと呼ばれることもあります。平坦な接続(つまり、Ω = 0のとき) ではD ^{2 が}消えることに注意してください。${\displaystyle {\mathfrak {gl}}(V)}$

ρ  : G → GL( R ⁿ )ならば、次のように書ける。

${\displaystyle \rho (\Omega )=F=\sum {F^{i}}_{j}{e^{j}}_{i}}$

ここで、 は、( i , j )番目の要素が 1、他の要素が 0 である行列です。P上の 2 形式である要素を持つ行列は、曲率行列と呼ばれます。 ${\displaystyle {e^{i}}_{j}}$${\displaystyle {F^{i}}_{j}}$

接続∇と階数rを持つ滑らかな実ベクトル束E → Mが与えられたとき、外共変微分はEに値を持つベクトル値微分形式上の実線型写像である。

${\displaystyle d^{\nabla }:\Omega ^{k}(M,E)\to \Omega ^{k+1}(M,E)。}$

共変微分はk = 0のときの写像です。外共変微分はこの写像を一般のkに拡張します。このオブジェクトを定義するには、いくつかの同等な方法があります。

• ^[3]ベクトル値の微分2形式が、各pに完全に反対称な多重線型写像s _p : T _p M × T _p M → E _pを割り当てるものと仮定する。すると、外共変微分d ^∇ sは、各pに、式で与えられる多重線型写像T _p M × T _p M × T _p M → E _{pを割り当てる。}

${\displaystyle {\begin{aligned}\nabla_{x_{1}}(s(X_{2},X_{3}))&-\nabla_{x_{2}}(s(X_{1},X_{3}))+\nabla_{x_{3}}(s(X_{1},X_{2}))\\&-s([X_{1},X_{2}],x_{3})+s([X_{1},X_{3}],x_{2})-s([X_{2},X_{3}],x_{1}).\end{aligned}}}$

ここで、x ₁、x ₂、x _{3 は}、滑らかな局所的に定義されたベクトル場X ₁、X ₂ X ₃に拡張される、 pにおける任意の接ベクトルです。この定義の正当性は、上記の式がx ₁、x ₂、x ₃のみに依存し、拡張の選択には依存しないという事実に依存します。これは、共変微分とベクトル場のリー括弧に関するライプニッツの規則によって検証できます。 k = 2 の場合に上記の式で確立されたパターンは、任意のkに対する外共変微分を定義するために直接拡張できます。

• ^[4]外共変微分は、各kに対して実線型写像Ω ^k ( M , E ) → Ω ^{k + 1} ( M , E )を定義するという公理的な性質によって特徴付けられる。これはk = 0に対して共変微分であり、一般にライプニッツ則を満たす。

${\displaystyle d^{\nabla }(\omega \wedge s)=(d\omega )\wedge s+(-1)^{k}\omega \wedge (d^{\nabla }s)}$

任意の微分k形式ωと任意のベクトル値形式sに対して、この定義は直接的な帰納的定義とも言える。例えば、任意のベクトル値微分 1 形式sとベクトル束の任意の局所フレームe ₁ , ..., e _rに対して、 sの座標は局所的に定義された微分 1 形式ω ¹ , ..., ω ^rである。上記の帰納的式は、^{[5]で表すことができる。}

${\displaystyle {\begin{aligned}d^{\nabla }s&=d^{\nabla }(\omega ^{1}e_{1}+\cdots +\omega ^{r}e_{r})\ \&=(d\omega ^{1})e_{1}+\cdots +(d\omega ^{r})e_{r}-\omega ^{1}\nabla e_{1}-\cdots -\omega ^{r}\nabla e_{r}.\end{aligned}}}$

これがd ^∇ sの正当な定義であるためには、局所フレームの選択が無関係であることを確認する必要があります。これは、任意の基底変換行列によって取得された 2 番目の局所フレームを考慮することで確認できます。逆行列は、1 形式ω ₁、...、ω _rの基底変換行列を提供します。上記の式に代入すると、標準外微分と共変微分∇に適用されるライプニッツ規則により、任意の選択が打ち消されます。

• ^[6]ベクトル値微分2形式sは、 ​​Mの局所座標チャート上のEの任意の局所フレームに割り当てられた関数s ^α _ijの特定の集合と見なすことができます。外部共変微分は、関数によって与えられると定義されます。

${\displaystyle (d^{\nabla }s)^{\alpha }{}_{ijk}=\nabla _{i}s^{\alpha }{}_{jk}-\nabla _{j}s ^{\alpha }{}_{ik}+\nabla _{k}s^{\alpha }{}_{ij}.}$

これがEで値を取るテンソル場を定義するという事実は、共変微分に対する同じ事実の直接的な帰結である。これがEで値を取る微分 3 形式であるというさらなる事実は、 i、j、kにおける完全な反対称性を主張し、上記の式と、sがベクトル値の微分 2 形式であるという文脈上の仮定から直接検証され、したがってs ^α _ij = − s ^α _jiとなる。 k = 2に対する外共変微分のこの定義のパターンは、 kのより大きな値に直接拡張することができる。この定義は、代わりにE
の任意の局所フレームで表現することができるが、 M上の座標は考慮しない。すると、ベクトル値の微分 2 形式は微分 2 形式s ¹、...、s ^rで表現され、接続は接続 1 形式、つまり微分 1 形式θ _α ^{βの歪対称}r × r行列で表現される。sの外部共変微分は、ベクトル値の微分3次元形式として、局所フレームに対してr個の微分3次元形式で表現され、次のように定義されます。

${\displaystyle (d^{\nabla }s)^{\alpha }=d(s^{\alpha })+\theta _{\beta }{}^{\alpha }\wedge s^{\beta }.}$

標準的な接続を持つ自明な実数直線束ℝ × M → Mの場合、ベクトル値微分形式と微分形式は自然に同一視でき、上記の各定義は標準的な外微分と一致する。

主バンドルが与えられたとき、構造群の任意の線型表現は付随バンドルを定義し、主バンドル上の任意の接続は付随ベクトルバンドル上の接続を誘導する。ベクトルバンドルに値を持つ微分形式は、主バンドルの全空間上の完全に反対称なテンソル形式と自然に同一視できる。この同一視の下では、主バンドルとベクトルバンドルの外共変微分の概念は互いに一致する。^[7]

ベクトル束上の接続の曲率は、2つの外共変微分 Ω 0 ( M , E ) → Ω 1 ( M , E ) と Ω 1 ( M , E ) → Ω 2 ( M , E ) の合成として定義できる^ため、実線型写像F ^: Ω 0 ( M , E ) ^→ Ω 2 ( M , ^E )として定義されます。 F ⁽ s ) p : T ^p M × T p M → E pは_s ( p ₎のみに依存_し、線形で_あるということは、基本的な事実ですが、すぐにはわかりません。そのため、曲率はΩ ² ( M , End( E ))の要素と見なすことができます。外共変微分がどのように定式化されるかに応じて、曲率のさまざまな代替的だが同等な定義（外微分という言語を使用しない定義もいくつかあります）が得られます。

標準外微分とそれ自身の合成がゼロであることはよく知られた事実です: d ( d ω) = 0 。現在の文脈では、これは、自明な直線束ℝ × M → M上の標準接続の曲率がゼロであることを言っていると見なすことができます。

• ビアンキの第二恒等式は、Ω の外部共変微分がゼロ（つまり、D Ω = 0）であることを表しており、次のように表すことができます。${\displaystyle d\Omega +\operatorname {ad} (\omega )\cdot \Omega =d\Omega +[\omega \wedge \Omega ]=0}$