微分演算子

数学において、微分演算子は微分演算子の関数として定義される演算子です。まず表記の問題として、微分を関数を受け入れて別の関数を返す抽象的な操作 (コンピューター サイエンスの高階関数のスタイル) として考えると便利です。

この記事では、最も一般的なタイプである線形微分演算子を主に検討します。ただし、シュワルツ微分などの非線形微分演算子も存在します。

非負の整数mが与えられた場合、位数線形微分演算子は関数空間から別の関数空間への写像であり、次のように表すことができます。 ${\displaystyle m}$${\displaystyle P}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{1}}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle {\mathcal {F}}_{2}}$

$${\displaystyle P=\sum _{|\alpha |\leq m}a_{\alpha }(x)D^{\alpha }\ ,}$$ ここで、は非負整数、の多重インデックスであり、各 に対して、はn次元空間内の開領域上の関数である。演算子は次のように解釈される。 ${\displaystyle \alpha =(\alpha _{1},\alpha _{2},\cdots ,\alpha _{n})}$${\displaystyle |\alpha |=\alpha _{1}+\alpha _{2}+\cdots +\alpha _{n}}$${\displaystyle \alpha}$${\displaystyle a_{\alpha }(x)}$${\displaystyle D^{\alpha}}$

$${\displaystyle D^{\alpha }={\frac {\partial ^{|\alpha |}}{\partial x_{1}^{\alpha _{1}}\partial x_{2}^{\alpha _{2}}\cdots \partial x_{n}^{\alpha _{n}}}}}$$

したがって関数の場合: ${\displaystyle f\in {\mathcal {F}}_{1}}$

$${\displaystyle Pf=\sum _{|\alpha |\leq m}a_{\alpha }(x){\frac {\partial ^{|\alpha |}f}{\partial x_{1}^{\alpha _{1}}\partial x_{2}^{\alpha _{2}}\cdots \partial x_{n}^{\alpha _{n}}}}}$$

この表記法は、 2次導関数の対称性により正当化されます（つまり、微分順序に依存しません）。 ${\displaystyle D^{\alpha }}$

Pの部分を変数に置き換えて得られる多項式p はPの全記号と呼ばれる。つまり、上記のPの全記号は次のようになる。 ここで、記号の最も高い同次成分、すなわち、 ${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial x_{i}}}}$${\displaystyle \xi _{i}}$$${\displaystyle p(x,\xi )=\sum _{|\alpha |\leq m}a_{\alpha }(x)\xi ^{\alpha }}$$${\displaystyle \xi ^{\alpha }=\xi _{1}^{\alpha _{1}}\cdots \xi _{n}^{\alpha _{n}}.}$

${\displaystyle \sigma (x,\xi )=\sum _{|\alpha |=m}a_{\alpha }(x)\xi ^{\alpha }}$

はPの主記号と呼ばれる。^[1]全記号は本質的に定義されていないが、主記号は本質的に定義されている（つまり、それは余接束上の関数である）。^[2]

より一般的には、EとFを多様体X上のベクトル束とする。すると、線型演算子

${\displaystyle P:C^{\infty }(E)\to C^{\infty }(F)}$

は、X上の局所座標において、次式が成り立つとき、 階数の微分作用素である。${\displaystyle k}$

${\displaystyle Pu(x)=\sum _{|\alpha |=k}P^{\alpha }(x){\frac {\partial ^{\alpha }u}{\partial x^{\alpha }}}+{\text{lower-order terms}}}$

ここで、各マルチインデックスαに対して、 はインデックス α に関して対称な バンドル マップです。${\displaystyle P^{\alpha }(x):E\to F}$

Pのk^次の係数は対称テンソルとして変換される

${\displaystyle \sigma _{P}:S^{k}(T^{*}X)\otimes E\to F}$

その定義域はXの余接バ​​ンドルのk^番目の対称冪とEのテンソル積であり、その余定義域はFです。この対称テンソルはPの主記号（または単に記号）として知られています。

座標系x ^{i は、}ファイバー座標 ξ _iを決定する座標微分 d x ⁱによる余接束の局所的単純化を可能にする。 EとFのフレームe _μ、f _νの基底に関して、微分演算子P は、成分に分解される 。

${\displaystyle (Pu)_{\nu }=\sum _{\mu }P_{\nu \mu }u_{\mu }}$

Eの各セクションu上のP _{νμ は}次のように定義されるスカラー微分演算子 である。

${\displaystyle P_{\nu \mu }=\sum _{\alpha }P_{\nu \mu }^{\alpha }{\frac {\partial }{\partial x^{\alpha }}}.}$

この単純化により、主要な記号は次のように書けるようになる。

${\displaystyle (\sigma _{P}(\xi )u)_{\nu }=\sum _{|\alpha |=k}\sum _{\mu }P_{\nu \mu }^{\alpha }(x)\xi _{\alpha }u_{\mu }.}$

Xの固定点x上の余接空間において、記号は内の値を持つ内のk次同次多項式を定義します。 ${\displaystyle \sigma _{P}}$${\displaystyle T_{x}^{*}X}$${\displaystyle \operatorname {Hom} (E_{x},F_{x})}$

微分演算子Pとその記号は、次のようにフーリエ変換と関連して自然に現れる。ƒをシュワルツ関数とする。すると逆フーリエ変換により、

${\displaystyle Pf(x)={\frac {1}{(2\pi )^{\frac {d}{2}}}}\int \limits _{\mathbf {R} ^{d}}e^{ix\cdot \xi }p(x,i\xi ){\hat {f}}(\xi )\,d\xi .}$

これはPをフーリエ乗数として表しています。この積分が適切に動作するξにおける最大でも多項式成長条件を満たす関数p ( x ,ξ)のより一般的なクラスは擬似微分演算子で構成されています。

• 微分作用素は、その記号が可逆である場合に楕円型である。つまり、各非ゼロに対してバンドル マップが可逆である。コンパクト多様体上では、楕円理論からP はフレドホルム作用素であり、有限次元の核と余核を持つことがわかる。${\displaystyle P}$${\displaystyle \theta \in T^{*}X}$${\displaystyle \sigma _{P}(\theta ,\dots ,\theta )}$
• 双曲型偏微分方程式と放物型偏微分方程式の研究では、主記号のゼロが偏微分方程式の特性に対応します。
• 物理科学への応用では、ラプラス演算子などの演算子は偏微分方程式の設定と解法に大きな役割を果たします。
• 微分位相幾何学では、外微分演算子とリー微分演算子は本質的な意味を持ちます。
• 抽象代数学では、微分の概念によって微分演算子の一般化が可能になり、微積分を必要としなくなります。このような一般化は代数幾何学や可換代数でよく使用されます。Jet (数学)も参照してください。
• 複素変数z = x + i yの正則関数の開発では、複素関数が 2 つの実変数xとyの関数であると考えられることがあります。偏微分演算子であるWirtinger 導関数が使用されます。このアプローチは、複数の複素変数の関数やモーター変数の関数を研究するためにも使用されます。  $${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial z}}={\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial }{\partial x}}-i{\frac {\partial }{\partial y}}\right)\ ,\quad {\frac {\partial }{\partial {\bar {z}}}}={\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial }{\partial x}}+i{\frac {\partial }{\partial y}}\right)\ .}$$
• 微分演算子del はナブラとも呼ばれ、重要なベクトル微分演算子です。物理学ではマクスウェル方程式の微分形式などで頻繁に登場します。3次元直交座標では、 del は次のように定義されます。

$${\displaystyle \nabla =\mathbf {\hat {x}} {\partial \over \partial x}+\mathbf {\hat {y}} {\partial \over \partial y}+\mathbf {\hat {z}} {\partial \over \partial z}.}$$

Del は勾配を定義し、さまざまなオブジェクトの回転、発散、ラプラシアンを計算するために使用されます。

• カイラル微分演算子。今のところは[1]を参照。

微分演算子を独立したものとして記述するという概念的なステップは、1800年にルイ・フランソワ・アントワーヌ・アルボガストによって考案されたとされる。 ^[3]

最も一般的な微分演算子は導関数を取る動作です。変数xに関して 1 次導関数を取るための一般的な表記法は次のとおりです。

${\displaystyle {d \over dx}}$、、そして。${\displaystyle D}$${\displaystyle D_{x},}$${\displaystyle \partial _{x}}$

より高いn次導関数を取る場合、演算子は次のように記述されます。

${\displaystyle {d^{n} \over dx^{n}}}$、、、 または。${\displaystyle D^{n}}$${\displaystyle D_{x}^{n}}$${\displaystyle \partial _{x}^{n}}$

引数xの関数fの導関数は、次のいずれかとして与えられることがあります。

${\displaystyle [f(x)]'}$

${\displaystyle f'(x).}$

D記法の使用と作成は、次のような形式の微分演算子を考えた オリバー・ヘヴィサイドによるものである。

${\displaystyle \sum _{k=0}^{n}c_{k}D^{k}}$

微分方程式の研究において。

最も頻繁に見られる微分演算子の1つはラプラシアン演算子であり、次のように定義されます。

${\displaystyle \Delta =\nabla ^{2}=\sum _{k=1}^{n}{\frac {\partial ^{2}}{\partial x_{k}^{2}}}.}$

もう一つの微分演算子はΘ演算子またはシータ演算子であり、 ^[4]で定義される。

${\displaystyle \Theta =z{d \over dz}.}$

これは、その固有関数がzの単項式であるため、同次演算子と呼ばれることもあります。 $${\displaystyle \Theta (z^{k})=kz^{k},\quad k=0,1,2,\dots }$$

n変数の場合、同次演算子は次のように表される。 $${\displaystyle \Theta =\sum _{k=1}^{n}x_{k}{\frac {\partial }{\partial x_{k}}}.}$$

1変数の場合と同様に、 Θの固有空間は同次関数の空間です。（オイラーの同次関数定理）

一般的な数学的慣例に従い、微分演算子の引数は通常、演算子自体の右側に配置されます。別の表記法が使用される場合もあります。演算子の左側の関数と右側の関数に演算子を適用した結果、および両側の関数に微分演算子を適用したときに得られる差は、次のように矢印で示されます。

${\displaystyle f{\overleftarrow {\partial _{x}}}g=g\cdot \partial _{x}f}$

${\displaystyle f{\overrightarrow {\partial _{x}}}g=f\cdot \partial _{x}g}$

${\displaystyle f{\overleftrightarrow {\partial _{x}}}g=f\cdot \partial _{x}g-g\cdot \partial _{x}f.}$

このような双方向矢印表記は、量子力学の 確率流を記述するために頻繁に使用されます。

線型微分演算子が与えられた場合、この演算子の随伴 演算子は、 スカラー積または内積の 表記が使用される演算子として定義されます。したがって、この定義はスカラー積 (または内積) の定義に依存します。 ${\displaystyle T}$ $${\displaystyle Tu=\sum _{k=0}^{n}a_{k}(x)D^{k}u}$$${\displaystyle T^{*}}$$${\displaystyle \langle Tu,v\rangle =\langle u,T^{*}v\rangle }$$${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle }$

実区間（a、b）上の二乗可積分関数の関数空間において、スカラー積は次のように定義される。 $${\displaystyle \langle f,g\rangle =\int _{a}^{b}{\overline {f(x)}}\,g(x)\,dx,}$$

ここで、 f ( x )上の直線はf ( x )の複素共役を表す。さらに、fまたはgがおよびで消滅するという条件を加えると、 Tの随伴を次のように 定義することもできる。${\displaystyle x\to a}$${\displaystyle x\to b}$$${\displaystyle T^{*}u=\sum _{k=0}^{n}(-1)^{k}D^{k}\left[{\overline {a_{k}(x)}}u\right].}$$

この式はスカラー積の定義に明示的に依存しません。そのため、随伴演算子の定義として選択されることがあります。 がこの式に従って定義されている場合、それはTの形式的随伴と呼ばれます。 ${\displaystyle T^{*}}$

(形式的に)自己随伴演算子は、それ自身の (形式的に) 随伴演算子と等しい演算子です。

Ω がR ⁿ内の領域であり、P がΩ 上の微分作用素である場合、Pの随伴関数はL ² (Ω)内で双対性によって同様 に定義されます。

${\displaystyle \langle f,P^{*}g\rangle _{L^{2}(\Omega )}=\langle Pf,g\rangle _{L^{2}(\Omega )}}$

すべての滑らかなL ²関数f、gに対して。滑らかな関数はL ^{2で稠密なので、これは}L ²の稠密な部分集合上の随伴関数を定義します。P ^*は稠密に定義された演算子です。

シュトゥルム・リウヴィル作用素は形式的自己随伴作用素のよく知られた例である。この2階線形微分作用素Lは次のように書ける。

${\displaystyle Lu=-(pu')'+qu=-(pu''+p'u')+qu=-pu''-p'u'+qu=(-p)D^{2}u+(-p')Du+(q)u.}$

この性質は上記の正式な随伴定義を用いて証明することができる。^[5]

この演算子は、この演算子の固有関数（固有ベクトルの類似物）が考慮されるSturm-Liouville 理論の中心です。

微分は線形であり、すなわち

${\displaystyle D(f+g)=(Df)+(Dg),}$

${\displaystyle D(af)=a(Df),}$

ここで、fとg は関数であり、a は定数です。

Dの任意の多項式は関数係数を持ち、微分作用素でもある。微分作用素は、次の規則によって 合成することもできる。

${\displaystyle (D_{1}\circ D_{2})(f)=D_{1}(D_{2}(f)).}$

ここで注意が必要です。まず、演算子D ₂の任意の関数係数は、D ₁の適用に必要な回数だけ微分可能でなければなりません。このような演算子の環を得るには、使用する係数のすべての次数の導関数を想定する必要があります。次に、この環は可換ではありません。演算子gD は一般にDgと同じではありません。たとえば、量子力学では基本的な関係があります。

${\displaystyle Dx-xD=1.}$

対照的に、定数係数を持つDの多項式である演算子の部分環は可換です。これは別の方法で特徴付けることができます。つまり、変換不変演算子で構成されます。

微分演算子もシフト定理に従います。

Rが環である場合、 を変数DとXにおけるR上の非可換多項式環とし、I をDX − XD − 1によって生成される両側イデアルとします。このとき、 R上の一変数多項式微分作用素の環は商環です。これは非可換単純環です。すべての要素は、形式 の単項式のR線型結合として一意に表すことができます。これは、多項式のユークリッド除算の類似をサポートします。 ${\displaystyle R\langle D,X\rangle }$ ${\displaystyle R\langle D,X\rangle /I}$ ${\displaystyle X^{a}D^{b}{\text{ mod }}I}$

上の微分加群^[要説明] (標準微分の場合)は、上の加群と同一視できます。 ${\displaystyle R[X]}$${\displaystyle R\langle D,X\rangle /I}$

Rが環であるとき、変数R上の非可換多項式環を とし、要素によって生成される両側イデアルを Iとする。${\displaystyle R\langle D_{1},\ldots ,D_{n},X_{1},\ldots ,X_{n}\rangle }$${\displaystyle D_{1},\ldots ,D_{n},X_{1},\ldots ,X_{n}}$

${\displaystyle (D_{i}X_{j}-X_{j}D_{i})-\delta _{i,j},\ \ \ D_{i}D_{j}-D_{j}D_{i},\ \ \ X_{i}X_{j}-X_{j}X_{i}}$

すべてに対して、クロネッカーのデルタです。このとき、 R上の多変数多項式微分作用素の環は商環 です。${\displaystyle 1\leq i,j\leq n,}$${\displaystyle \delta }$${\displaystyle R\langle D_{1},\ldots ,D_{n},X_{1},\ldots ,X_{n}\rangle /I}$

これは非可換な 単純環です。すべての要素は、形式 の単項式のR線型結合として一意に表すことができます。${\displaystyle X_{1}^{a_{1}}\ldots X_{n}^{a_{n}}D_{1}^{b_{1}}\ldots D_{n}^{b_{n}}}$

微分幾何学と代数幾何学では、2つのベクトル束の間の微分作用素を座標に依存しない形で記述すると便利なことがよくある。EとFを微分可能多様体M上の2つのベクトル束とする。R線型写像P : Γ  ( E )→Γ( F )は、ジェット束Jk ( E )を介して因数分解できる場合、k次の線型微分作用素と呼ばれる。言い換えれば、ベクトル束の線型写像が存在する ^。

${\displaystyle i_{P}:J^{k}(E)\to F}$

そのような

${\displaystyle P=i_{P}\circ j^{k}}$

ここでj ^k : Γ( E ) → Γ( J ^k ( E ))は、 Eの任意のセクションにそのkジェットを関連付ける延長です。

これは単に、 Eの与えられたセクション sに対して、点x  ∈  MにおけるP ( s )の値が、 xにおけるsのk次の無限小動作によって完全に決定されることを意味します。特に、これはP ( s )( x ) がxにおけるsの芽によって決定されることを意味し、これは微分演算子が局所的であるという表現で表されます。基本的な結果は、逆も真であることを示す Peetre の定理です。つまり、任意の (線形) 局所演算子は微分的です。

線型微分作用素の同等だが純粋に代数的な記述は次のようになる。R線型写像Pはk次の線型微分作用素であり、任意のk + 1個の  滑らかな関数に対して${\displaystyle f_{0},\ldots ,f_{k}\in C^{\infty }(M)}$

${\displaystyle [f_{k},[f_{k-1},[\cdots [f_{0},P]\cdots ]]=0.}$

ここで括弧は交換子として定義される ${\displaystyle [f,P]:\Gamma (E)\to \Gamma (F)}$

${\displaystyle [f,P](s)=P(f\cdot s)-f\cdot P(s).}$

線形微分作用素のこの特徴付けは、それらが可換代数上のモジュール間の特定のマッピングであることを示しており、その概念を可換代数の一部として見ることができるようになります。

無限次微分演算子は、（大まかに言えば）全体の記号が多項式ではなくべき級数である微分演算子です。

2つの関数に作用する微分作用素は双微分作用素と呼ばれる。この概念は、例えばポアソン代数の変形量子化における結合代数構造に現れる。^[6]${\displaystyle D(g,f)}$

ミクロ微分作用素は、多様体の開集合ではなく、余接束の開集合上の作用素の一種である。これは、微分作用素の概念を余接束に拡張することによって得られる。^[7]

• フリード、ダニエル S. (1987)、ディラック演算子の幾何学、p. 8、CiteSeerX  10.1.1.186.8445
• Hörmander、L. (1983)、線形偏微分演算子 I の分析、Grundl。数学。 Wissenschaft.、vol. 256、スプリンガー、土井：10.1007/978-3-642-96750-4、ISBN 3-540-12104-8、MR  0717035。
• シャピラ、ピエール (1985)。複雑な領域の微小差動システム。 Grundlehren der mathematischen Wissenschaften。 Vol. 269. スプリンガー。土井：10.1007/978-3-642-61665-5。ISBN 978-3-642-64904-2。
• ウェルズ、RO（1973）、複素多様体上の微分解析、Springer-Verlag、ISBN 0-387-90419-0。

• フェドソフ、ボリス; シュルツェ、バート・ヴォルフガング; タルカノフ、ニコライ (2002)。「楕円コーナー演算子の解析的指数式」。フーリエ研究所紀要。52 ( 3): 899–982。doi : 10.5802/ aif.1906。ISSN  1777-5310 。
• https://mathoverflow.net/questions/451110/reference-request-inverse-of-fferential-operators

• ウィキメディア・コモンズの微分作用素に関連するメディア
• 「微分演算子」、数学百科事典、EMS Press、2001 [1994]