ベクトル値関数

ベクトル値関数 (ベクトル関数とも呼ばれる)は、範囲が多次元ベクトルまたは無限次元ベクトルの集合である1 つ以上の変数の数学関数です。ベクトル値関数の入力は、スカラーまたはベクトル (つまり、定義域の次元は 1 または 1 より大きい) です。関数の定義域の次元は、その範囲の次元とは関係ありません。

ベクトル値関数の一般的な例としては、単一の実パラメータt （多くの場合、時間を表す）に依存し、結果としてベクトル v ( t )を生成する関数があります。直交3 次元空間の標準単位ベクトル i、j、kに関して、これらの特定のタイプのベクトル値関数は、次のような式で与えられます。 ここで、f ( t )、g ( t ) 、およびh ( t )はパラメータtの座標関数であり、このベクトル値関数の定義域は関数f、g、およびhの定義域の共通部分です。これは、次のように別の表記法で参照されることもあります。 ベクトルr ( t )は、その末尾が原点にあり、その先頭が関数によって評価される座標にあります。 $${\displaystyle \mathbf {r} (t)=f(t)\mathbf {i} +g(t)\mathbf {j} +h(t)\mathbf {k} }$$$${\displaystyle \mathbf {r} (t)=\langle f(t),g(t),h(t)\rangle }$$

右のグラフに示されているベクトルは、t = 19.5付近( 6πと6.5πの間、つまり 3 回転より少し大きい) での関数の評価です。らせんは、t が0 から8 πまで増加するときにベクトルの先端が描くパスです。 ${\displaystyle \langle 2\cos t,\,4\sin t,\,t\rangle }$

2Dでは、ベクトル値関数について次のように表現できます 。 $${\displaystyle \mathbf {r} (t)=f(t)\mathbf {i} +g(t)\mathbf {j} }$$$${\displaystyle \mathbf {r} (t)=\langle f(t),g(t)\rangle }$$

線形の場合、関数は行列で表現できます。 ここで、yはn × 1出力ベクトル、xはk × 1入力ベクトル、Aはn × kパラメータ行列です。これに密接に関連するのがアフィンの場合 (平行移動まで線形) で、関数は次の形式になります。 ここで、さらにb''はn × 1パラメータベクトル です。$${\displaystyle \mathbf {y} =A\mathbf {x} ,}$$$${\displaystyle \mathbf {y} =A\mathbf {x} +\mathbf {b} ,}$$

線形ケースは、例えば多重回帰[説明が必要]などでよく発生します。ここ^では、例えば、従属変数の予測値のn ×1ベクトルが、モデルパラメータの推定値の k ×1ベクトル（k < n ）で線形に表現されます。 ここで、X （前の一般的な形式でAの役割を果たす）は、固定された（経験に基づく）数値のn × k行列です。 ${\displaystyle {\hat {y}}}$${\displaystyle {\hat {\boldsymbol {\beta }}}}$$${\displaystyle {\hat {\mathbf {y} }}=X{\hat {\boldsymbol {\beta }}},}$$

表面は、（最も一般的には）3次元空間に埋め込まれた2次元の点の集合です。表面を表現する1つの方法は、パラメトリック方程式を使用することです。この方程式では、2つのパラメータsとtが表面上の任意の点の 3つの直交座標を決定します。 ここで、Fはベクトル値関数です。n次元空間に埋め込まれた表面の場合、同様に次のように表現されます。 $${\displaystyle (x,y,z)=(f(s,t),g(s,t),h(s,t))\equiv \mathbf {F} (s,t).}$$$${\displaystyle (x_{1},x_{2},\dots ,x_{n})=(f_{1}(s,t),f_{2}(s,t),\dots ,f_{n}(s,t))\equiv \mathbf {F} (s,t).}$$

多くのベクトル値関数は、スカラー値関数と同様に、直交座標系の成分を微分するだけで 微分できます。したがって、が ベクトル値関数である場合、 ベクトル導関数は次のような物理的解釈が可能です。r ( t ) が粒子の位置を表す場合、導関数は粒子の速度です。同様に、 速度 の導関数は加速度です。$${\displaystyle \mathbf {r} (t)=f(t)\mathbf {i} +g(t)\mathbf {j} +h(t)\mathbf {k} }$$$${\displaystyle {\frac {d\mathbf {r} }{dt}}=f'(t)\mathbf {i} +g'(t)\mathbf {j} +h'(t)\mathbf {k} .}$$$${\displaystyle \mathbf {v} (t)={\frac {d\mathbf {r} }{dt}}.}$$ $${\displaystyle {\frac {d\mathbf {v} }{dt}}=\mathbf {a} (t).}$$

ベクトル関数aのスカラー変数qに関する偏微分は[ ^1]で定義されます。 ここでa _iはe _i方向のaのスカラー成分です。これはaとe _iの方向余弦、またはそれらのドット積とも呼ばれます。ベクトルe ₁、e ₂、e ₃は、微分が取られる 参照フレームに固定された正規直交基底を形成します。 $${\displaystyle {\frac {\partial \mathbf {a} }{\partial q}}=\sum _{i=1}^{n}{\frac {\partial a_{i}}{\partial q}}\mathbf {e} _{i}}$$

a を時間tのような単一のスカラー変数のベクトル関数とみなすと、上の式はtに関するaの通常の第1時間微分に簡約される。^[1] $${\displaystyle {\frac {d\mathbf {a} }{dt}}=\sum _{i=1}^{n}{\frac {da_{i}}{dt}}\mathbf {e} _{i}.}$$

ベクトルaがn個のスカラー変数q _r ( r = 1, ..., n )の関数であり、各q _rが時間tの関数である場合、 tに関するaの常微分は、全微分と呼ばれる形式で次のように表すことができます^[1] $${\displaystyle {\frac {d\mathbf {a} }{dt}}=\sum _{r=1}^{n}{\frac {\partial \mathbf {a} }{\partial q_{r}}}{\frac {dq_{r}}{dt}}+{\frac {\partial \mathbf {a} }{\partial t}}.}$$

著者によっては、全微分演算子を示すために、D / Dtのように大文字のDを使用することを好みます。全微分は、変数q _rの時間変化によるaの変化を考慮するという点で、部分時間微分とは異なります。 

スカラー値関数の場合、可能な参照フレームは1 つだけですが、ベクトル値関数の導関数を取るには、参照フレームを選択する必要があります (少なくとも、固定された直交座標系がそのように暗示されていない場合)。参照フレームを選択したら、スカラー値関数の導関数を計算する場合と同様の手法を使用して、ベクトル値関数の導関数を計算できます。参照フレームの選択が異なると、一般に、導関数も異なります。異なる参照フレームの導関数には、特定の運動学的関係があります。

ベクトル関数の微分に関する上記の式は、基底ベクトルe ₁、e ₂、e ₃が一定、つまり、aの微分が取られる参照フレーム内で固定されており、したがってe ₁、e ₂、e ₃のそれぞれの微分が同一にゼロであるという仮定に基づいています。これは、固定座標系のベクトル場を扱う問題や、物理学の単純な問題では多くの場合当てはまります。ただし、多くの複雑な問題では、複数の移動参照フレームでのベクトル関数の微分が関係しており、これは、基底ベクトルが必ずしも一定ではないことを意味します。基底ベクトルe ₁、e ₂、e ₃が参照フレーム E 内で固定されているが、参照フレーム N 内では固定されていない場合、参照フレーム N 内のベクトルの通常の時間微分に関するより一般的な式は^[1] であり 、ここで、微分演算子の左側の上付き文字 N は、微分が取られる参照フレームを示します。前述のように、右辺第 1 項は、 e ₁、e ₂、e ₃が定数である参照フレーム Eにおけるaの導関数に等しくなります。また、右辺第 2 項は、2 つの参照フレームの相対角速度にベクトルa自体を乗じたものに等しいことも示されます。 ^[1] したがって、代入後、2 つの参照フレームにおけるベクトル関数の導関数を関連付ける式は^[1]となり 、ここで^N ω ^{E は}参照フレーム N に対する参照フレーム E の 角速度です。$${\displaystyle {\frac {{}^{\mathrm {N} }d\mathbf {a} }{dt}}=\sum _{i=1}^{3}{\frac {da_{i}}{dt}}\mathbf {e} _{i}+\sum _{i=1}^{3}a_{i}{\frac {{}^{\mathrm {N} }d\mathbf {e} _{i}}{dt}}}$$ $${\displaystyle {\frac {{}^{\mathrm {N} }d\mathbf {a} }{dt}}={\frac {{}^{\mathrm {E} }d\mathbf {a} }{dt}}+{}^{\mathrm {N} }\mathbf {\omega } ^{\mathrm {E} }\times \mathbf {a} }$$

この公式が使用される一般的な例としては、地上に対するロケットの速度の測定値を使用して、慣性基準系におけるロケットなどの宇宙物体の速度を求めることが挙げられます。位置r ^Rにあるロケット R の慣性基準系 N における速度^N v R は、次の公式を使用して求めることができます ^。 ここで、 N ^ω E^は慣性フレーム N に対する地球の角速度です。速度は位置の微分であるため、 ^N v ^Rと^E v ^{R は、それぞれ基準フレーム N と E における}r ^Rの微分です。代入すると、 ^E v ^{R は}、地球に固定された基準フレーム E から測定されたロケットの速度ベクトルです。 $${\displaystyle {\frac {{}^{\mathrm {N} }d}{dt}}(\mathbf {r} ^{\mathrm {R} })={\frac {{}^{\mathrm {E} }d}{dt}}(\mathbf {r} ^{\mathrm {R} })+{}^{\mathrm {N} }\mathbf {\omega } ^{\mathrm {E} }\times \mathbf {r} ^{\mathrm {R} }.}$$$${\displaystyle {}^{\mathrm {N} }\mathbf {v} ^{\mathrm {R} }={}^{\mathrm {E} }\mathbf {v} ^{\mathrm {R} }+{}^{\mathrm {N} }\mathbf {\omega } ^{\mathrm {E} }\times \mathbf {r} ^{\mathrm {R} }}$$

ベクトル関数の積の微分は、スカラー関数の積の微分と同様に動作します。^[a] 具体的には、ベクトルのスカラー乗算の場合、pがqのスカラー変数関数である場合、^[1] $${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial q}}(p\mathbf {a} )={\frac {\partial p}{\partial q}}\mathbf {a} +p{\frac {\partial \mathbf {a} }{\partial q}}.}$$

ドット乗算の場合、2つのベクトルaとbが両方ともqの関数である場合、^[1] $${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial q}}(\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} )={\frac {\partial \mathbf {a} }{\partial q}}\cdot \mathbf {b} +\mathbf {a} \cdot {\frac {\partial \mathbf {b} }{\partial q}}.}$$

同様に、2つのベクトル関数の外積の導関数は^[1] $${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial q}}(\mathbf {a} \times \mathbf {b} )={\frac {\partial \mathbf {a} }{\partial q}}\times \mathbf {b} +\mathbf {a} \times {\frac {\partial \mathbf {b} }{\partial q}}.}$$

空間に値を持つ実数tの関数fは、 と書くことができます。その導関数は です。 f が複数の変数の関数、たとえば の関数である 場合、fの成分の偏導関数は、fのヤコビ行列と呼ばれる行列を形成します。 ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle \mathbf {f} (t)=(f_{1}(t),f_{2}(t),\ldots ,f_{n}(t))}$$${\displaystyle \mathbf {f} '(t)=(f_{1}'(t),f_{2}'(t),\ldots ,f_{n}'(t)).}$$${\displaystyle t\in \mathbb {R} ^{m}}$${\displaystyle n\times m}$

関数fの値がヒルベルト空間などの無限次元 ベクトル空間 X内にある場合、f は無限次元ベクトル関数と呼ばれることがあります。

fの引数が実数で、X がヒルベルト空間である場合、点tにおけるfの導関数は有限次元の場合のように定義できます。 有限次元の場合の結果のほとんどは、必要な変更を加えれば無限次元の場合にも当てはまります。微分は、複数の変数の関数 (たとえば、または、ただしYは無限次元ベクトル空間) に対しても定義できます。$${\displaystyle \mathbf {f} '(t)=\lim _{h\to 0}{\frac {\mathbf {f} (t+h)-\mathbf {f} (t)}{h}}.}$$${\displaystyle t\in \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle t\in Y}$

注: X がヒルベルト空間である場合、任意の導関数 (および任意の他の極限) は成分ごとに計算できることを簡単に示すことができます。つまり 、 （つまり、は空間Xの正規直交基底 ）が存在し、 が存在する場合、 となります。 ただし、成分ごとの導関数の存在は、ヒルベルト空間における成分ごとの収束がヒルベルト空間の実際の位相 に関する収束を保証しないのと同様に、導関数の存在を保証するものではありません。 $${\displaystyle \mathbf {f} =(f_{1},f_{2},f_{3},\ldots )}$$${\displaystyle \mathbf {f} =f_{1}\mathbf {e} _{1}+f_{2}\mathbf {e} _{2}+f_{3}\mathbf {e} _{3}+\cdots }$${\displaystyle \mathbf {e} _{1},\mathbf {e} _{2},\mathbf {e} _{3},\ldots }$${\displaystyle f'(t)}$$${\displaystyle \mathbf {f} '(t)=(f_{1}'(t),f_{2}'(t),f_{3}'(t),\ldots ).}$$

上記のほとんどは、他の位相ベクトル空間 Xにも当てはまります。ただし、バナッハ空間の設定では、古典的な結果がそれほど多くは当てはまりません。たとえば、適切なバナッハ空間内の値を持つ絶対連続関数は、どこにも導関数を持つ必要はありません。さらに、ほとんどのバナッハ空間の設定では、正規直交基底は存在しません。

ベクトル計算と物理学において、ベクトル場は、空間、最も一般的にはユークリッド空間内の各点にベクトルを割り当てることです。^[2]平面 上のベクトル場は、それぞれが平面上の点に関連付けられた、与えられた大きさと方向を持つ矢印の集合として視覚化できます。ベクトル場は、たとえば、風などの3次元空間全体を移動する流体の速度と方向、または磁力や重力など、ある点から別の点に変化する 力の強さと方向をモデル化するためによく使用されます。 ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

微分積分学の要素は、自然にベクトル場にも及びます。ベクトル場が力を表す場合、ベクトル場の線積分は、経路に沿って移動する力によって行われる仕事を表します。この解釈では、エネルギー保存則は、微分積分学の基本定理の特殊なケースとして示されます。ベクトル場は、空間内を移動する流れの速度を表すものと考えると便利で、この物理的な直観から、発散（流れの体積の変化率を表す）や回転（流れの回転を表す）などの概念が生まれます。

ベクトル場はベクトル値関数の特殊なケースであり、その定義域の次元はその値域の次元とは無関係です。たとえば、空間曲線の位置ベクトルは、周囲空間のより小さなサブセットに対してのみ定義されます。同様に、n座標では、 n次元ユークリッド空間内の定義域上のベクトル場は、n組の実数を定義域の各点に関連付けるベクトル値関数として表すことができます。このベクトル場の表現は座標系に依存し、ある座標系から別の座標系に移る際には明確に定義された変換法則 (ベクトルの共変性と反変性) が存在します。 ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

ベクトル場はユークリッド空間の開集合上で議論されることが多いですが、曲面などの他の部分集合上でも意味を持ちます。曲面の各点において、ベクトル場は曲面に接する矢印 (接線ベクトル) を関連付けます。

より一般的には、ベクトル場は微分可能多様体 上で定義されます。微分可能多様体は、小さなスケールではユークリッド空間のように見えますが、より大きなスケールではより複雑な構造を持つ場合があります。この設定では、ベクトル場は多様体の各点（つまり、多様体への接線束のセクション）で接ベクトルを与えます。ベクトル場はテンソル場の一種です。

• 座標ベクトル
• 曲線
• 多値関数
• パラメトリックサーフェス
• 位置ベクトル
• パラメータ化

• ベクトル値関数とその特性 (レイク タホ コミュニティ カレッジより)
• Weisstein, Eric W.「ベクトル関数」。MathWorld。
• Everything2の記事
• 3次元ベクトル値関数（イーストテネシー州立大学より）
• 「位置ベクトル値関数」カーン アカデミーモジュール