算術微分

数論において、ラガリアスの算術微分または数微分は、数学的解析で使用される関数の微分に対する積の規則からの類推により、素因数分解に基づいて整数に対して定義される関数です。

「算術微分」には、この記事で説明したもの（ラガリアスの算術微分）をはじめ、伊原の算術微分やブイウムの算術微分など、多くのバージョンがあります。

算術微分は1911年にスペインの数学者ホセ・ミンゴ・シェリーによって導入されました。^{[1] [2]}算術微分は1950年のパトナム・コンペティションでも登場しました。^[3]

自然数 nに対して、算術微分D ( n ) ^[注1]は次のように定義される。

• 任意の素数 pに対してD ( p )=1となる。
• 任意の（ライプニッツの規則）に対して、 D ( mn ) = D ( m ) n + mD ( n )。${\displaystyle m,n\in \mathbb {N} }$

エドワード・J・バーボーは、選択D (− n ) = − D ( n )が一意に整数に定義域を拡張し、積の公式と一致することを示して、定義域をすべての整数に拡張しました。バーボーはさらにそれを有理数に拡張し、よく知られている商の規則が の明確な導関数を与えることを示しました。 ${\displaystyle \mathbb {Q} }$

${\displaystyle D\!\left({\frac {m}{n}}\right)={\frac {D(m)n-mD(n)}{n^{2}}}.}$^{[4] [5]}

ヴィクトル・ウフナロフスキーとボー・オーランダーはこれを、任意の有理数乗の素数の積として表される無理数に拡張し、次のような式を計算できるようにした。^[6]${\displaystyle D({\sqrt {3}}\,)}$

算術微分は、ガウス整数やアイゼンシュタイン整数、およびそれに関連する分数体などの一意の因数分解領域（UFD）^[6]に拡張することもできます。UFDが多項式環である場合、算術微分は、その多項式環上の微分と同じです。たとえば、正則微分は、一変数実数および複素多項式関数と有理関数の環の算術微分であり、代数の基本定理を使用して証明できます。

算術微分はnを法とする整数環にも拡張されている。^[7]

ライプニッツの法則によれば、D (0) = 0 ( m = n = 0とする)、D (1) = 0 ( m = n = 1とする)となる。

べき乗則は算術微分にも適用されます。任意の整数kおよびn ≥ 0に対して、

${\displaystyle D(k^{n})=nk^{n-1}D(k)。}$

これにより、整数の素因数分解から導関数を計算することができます(ここではxのp進値です)。 ${\textstyle x=\prod \limits _{p\in \mathbb {P} }p^{n_{p}}}$${\textstyle n_{p}=\nu _{p}(x)}$

${\displaystyle D(x)=\sum \limits _{p\in \mathbb {P} }n_{p}\,p^{n_{p}-1}D(p)=\sum _{\stackrel {p\vert x}{p\in \mathbb {P} }}n_{p}{\frac {x}{p}}D(p)=x\sum _{\stackrel {p\vert x}{p\in \mathbb {P} }}{\frac {n_{p}}{p}}D(p)}$。

これは、すべての素数 の導関数がわかれば、導関数は完全にわかっていることを示しています。実際、素数 に関する算術偏導関数の族は、 を除くすべての素数に対して によって定義されます。ただし、 は導関数の空間の基底です。この導関数に対して、 であることに注意してください。 ${\textstyle {\frac {\partial }{\partial p}}}$${\textstyle p}$${\textstyle {\frac {\partial }{\partial p}}(q)=0}$${\textstyle q}$${\textstyle q=p}$${\textstyle {\frac {\partial }{\partial p}}(p)=1}$${\displaystyle {\frac {\partial x}{\partial p}}=n_{p}{\frac {x}{p}}}$

通常、すべての素数pに対して導関数をとるので、 ${\textstyle D(p)=1}$

${\displaystyle D=\sum \limits _{p\in \mathbb {P} }{\frac {\partial }{\partial p}}{\text{、および }}D(x)=x\sum \limits _{p\in \mathbb {P} }{\frac {n_{p}}{p}}}$。

この導関数を使用すると、たとえば次のようになります。

${\displaystyle D(60)=D(2^{2}\cdot 3\cdot 5)=60\cdot \left({\frac {2}{2}}+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}\right)=92,}$

または

${\displaystyle D(81)=D(3^{4})=4\cdot 3^{3}\cdot D(3)=4\cdot 27\cdot 1=108.}$

そして、x = 0, 1, 2, …の数導関数のシーケンスが始まります ( OEISのシーケンスA003415 )。

${\displaystyle 0,0,1,1,4,1,5,1,12,6,7,1,16,1,9,\ldots }$

対数微分は 完全に加法的な関数です。${\displaystyle \operatorname {ld} (x)={\frac {D(x)}{x}}=\sum _{\stackrel {p\,\mid \,x}{p\in \mathbb {P} }}{\frac {\nu _{p}(x)}{p}}}$${\displaystyle \operatorname {ld} (x\cdot y)=\operatorname {ld} (x)+\operatorname {ld} (y).}$

を素数とします。の に関する算術偏微分は次のように定義されます。したがって、 の算術微分は次のように与えられます。${\displaystyle p}$${\displaystyle x}$${\displaystyle p}$${\displaystyle D_{p}(x)={\frac {\nu _{p}(x)}{p}}x.}$${\displaystyle x}$${\displaystyle D(x)=\sum _{\stackrel {p\,\mid \,x}{p\in \mathbb {P} }}D_{p}(x).}$

を素数の空でない集合とします。のに関する算術部分微分は と定義されます。 がすべての素数の集合である場合、通常の算術微分は です。 である場合、算術偏微分は と定義されます。 ${\displaystyle S}$${\displaystyle x}$${\displaystyle S}$${\displaystyle D_{S}(x)=\sum _{\stackrel {p\,\mid \,x}{p\in S}}D_{p}(x).}$${\displaystyle S}$${\displaystyle D_{S}(x)=D(x),}$${\displaystyle S=\{p\}}$${\displaystyle D_{S}(x)=D_{p}(x),}$

算術関数がライプニッツ加法的であるとは、すべての正の整数およびに対してとなるような全乗法関数が存在する場合です。この概念の根拠は、ライプニッツ加法関数が算術微分 の一般化であるという事実です。つまり、は に対してライプニッツ加法的です。 ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle h_{f}}$${\displaystyle f(mn)=f(m)h_{f}(n)+f(n)h_{f}(m)}$${\displaystyle m}$${\displaystyle n}$${\displaystyle D}$${\displaystyle D}$${\displaystyle h_{D}(n)=n}$

SandorとAtanassovの著書の第3.5節に示されている関数は、実際には通常の算術微分とまったく同じです。 ${\displaystyle \delta }$${\displaystyle D}$

EJ Barbeauは算術微分^[8]の境界を調べ、

${\displaystyle D(n)\leq {\frac {n\log _{2}n}{2}}}$

そして

${\displaystyle D(n)\geq \Omega (n)\,n^{\frac {\Omega (n)-1}{\Omega (n)}}}$

ここで、素数オメガ関数Ω( n )は、 nの素因数の数です。上記の両方の境界において、n が2 の累乗である場合に常に等式が成立します。

ダール、オルソン、ロイコは、自然数の算術微分が次の式で制限されることを発見した^[9]

${\displaystyle D(n)\leq {\frac {n\log _{p}n}{p}}}$

ここで、p はnの中で最小の素数であり、n がpの累乗のときに等式が成立します。

Alexander Loiko、Jonas Olsson、Niklas Dahl は、任意の 2 つの有理数の間に、任意の大きいまたは小さい導関数を持つ他の有理数が存在することを証明することによって、有理数に拡張された算術微分に対して同様の境界を見つけることは不可能であることを発見しました (これは、算術微分が から への連続関数ではないことを意味することに注意してください)。 ${\displaystyle \mathbb {Q} }$${\displaystyle \mathbb {Q} }$

我々は持っています

${\displaystyle \sum _{n\leq x}{\frac {D(n)}{n}}=T_{0}x+O(\log x\log \log x)}$

そして

${\displaystyle \sum _{n\leq x}D(n)=\left({\frac {1}{2}}\right)T_{0}x^{2}+O(x^{1+\delta })}$

任意のδ > 0に対して 、

${\displaystyle T_{0}=\sum _{p}{\frac {1}{p(p-1)}}.}$

ヴィクトル・ウフナロフスキーとボー・オーランダーは、この関数と双子素数予想、素数三つ組予想、ゴールドバッハ予想などの有名な数論的予想との関連を詳述した。例えば、ゴールドバッハ予想は、各k > 1に対して、 D ( n ) = 2 kとなるnが存在することを意味する。双子素数予想は、 D ² ( k ) = 1となるkが無限に存在することを意味する。^[6]

• 算術関数
• 微分（微分代数）
• p導出

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