q微分

数学の組合せ論と量子計算の分野におけるq微分、あるいはジャクソン微分は、フランク・ヒルトン・ジャクソンによって導入された通常の微分のq類似物である。これはジャクソンのq積分の逆である。q微分の他の形式については、Chung et al. (1994) を参照。

関数f ( x )のq微分は次のように定義される[ ^1] [ ^{2] [3]}

${\displaystyle \left({\frac {d}{dx}}\right)_{q}f(x)={\frac {f(qx)-f(x)}{qx-x}}.}$

と表記されることも多い。q微分はジャクソン微分とも呼ばれる。 ${\displaystyle D_{q}f(x)}$

形式的には、対数変数におけるラグランジュのシフト演算子で表すと、次の演算子となる。

${\displaystyle D_{q}={\frac {1}{x}}~{\frac {q^{d~~~ \over d(\ln x)}-1}{q-1}}~,}$

これは、として、単純な導関数になります。 ${\displaystyle D_{q}\to {\frac {d}{dx}}}$${\displaystyle q\to 1}$

それは明らかに直線的であり、

${\displaystyle \displaystyle D_{q}(f(x)+g(x))=D_{q}f(x)+D_{q}g(x)~.}$

これは通常の微分積の法則に類似した積の法則を持ち、2つの同値な形式がある。

${\displaystyle \displaystyle D_{q}(f(x)g(x))=g(x)D_{q}f(x)+f(qx)D_{q}g(x)=g(qx)D_{q}f(x)+f(x)D_{q}g(x).}$

同様に、商規則も満たします。

${\displaystyle \displaystyle D_{q}(f(x)/g(x))={\frac {g(x)D_{q}f(x)-f(x)D_{q}g(x)}{g(qx)g(x)}},\quad g(x)g(qx)\neq 0.}$

通常の導関数にも連鎖律に似た規則がある。 とする。すると ${\displaystyle g(x)=cx^{k}}$

${\displaystyle \displaystyle D_{q}f(g(x))=D_{q^{k}}(f)(g(x))D_{q}(g)(x).}$

q微分の固有関数はq指数e _q ( x )です。

Q微分法は普通の微分法と似ているが、興味深い違いがある。例えば、単項式のq微分は次のようになる: ^[2]

${\displaystyle \left({\frac {d}{dz}}\right)_{q}z^{n}={\frac {1-q^{n}}{1-q}}z^{n-1}=[n]_{q}z^{n-1}}$

ここで、はnのq括弧です。この極限では通常の導関数が回復されることに注意してください。 ${\displaystyle [n]_{q}}$${\displaystyle \lim _{q\to 1}[n]_{q}=n}$

関数のn次q導関数は次のように表される: [ 3 ^]

${\displaystyle (D_{q}^{n}f)(0)={\frac {f^{(n)}(0)}{n!}}{\frac {(q;q)_{n}}{(1-q)^{n}}}={\frac {f^{(n)}(0)}{n!}}[n]!_{q}}$

ただし、fの通常のn次導関数はx = 0で存在する。ここで、はq -ポッホハマー記号、はq -階乗である。が解析的であれば、テイラー公式をの定義に適用して、 ${\displaystyle (q;q)_{n}}$${\displaystyle [n]!_{q}}$${\displaystyle f(x)}$${\displaystyle D_{q}(f(x))}$

${\displaystyle \displaystyle D_{q}(f(x))=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(q-1)^{k}}{(k+1)!}}x^{k}f^{(k+1)}(x).}$

ゼロ付近の関数のテイラー展開のq類似体は次のように表される: ^[2]

${\displaystyle f(z)=\sum _{n=0}^{\infty }f^{(n)}(0)\,{\frac {z^{n}}{n!}}=\sum _{n=0}^{\infty }(D_{q}^{n}f)(0)\,{\frac {z^{n}}{[n]!_{q}}}.}$

高階微分に対する次の表現が知られている: ^{[4] [5]}${\displaystyle q}$

${\displaystyle D_{q}^{n}f(x)={\frac {1}{(1-q)^{n}x^{n}}}\sum _{k=0}^{n}(-1)^{k}{\binom {n}{k}}_{q}q^{{\binom {k}{2}}-(n-1)k}f(q^{k}x).}$

${\displaystyle {\binom {n}{k}}_{q}}$は二項係数である。和の順序を と変えると、次の式が得られる: ^{[4] [6]}${\displaystyle q}$${\displaystyle r=n-k}$

${\displaystyle D_{q}^{n}f(x)={\frac {(-1)^{n}q^{-{\binom {n}{2}}}}{(1-q)^{n}x^{n}}}\sum _{r=0}^{n}(-1)^{r}{\binom {n}{r}}_{q}q^{\binom {r}{2}}f(q^{n-r}x).}$

高階の-導関数は-テイラー公式と-ロドリゲスの公式（ -直交多項式^[4]を構築するために使用される公式）に使用されます。 ${\displaystyle q}$${\displaystyle q}$${\displaystyle q}$${\displaystyle q}$

ポスト量子計算は量子計算理論の一般化であり、以下の演算子を使用する。^{[7] [8]}

${\displaystyle D_{p,q}f(x):={\frac {f(px)-f(qx)}{(p-q)x}},\quad x\neq 0.}$

ヴォルフガング・ハーンは以下の演算子（ハーン差）を導入した：^{[9] [10]}

${\displaystyle D_{q,\omega }f(x):={\frac {f(qx+\omega )-f(x)}{(q-1)x+\omega }},\quad 0<q<1,\quad \omega >0.}$

この演算子が - 微分に簡約される場合、および前方差分に簡約される場合。これは、直交多項式の族を構築し、いくつかの近似問題を調査するための効果的なツールです。 ^{[11] [12] [13]}${\displaystyle \omega \to 0}$${\displaystyle q}$${\displaystyle q\to 1}$

${\displaystyle \beta }$-導関数は次のように定義される演算子である: ^{[14] [15]}

${\displaystyle D_{\beta }f(t):={\frac {f(\beta (t))-f(t)}{\beta (t)-t}},\quad \beta \neq t,\quad \beta :I\to I.}$

定義では、は与えられた区間であり、 は厳密に単調増加する任意の連続関数です (つまり)。 のとき、この演算子は- 微分であり、 のとき、この演算子はハーン差です。 ${\displaystyle I}$${\displaystyle \beta (t)}$${\displaystyle t>s\rightarrow \beta (t)>\beta (s)}$${\displaystyle \beta (t)=qt}$${\displaystyle q}$${\displaystyle \beta (t)=qt+\omega }$

q計算は機械学習において確率的活性化関数の設計に使われてきた。^[16]

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