ディニ派生語

数学、特に実解析において、ディニ微分（またはディニ微分）は、微分の一般化の一種です。連続だが微分不可能な関数を研究した ウリッセ・ディニによって導入されました。

連続関数の上ディニ微分（右上微分とも呼ばれる）^[1]

${\displaystyle f:{\mathbb {R} }\rightarrow {\mathbb {R} },}$

はfで表される′+そして定義される

${\displaystyle f'_{+}(t)=\limsup _{h\to {0+}}{\frac {f(t+h)-f(t)}{h}},}$

ここで、lim supは上限であり、極限は片側極限である。下側のDini導関数f′−は次のように定義される。

${\displaystyle f'_{-}(t)=\liminf _{h\to {0+}}{\frac {f(t)-f(th)}{h}},}$

ここで、lim inf は下限値です。

fがベクトル空間上で定義されている場合、 tにおけるd方向の上ディニ微分は次のように定義されます。

${\displaystyle f'_{+}(t,d)=\limsup _{h\to {0+}}{\frac {f(t+hd)-f(t)}{h}}.}$

fが局所的に リプシッツである場合、f′+は有限です。f がtで微分可能な場合、 tでの Dini 微分はtでの通常の微分になります。

• 関数は、Dini 導関数を可能な限り「防弾」にするために、最小値と最大値で定義されます。そのため、Dini 導関数は、慣例的に微分可能でない関数であっても、ほとんどすべての関数に対して明確に定義されます。Dini の分析の結果、関数は、すべての Dini 導関数が存在し、同じ値を持つ場合にのみ、実数直線 ( ℝ ) 上の点tで微分可能になります。

• 時には、 fの代わりにD ⁺ f ( t )という表記が使われる。′+( t )とD ₋ f ( t )がfの代わりに使用される′−（t）^[1 ]
• また、

${\displaystyle D^{+}f(t)=\limsup _{h\to {0+}}{\frac {f(t+h)-f(t)}{h}}}$

そして

${\displaystyle D_{-}f(t)=\liminf _{h\to {0+}}{\frac {f(t)-f(th)}{h}}}$。

• したがって、Dini 導関数のD表記を使用する場合、プラス記号またはマイナス記号は左側または右側の極限を示し、記号の配置は最小値または最大値を示します。

• さらに2つのディニ導関数があり、

${\displaystyle D_{+}f(t)=\liminf _{h\to {0+}}{\frac {f(t+h)-f(t)}{h}}}$

そして

${\displaystyle D^{-}f(t)=\limsup _{h\to {0+}}{\frac {f(t)-f(th)}{h}}}$。

これらは最初のペアと同じですが、上限と下限が逆になっています。中程度に動作が悪い関数の場合のみ、2 つの追加の Dini 導関数は必要ありません。特に動作が悪い関数の場合、4 つの Dini 導関数がすべて同じ値 ( ) を持つ場合、関数fは点tで通常の意味で微分可能です 。 ${\displaystyle D^{+}f(t)=D_{+}f(t)=D^{-}f(t)=D_{-}f(t)}$

• 拡張された実数では、各ディニ導関数は常に存在します。ただし、それらは時々+∞または−∞の値を取ることがあります (つまり、ディニ導関数は常に拡張された意味で存在します)。

• デンジョイ・ヤング・サックスの定理 – ディニ導関数に関する数学定理
• 微分（一般化）  – 微分積分学の基本構成リダイレクト先の簡単な説明を表示するページ
• 半微分可能性

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