モジュール（数学）

数学において、加群はベクトル空間の概念を一般化したものであり、スカラー体を（必ずしも可換ではない）環に置き換えたものである。加群の概念はアーベル群の概念も一般化している。なぜなら、アーベル群は整数環上の加群とまったく同じだからである。^[1]

ベクトル空間と同様に、モジュールは加法アーベル群であり、スカラー乗算はリングまたはモジュールの要素間の加算演算に対して分配的であり、リング乗算と 互換性があります。

モジュールは群の表現理論と非常に密接に関連しており、可換代数とホモロジー代数の中心的な概念の1つでもあり、代数幾何学と代数位相幾何学で広く使用されています。

ベクトル空間では、スカラーの集合は体であり、分配法則などの特定の公理に従って、スカラー乗算によってベクトルに作用します。 モジュールでは、スカラーはリングであればよいため、モジュールの概念は重要な一般化を表します。 可換代数では、イデアルと商環の両方がモジュールであるため、イデアルまたは商環に関する多くの議論を、モジュールに関する単一の議論にまとめることができます。 非可換代数では、左イデアル、イデアル、およびモジュールの区別がより顕著になりますが、一部の環論的条件は左イデアルまたは左モジュールのいずれかについて表現できます。

加群の理論の多くは、ベクトル空間の望ましい特性のできるだけ多くを、主イデアル領域などの「行儀のよい」環上の加群の領域に拡張することから成ります。しかし、加群はベクトル空間よりもかなり複雑になることがあります。たとえば、すべての加群が基底を持つわけではなく、基底を持つ加群 (自由加群)であっても、基底の環が不変基底数条件を満たさない場合は、基底の要素の数がすべての基底で同じである必要はありません (つまり、一意のランクを持たない可能性があります)。一方、ベクトル空間では、基底 (無限の場合もある) が常に存在し、その基数の濃度は一意です。(これらの最後の 2 つの主張は一般に選択公理を必要としますが、有限次元ベクトル空間や、 L ^p空間などの特定の行儀のよい無限次元ベクトル空間の場合は必要ではありません。)

Rが環で、1 がその乗法単位元であるとする。左R加群 M はアーベル群 ( M , +)と演算·  : R × M → Mから成り、 Rのすべてのr、sおよびMのすべてのx、yに対して、次が成り立つ。

1. ${\displaystyle r\cdot (x+y)=r\cdot x+r\cdot y}$、
2. ${\displaystyle (r+s)\cdot x=r\cdot x+s\cdot x}$、
3. ${\displaystyle (rs)\cdot x=r\cdot (s\cdot x)}$、
4. ${\displaystyle 1\cdot x=x.}$

· という演算はスカラー乗算と呼ばれます。記号 · は省略されることが多いですが、この記事ではこれを使用し、Rでの乗算にのみ並置します。 Mが左R加群であることを強調するために、_R Mと書くこともできます。右R加群M _{R は}同様に、演算· : M × R → Mによって定義されます。

環がユニタルである必要がない著者は、上記の定義の条件 4 を省略します。彼らは、上で定義された構造を「ユニタル左Rモジュール」と呼びます。この記事では、環論の用語集と一致して、すべての環とモジュールがユニタルであると仮定します。^[2]

( R , S )-双加群は、 Rの元による左スカラー乗算 ·とSの元による右スカラー乗算 ∗ の両方を備えたアーベル群であり、同時に左R加群と右S加群となり、すべてのR内のr、M内のx、およびS内のsに対して、追加条件( r · x ) ∗ s = r ⋅ ( x ∗ s )を満たします。

Rが可換である場合、左R加群は右R加群と同じであり、単にR加群と呼ばれます。

• Kが体である場合、K加群はKベクトル空間( K上のベクトル空間)と呼ばれます。
• Kが体で、K [ x ] が一変数多項式環である場合、K [ x ] 加群 M は、 KのMへの作用と可換な群準同型によるxのMへの追加作用を持つK加群です。言い換えると、K [ x ] 加群は、MからMへの線型写像と組み合わされたKベクトル空間Mです。主イデアル領域上の有限生成加群の構造定理をこの例に適用すると、有理形式とジョルダン標準形式の存在が示されます。
• Z加群の概念は、アーベル群の概念と一致しています。つまり、すべてのアーベル群は、一意的に整数環 Z上の加群です。n > 0の場合、n ⋅ x = x + x + ... + x ( n個の加数)、0 ⋅ x = 0、(− n ) ⋅ x = −( n ⋅ x )とします。このような加群は基底を持つ必要はありません。ねじれ元を含む群は基底を持ちません。(たとえば、 3 を法とする整数群では、 3 や 6 などの整数を要素に掛けると結果が 0 になるため、線型独立集合の定義を満たす要素を1 つも見つけることができません。ただし、有限体を環としてとった同じ有限体上の加群と見なすと、ベクトル空間になり、基底を持ちます。)
• 小数（負の数を含む）は、整数上のモジュールを形成します。シングルトンのみが線形独立なセットですが、基底として機能するシングルトンがないため、モジュールには基底もランクもありません。
• R が任意の環でnが自然数である場合、成分ごとの演算を使用すると、直積 R ^{n は}R上の左 R 加群と右R加群の両方になります。したがって、 n = 1のとき、R はR加群であり、スカラー乗算は環の乗算にすぎません。 n = 0の場合は、単位元のみで構成される自明なR加群 {0} が生成されます。このタイプの加群は自由加群と呼ばれ、R が不変基数を持つ場合(たとえば、任意の可換環または体)、数n は自由加群の階数です。
• M _n ( R ) が環R上のn  ×  n 行列の環であり、Mが M _n ( R ) 加群であり、e _{i が}( i , i )要素に 1 (他は 0)を持つn × n行列である場合、 re _i m = e _i rm ∈ e _i Mなので、e _i MはR加群です。したがって、M はR加群の直和、M = e ₁ M ⊕ ... ⊕ e _n Mとして分解されます。逆に、R加群M ₀が与えられた場合、M ₀ ^{⊕ n}は M _n ( R ) 加群です。実際、R加群のカテゴリとM _n ( R ) 加群のカテゴリは同値です。特殊な場合は、加群Mがそれ自身の加群としてのRである場合であり、その場合、 R ^{nは M} _n ( R ) 加群です。
• Sが空でない 集合、Mが左R加群、M ^Sがすべての関数 f  : S → Mの集合である場合、 M ^Sの加算とスカラー乗算が( f + g )( s ) = f ( s ) + g ( s )および( rf )( s ) = rf ( s )によって点ごとに定義されるとき、M ^{S は}左R加群である。右R加群の場合も同様である。特に、Rが可換である場合、 R 加群準同型 h  : M → N (以下を参照)の集合はR加群 (実際にはN ^Mのサブ加群)である。
• Xが滑らかな多様体である場合、Xから実数への滑らかな関数は環C ^∞ ( X ) を形成します。X上で定義されたすべての滑らかなベクトル場の集合はC ^∞ ( X )上の加群を形成し、X上のテンソル場と微分形式も同様です。より一般的には、任意のベクトル束の切断はC ^∞ ( X )上の射影加群を形成し、スワンの定理により、すべての射影加群は何らかのベクトル束の切断の加群と同型です。つまり、C ^∞ ( X ) 加群のカテゴリとX上のベクトル束のカテゴリは同値です。
• Rが任意の環であり、IがR内の任意の左イデアルである場合、I は左R加群であり、同様にR内の右イデアルは右R加群である。
• R が環である場合、同じ基礎集合と同じ加算演算を持ち、ただし乗算が逆である反対環 R ^{opを定義できます。つまり、} Rでab = c であれば、R ^opでba = cです。したがって、任意の左R加群M はR ^op上の右加群と見なすことができ、R上の任意の右加群はR ^op上の左加群と見なすことができます。
• リー代数上の加群は、 （結合代数では）その普遍包絡代数上の加群です。
• RとS が環準同型 φ  : R → S を持つ環である場合、rm = φ ( r ) mを定義することにより、すべてのS加群M はR加群になります。特に、S自体はそのようなR加群です。

M が左R加群で、N がMのサブグループであるとします。このとき、Nがサブ加群（より明示的にはRサブ加群）であるとは、 Nの任意のnとRの任意のrに対して、積r ⋅ n（右R加群の場合はn ⋅ r）がNに含まれることを意味します。

X がR加群Mの任意の部分集合である場合、 Xによって張られる部分加群は と定義され、ここでN はX を含むMの部分加群上を走るか、または明示的に となり、これは加群のテンソル積の定義において重要である。^[3]${\textstyle \langle X\rangle =\,\bigcap _{N\supseteq X}N}$${\textstyle \left\{\sum _{i=1}^{k}r_{i}x_{i}\mid r_{i}\in R,x_{i}\in X\right\}}$

与えられたモジュールMのサブモジュールの集合は、2つの二項演算 + (引数の和集合によって張られるモジュール) および ∩ とともに、モジュラー法則を満たす格子を形成します。M のサブモジュールU、N ₁、N _2があり、 N ₁ ⊆ N ₂である場合、次の 2 つのサブモジュールは等しくなります: ( N ₁ + U ) ∩ N ₂ = N ₁ + ( U ∩ N ₂ )。

MとNが左R加群ならば、写像 f  : M → NがR加群の準同型となるのは、Mの任意のm、nおよびR の任意の r 、sに対して、

${\displaystyle f(r\cdot m+s\cdot n)=r\cdot f(m)+s\cdot f(n)}$。

これは、数学的オブジェクトの準同型写像と同様に、オブジェクトの構造を保存する単なるマッピングです。Rモジュールの準同型の別名は、R線形写像です。

全単射な加群準同型f  : M → Nは加群同型と呼ばれ、2 つの加群MとN は同型と呼ばれます。2 つの同型加群は実用上は同一であり、要素の表記法のみが異なります。

加群準同型f  : M → Nの核は、 fによってゼロに送られるすべての要素からなるMの部分加群であり、fの像は、 Mのすべての要素mに対する値f ( m )からなるNの部分加群です。^[4]群やベクトル空間でおなじみの同型定理は、 R加群に対しても有効です。

環Rが与えられたとき、すべての左R加群とその加群準同型からなる集合は、R - Modで表されるアーベル圏を形成します（加群の圏を参照）。

有限生成

R加群Mが有限生成であるとは、 Mに有限個の元x ₁ , ..., x _{n が}存在し、 Mのすべての元が環Rの係数を持つ元の線形結合である場合をいいます。

周期的

モジュールが 1 つの要素によって生成される場合、そのモジュールは循環モジュールと呼ばれます。

無料

自由R加群は、基底を持つ加群、またはそれと同等に、環Rのコピーの直和に同型な加群です。これらは、ベクトル空間と非常によく似た動作をする加群です。

射影的

射影加群は自由加群の直和であり、望ましい特性の多くを共有します。

単射

入射モジュールは射影モジュールと双対的に定義されます。

フラット

Rモジュールの任意の正確なシーケンスとのテンソル積をとったときに正確さが保たれる場合、そのモジュールはフラットであると呼ばれます。

ねじれなし

モジュールが代数的双対に埋め込まれる場合、そのモジュールは捩れがないと呼ばれます。

単純

単純モジュール Sは{0}ではないモジュールであり、そのサブモジュールは{0}とSのみである。単純モジュールは既約モジュールと呼ばれることもある。^[5]

半単純

半単純モジュールは単純モジュールの直和（有限または非有限）です。歴史的には、これらのモジュールは完全約数とも呼ばれます。

分解不可能

非分解モジュールとは、2 つの非ゼロ サブモジュールの直和として記述できない非ゼロ モジュールです。すべての単純モジュールは非分解ですが、単純ではない非分解モジュールも存在します (例:ユニフォーム モジュール)。

忠実な

忠実な加群 Mとは、 R内の各r ≠ 0のMへの作用が非自明である（つまり、M内の何らかのxに対してr ⋅ x ≠ 0である）加群のことである。同様に、Mの消滅子は零イデアルである。

ねじれなし

ねじれのない加群は、環上の加群であって、環の正則元（非零因子）によって消滅する唯一の元が 0 であるような加群であり、同様にrm = 0はr = 0またはm = 0を意味する。

ネーター派

ネーターモジュールは、サブモジュールの上昇連鎖条件を満たすモジュールです。つまり、サブモジュールの増加連鎖はすべて、有限ステップ後に定常になります。同様に、すべてのサブモジュールは有限生成されます。

アルティニアン

アルティニアン モジュールは、サブモジュール上の下降チェーン条件を満たすモジュールです。つまり、サブモジュールのすべての減少チェーンは、有限個のステップの後に定常になります。

グレード

次数付き加群は、すべて_のxとyに対してR _x M _y ⊆ M _{x + y}となる次数付き環R = ⨁ _x R _x上の直和M = ⨁ x M _xとして分解される加群です。

ユニフォーム

均一モジュールとは、すべての非ゼロサブモジュールのペアが非ゼロの交差を持つモジュールです。

体k上の群Gの表現は群環k [ G ]上の加群である。

Mが左R加群の場合、Rの元rの作用は、各xをrx (右加群の場合はxr )に写す写像M → Mとして定義され、必然的にアーベル群( M , +)の群準同型となる。 Mのすべての群準同型全体の集合はEnd _Z ( M ) と表され、加算と合成の下で環を形成し、 Rの環元r をその作用に写すと、実際にはRからEnd _Z ( M ) への環準同型が定義される。

このような環準同型R → End _Z ( M )は、アーベル群M上のRの表現と呼ばれます。左R加群を定義する別の同等の方法は、左R加群はアーベル群Mとその上のRの表現であると言うことです。このような表現R → End _Z ( M )は、 MへのRの環作用とも呼ばれます。

表現は、写像R → End _Z ( M )が単射であるときに限り忠実と呼ばれます。加群の観点では、r がRの元で、Mのすべてのxに対してrx = 0である場合、r = 0であることを意味します。すべてのアーベル群は、整数上またはn、Z / n Zを法とする整数の環上の忠実な加群です。

環R は、単一のオブジェクトを持つ前加法カテゴリ Rに対応します。この理解では、左Rモジュールは、 Rからアーベル群のカテゴリAbへの共変加法関数であり、右Rモジュールは反変加法関数です。これは、C が任意の前加法カテゴリである場合、 CからAbへの共変加法関数は、C上の一般化された左モジュールと見なされるべきであることを示唆しています。これらの関数は、関数カテゴリC - Modを形成し、これは、モジュールカテゴリR - Modの自然な一般化です。

可換環上の加群は、別の方向に一般化することができます。環空間( X、 O _X ) を取り、 O _X加群の層を考えます(加群の層を参照)。これらはカテゴリ O _X - Modを形成し、現代の代数幾何学で重要な役割を果たします。X が単一の点のみを持つ場合、これは可換環 O _X ( X ) 上の古い意味での加群カテゴリです。

半環上の加群を考えることもできます。環上の加群はアーベル群ですが、半環上の加群は可換 モノイドにすぎません。加群のほとんどの応用は依然として可能です。特に、任意の半環 Sについて、 S上の行列は半環を形成し、その上でSの要素の組が加群となります (この一般化された意味でのみ)。これにより、理論計算機科学の半環を組み込んだ ベクトル空間の概念をさらに一般化できます。

近傍環上では、近傍環加群、つまり加群の非可換一般化を考えることができる。^[要出典]

• グループリング
• 代数学（環論）
• モジュール（モデル理論）
• モジュールスペクトル
• アナイアレイター

• FW アンダーソンと KR フラー:環と加群のカテゴリ、Graduate Texts in Mathematics、第 13 巻、第 2 版、Springer-Verlag、ニューヨーク、1992 年、ISBN 0-387-97845-3、ISBN 3-540-97845-3  
• ネイサン・ジェイコブソン「環の構造」コロキウム出版、第37巻、第2版、AMS書店、1964年、ISBN 978-0-8218-1037-8 

• 「モジュール」、数学百科事典、EMS Press、2001 [1994]
• nラボのモジュール