ねじれテンソル

ねじれテンソルの成分${\displaystyle T^{c}{}_{ab}}$接束の断面の局所基底( e ₁ , ..., e _n )に関して、X = e _i、Y = e _jと設定し、交換子係数γ ^k _ij e _k := [ e _i , e _j ]を導入することにより、導出することができる。ねじれの成分は次のようになる^{[ 2 ]} 

${\displaystyle T^{k}{}_{ij}:=\Gamma ^{k}{}_{ij}-\Gamma ^{k}{}_{ji}-\gamma ^{k}{}_{ij},\quad i,j,k=1,2,\ldots ,n.}$

ここ${\displaystyle {\Gamma ^{k}}_{ij}}$接続を定義する接続係数です。基底がホロノミックであれば、リー括弧は消滅します。${\displaystyle \gamma ^{k}{}_{ij}=0}$。 それで${\displaystyle T^{k}{}_{ij}=2\Gamma ^{k}{}_{[ij]}}$特に（下記参照）、測地線方程式は接続の対称部分を決定するのに対し、ねじれテンソルは反対称部分を決定します。

ねじれ形式は、ねじれの別の特徴付けであり、多様体Mのフレーム束F Mに適用されます。この 主束には、gl ( n ) 値の 1 形式である接続形式ωが備わっており、垂直ベクトルをgl ( n )の右作用の生成子に写像し、GL( n ) の F Mの接束上の右作用とgl ( n )上の随伴表現を同変的に絡み合わせます。フレーム束には、フレームu ∈ F _x M (線形関数u : R ⁿ → T _x Mとみなされる)で定義される、 R ⁿの値を持つ標準 1 形式θ も含まれています^{[ 3 ]} 

${\displaystyle \theta (X)=u^{-1}(\pi _{*}(X))}$

ここで、π  : F M → Mは主束の射影写像であり、π∗はそのプッシュフォワードである。ねじれ形式は^{[ 4 ]となる。}

${\displaystyle \Theta =d\theta +\omega \wedge \theta .}$

同等に、Θ = Dθであり、Dは接続によって決定される外部共変微分である。

ねじれ形式は、 R ⁿに値を持つ（水平）テンソル形式であり、 g ∈ GL( n )の右作用の下で等変変換されることを意味します。

${\displaystyle R_{g}^{*}\Theta =g^{-1}\cdot \Theta }$

どこ${\displaystyle g^{-1}}$R ⁿに対する正準作用によって右辺に作用する。

ねじれテンソルは、トレースフリー部分とトレース項を含む部分の2つの既約部分に分解できます。インデックス表記を用いると、 Tのトレースは次のように表されます。

${\displaystyle a_{i}=T^{k}{}_{ik},}$

そして痕跡を残さない部分は

${\displaystyle B^{i}{}_{jk}=T^{i}{}_{jk}+{\frac {1}{n-1}}\delta ^{i}{}_{j}a_{k}-{\frac {1}{n-1}}\delta ^{i}{}_{k}a_{j},}$

ここで、δ ⁱ _jはクロネッカーのデルタです。

本質的に、

${\displaystyle T\in \operatorname {Hom} \left({\textstyle \bigwedge }^{2}{\rm {T}}M,{\rm {T}}M\right).}$

Tのトレースtr Tは、次のように定義される T ^∗ Mの要素です。固定された各ベクトルX ∈ T Mに対して、T はHom(T M , T M )の要素T ( X ) を次のように定義します。

${\displaystyle T(X):Y\mapsto T(X\wedge Y).}$

すると、(tr T )( X ) はこの自己準同型のトレースとして定義される。つまり、

${\displaystyle (\operatorname {tr} \,T)(X){\stackrel {\text{def}}{=}}\operatorname {tr} (T(X)).}$

Tの痕跡のない部分は

${\displaystyle T_{0}=T-{\frac {1}{n-1}}\iota (\operatorname {tr} \,T),}$

ここで、ιは内積を表す。

曲率形式はgl ( n )値2形式である

${\displaystyle \Omega =D\omega =d\omega +\omega \wedge \omega }$

ここで、D は再び外部共変微分を表します。曲率形式とねじれ形式に関して、対応するビアンキ恒等式は^{[ 7 ]です。}

1. ${\displaystyle D\Theta =\Omega \wedge \theta }$
2. ${\displaystyle D\Omega =0.}$

_{さらに、曲率とねじれの形式から曲率テンソルとねじれテンソルを次のように復元できます。F x} Mの点uでは、^{[ 8 ]}

${\displaystyle {\begin{aligned}R(X,Y)Z&=u\left(2\Omega \left(\pi ^{-1}(X),\pi ^{-1}(Y)\right)\right)\left(u^{-1}(Z)\right),\\T(X,Y)&=u\left(2\Theta \left(\pi ^{-1}(X),\pi ^{-1}(Y)\right)\right),\end{aligned}}}$

ここでも、u  : R ⁿ → T _x M^{はファイバー内のフレームを指定する関数であり、曲率とねじれの形式は水平であるため (曖昧な垂直ベクトルでは消滅するため)、π −1}によるベクトルの持ち上げの選択は無関係です。

（平坦な）ユークリッド空間を考える${\displaystyle M=\mathbb {R} ^{3}}$その上に、標準的なユークリッドフレーム上で定義された、平面でありながらゼロではないねじれを持つ接続を配置します。${\displaystyle e_{1},e_{2},e_{3}}$（ユークリッド）外積によって： $${\displaystyle \nabla _{e_{i}}e_{j}=e_{i}\times e_{j}.}$$ 次に、ベクトルの平行移動について考えてみましょう。${\displaystyle e_{2}}$に沿って${\displaystyle e_{1}}$原点から始まる軸。平行ベクトル場${\displaystyle X(x)=a(x)e_{2}+b(x)e_{3}}$したがって、${\displaystyle X(0)=e_{2}}$微分方程式 $${\displaystyle {\begin{aligned}0={\dot {X}}&=\nabla _{e_{1}}X={\dot {a}}e_{2}+{\dot {b}}e_{3}+ae_{1}\times e_{2}+be_{1}\times e_{3}\\&=({\dot {a}}-b)e_{2}+({\dot {b}}+a)e_{3}.\end{aligned}}}$$ したがって${\displaystyle {\dot {a}}=b,{\dot {b}}=-a}$、そして解決策は${\displaystyle X=\cos x\,e_{2}-\sin x\,e_{3}}$。

ベクトルの先端${\displaystyle X}$輸送されるにつれて${\displaystyle e_{1}}$軸がらせんを描き出す $${\displaystyle x\,e_{1}+\cos x\,e_{2}-\sin x\,e_{3}.}$$このように、ねじれが存在する場合、平行移動はフレームを運動方向を中心にねじる傾向があり、これは曲線の 古典的な微分幾何学におけるねじれの役割と類似していることがわかります。

ねじれの解釈の一つは、曲線の形成を伴う。^{[ 10 ]} 区分的に滑らかな閉ループを仮定する。${\displaystyle \gamma$ :[0,1]\to M} は、点に基づいて与えられます。${\displaystyle p\in M}$、 どこ${\displaystyle \gamma (0)=\gamma (1)=p}$我々は、${\displaystyle \gamma }$はゼロにホモトピックである。曲線は、で接空間に展開できる。${\displaystyle p}$以下の方法で。${\displaystyle \theta ^{i}}$平行なコフレームに沿って${\displaystyle \gamma }$、そして${\displaystyle x^{i}}$座標は${\displaystyle T_{p}M}$誘発される${\displaystyle \theta ^{i}(p)}$開発${\displaystyle \gamma }$曲線です${\displaystyle {\tilde {\gamma }}}$で${\displaystyle T_{p}M}$その座標${\displaystyle x^{i}=x^{i}(t)}$微分方程式を満たす $${\displaystyle dx^{i}=\gamma ^{*}\theta ^{i}.}$$ ねじれがゼロの場合、展開曲線は${\displaystyle {\tilde {\gamma }}}$も閉ループなので、${\displaystyle {\tilde {\gamma }}(0)={\tilde {\gamma }}(1)}$一方、ねじれがゼロでない場合、展開曲線は閉じていない可能性があり、${\displaystyle {\tilde {\gamma }}(0)\not ={\tilde {\gamma }}(1)}$したがって、ねじれが存在する場合、ループの形成は、ねじ転位と同様に転位する可能性がある。^{[ 11 ]}

上記の考察は、点から始まる小さな平行四辺形を考えることで、より定量的に行うことができる。${\displaystyle p\in M}$側面付き${\displaystyle v,w\in T_{p}M}$すると、平行四辺形への接線ベクトルは次のようになります。${\displaystyle v\wedge w\in \Lambda ^{2}T_{p}M}$この平行四辺形の展開は、接続を用いると一般に閉じられなくなり、ループを一周する際の変位はベクトルによる並進となる。${\displaystyle \Theta (v,w)}$、 どこ${\displaystyle \Theta }$は、高次の項を除いて、ねじれテンソルです。${\displaystyle v,w}$この変位は結晶学のバーガースベクトルと直接類似している。 ^{[ 12 ] [ 13 ]}

より一般的には、曲線に沿って移動するフレームを移動させることもできる。${\displaystyle {\tilde {\gamma }}}$フレームが受ける線形変換${\displaystyle t=0,t=1}$は接続部の曲率によって決定されます。フレームの線形変換と開始点の並進を合わせると、${\displaystyle {\tilde {\gamma }}(0)}$に${\displaystyle {\tilde {\gamma }}(1)}$接続のホロノミーを構成する。

材料科学、特に弾性理論では、ねじれの概念も重要な役割を果たします。ある問題は、つるの成長をモデル化し、つるがどのようにして物体に巻き付くかという問題に焦点を当てています。^{[ 14 ]}つる自体は、互いにねじれた一対の弾性フィラメントとしてモデル化されます。エネルギーを最小化する状態では、つるは自然にらせん状に成長します。しかし、つるは、その広がり（または長さ）を最大化するために引き伸ばされることもあります。この場合、つるのねじれは、一対のフィラメントのねじれ（または同等に、フィラメントをつなぐリボンの表面ねじれ）に関連しており、つるの長さを最大化する（測地線）構成とエネルギーを最小化する構成との差を反映しています。

流体力学において、ねじれは自然に渦線と関連付けられる。

接続があると仮定します${\displaystyle D}$曲率2形式で3次元で与えられる${\displaystyle \Omega _{a}^{b}}$およびねじれ2形式${\displaystyle \Theta ^{a}=D\theta ^{a}}$。 させて${\displaystyle \eta _{abc}}$は歪対称レヴィ・チヴィタテンソルであり、 $${\displaystyle t_{a}={\tfrac {1}{2}}\eta _{abc}\wedge \Omega ^{bc},}$$$${\displaystyle s_{ab}=-\eta _{abc}\wedge \Theta ^{c}.}$$ 次にビアンキ恒等式 $${\displaystyle D\Omega _{b}^{a}=0,\quad D\Theta ^{a}=\Omega _{b}^{a}\wedge \theta ^{b}.}$$ 示唆する${\displaystyle Dt_{a}=0}$そして $${\displaystyle Ds_{ab}=\theta _{a}\wedge t_{b}-\theta _{b}\wedge t_{a}.}$$ これらは、モーメント密度を持つ平衡連続媒体が満たす方程式である。${\displaystyle s_{ab}}$[ ^{15 ]​}