H導関数

数学 において、H微分は抽象ウィーナー空間とマリアヴァン計算の研究における微分の概念である。^[1]

を抽象ウィーナー空間とし、が微分可能であるとする。このときフレシェ微分は写像である。 ${\displaystyle i:H\to E}$${\displaystyle F:E\to \mathbb {R} }$

${\displaystyle \mathrm {D} F:E\to \mathrm {Lin} (E;\mathbb {R} )}$;

つまり、がの元である場合、への双対空間となります。 ${\displaystyle x\in E}$${\displaystyle \mathrm {D} F(x)}$${\displaystyle E^{*}}$${\displaystyle E}$

したがって、における微分を次のよう に定義する。${\displaystyle H}$ ${\displaystyle \mathrm {D} _{H}F}$${\displaystyle x\in E}$

${\displaystyle \mathrm {D} _{H}F(x):=\mathrm {D} F(x)\circ i:H\to \mathbb {R} }$、

上の連続 線形写像。 ${\displaystyle H}$

勾配を次のように 定義する。${\displaystyle H}$ ${\displaystyle \nabla _{H}F:E\to H}$

${\displaystyle \langle \nabla _{H}F(x),h\rangle _{H}=\left(\mathrm {D} _{H}F\right)(x)(h)=\lim _{t\to 0}{\frac {F(x+ti(h))-F(x)}{t}}}$。

つまり、が の随伴を表す場合、 となります。 ${\displaystyle j:E^{*}\to H}$${\displaystyle i:H\to E}$${\displaystyle \nabla _{H}F(x):=j\left(\mathrm {D} F(x)\right)}$

• マリアビン誘導体