反例

反例とは、一般化に対する例外のことである。論理学では反例は一般化を反証するものであり、数学や哲学の分野では厳密にそうする。^{[1]たとえば、「学生のジョン・スミスは怠け者ではない」という事実は、「学生は怠け者である」という一般化に対する反例であり、「学生は全員怠け者である」という}全称量化に対する反例であり、反証でもある。^[2]

数学では、反例は可能な定理の限界を証明するためによく使用されます。反例を使用して特定の推測が間違っていることを示すことにより、数学研究者は行き止まりに陥ることを避け、推測を修正して証明可能な定理を生み出すことを学ぶことができます。数学の発展は主に定理と反例を見つけること（および証明すること）にあると言われることがあります。^[3]

数学者が幾何学と図形を研究していて、それらに関する特定の定理を証明したいとします。彼女は「すべての長方形は正方形である」と推測しており、この命題が正しいか間違っているかを知りたいと考えています。

この場合、彼女は演繹的推論を使用して声明の真実性を証明しようと試みるか、声明が間違っていると疑われる場合はその声明の反例を見つけようと試みることができます。後者の場合、反例は正方形ではない長方形、たとえば2辺の長さが5で2辺の長さが7の長方形になります。しかし、正方形ではない長方形を見つけたにもかかわらず、彼女が見つけた長方形はすべて4辺を持っていました。そこで彼女は「すべての長方形には4辺がある」という新しい推測を立てます。これは、すべての正方形には4辺がありますが、4辺の形がすべて正方形であるとは限らないため、彼女の元の推測よりも論理的に弱いものです。

上記の例では、数学者が反例に直面して自分の推測を弱める方法を（簡略化して）説明しましたが、反例は特定の仮定や仮説の必要性を示すためにも使用できます。たとえば、しばらくして、上記の数学者が「長方形で、4 辺の長さが等しいすべての図形は正方形である」という新しい推測に落ち着いたとします。この推測には、2 つの仮説部分があります。図形は「長方形」でなければならず、「4 辺の長さが等しい」必要があります。次に、数学者は、どちらかの仮定を削除しても、自分の推測の真実性を維持できるかどうかを知りたいと考えます。これは、次の 2 つのステートメントが真実であるかどうかを確認する必要があることを意味します。

1. 「長方形であるすべての図形は正方形です。」
2. 「4辺の長さが等しい図形はすべて正方形です」。

(1)の反例は既に上で示されており、(2)の反例は正方形でない菱形である。したがって、数学者はそれぞれの仮定だけでは不十分であることがわかった。

「すべての素数は奇数である」という命題に対する反例は、素数ではあるが奇数ではない数2である。^[1] 7と10はどちらも反例ではない。どちらも命題に反するほどではないからである。この例では、2が実際に命題に対する唯一の反例であるが、それだけでも命題に反するほどである。同様に、「すべての自然数は素数か合成数のいずれかである」という命題には、1が素数でも合成数でもないことから、1が反例となる。

オイラーの累乗の和の予想は反例によって反証された。これは、n乗を足し合わせるには少なくともn乗^が必要 ^であるという予想である。この予想は1966年に^[4] n = 5の反例によって反証された。現在では 他のn  = 5の反例やn  = 4の反例も知られている。^[5]

ヴィッセンハウゼンの反例は、二次損失関数と状態変数の線形発展方程式が線形の最適制御則を意味するとは必ずしも（制御問題の場合）真ではないことを示しています。

すべてのユークリッド平面等長写像は面積を保存する写像ですが、その逆は反例のせん断写像と圧縮写像によって示されるように偽です。

他の例としては、ザイフェルト予想、ポリア予想、ヒルベルトの第 14 問題の予想、テイトの予想、ガネア予想の反証が挙げられます。

哲学では、反例は通常、特定の哲学的立場が特定の場合には当てはまらないことを示して、その立場が間違っていると主張するために使用されます。あるいは、最初の哲学者は、反例が当てはまらないように主張を修正することができます。これは、数学者が反例のために推測を修正する場合に似ています。

例えば、プラトンの『ゴルギアス』では、カリクレスは、ある人々が他の人々よりも「優れている」と言うことの意味を定義しようとし、より強い人々のほうが優れていると主張しています。

しかしソクラテスは、たとえ大衆の性格が一見悪いとしても、その数の強さゆえに、庶民階級は資産を持つ貴族階級よりも強いと答える。このようにソクラテスは、カリクレスがおそらく予想していなかった領域、つまり個人ではなく集団に着目することで、カリクレス氏の主張に対する反例を提示した。

カリクレスはソクラテスの反例に異議を唱えるかもしれない。おそらく、庶民は貴族よりも優れている、あるいは、たとえ数が多くても、貴族より強くはない、と主張するかもしれない。しかし、カリクレスは反例を受け入れるなら、自分の主張を撤回するか、反例が当てはまらないように主張を修正しなければならない。たとえば、自分の主張を個人にのみ言及するように修正し、庶民を暴徒ではなく個人の集まりとして考えるように要求するかもしれない。

偶然にも、彼は自分の主張を「より強い」ではなく「より賢い」と修正し、どれだけ数的に優位に立っても人間は賢くならないと主張している。

• 矛盾
• 例外は規則を証明する
• 最小反例

• イムレ・ラカトシュ『証明と反駁』（1976年）ケンブリッジ大学出版局ISBN 0521290384 
• James Franklinと Albert Daoud (2011) Proof in Mathematics: An Introduction、Kew、シドニーISBN 978-0-646-54509-7、第 6 章。 
• Lynn Arthur SteenとJ. Arthur Seebach, Jr. (1978) Counterexamples in Topology、Springer、ニューヨークISBN 0-486-68735-X。 
• Joseph P. Romano と Andrew F. Siegel (1986) Counterexamples in Probability and Statistics Chapman & Hall、ニューヨーク、ロンドンISBN 0-412-98901-8。 
• Gary L. Wise、Eric B. Hall (1993) 「確率と実分析における反例」オックスフォード大学出版局、ニューヨークISBN 0-19-507068-2。 
• Bernard R. Gelbaum、John MH Olmsted (2003) Counterexamples in Analysis。第2版（1965年）の訂正再版、Dover Publications、Mineola、NY ISBN 0-486-42875-3。 
• Jordan M. Stoyanov (1997) Counterexamples in Probability第2版、Wiley、Chichester ISBN 0-471-96538-3。 
• Michael Copobianco & John Mulluzzo (1978) Examples and Counterexamples in Graph Theory、Elsevier North-Holland ISBN 0-444-00255-3。 

• Wikiquote の反例に関する引用