コホモロジー

数学、特にホモロジー理論と代数的位相幾何学 において、コホモロジーは、アーベル群の列を表す一般用語であり、通常は位相空間に関連付けられ、コチェイン複体から定義されることが多い。コホモロジーは、ホモロジーよりも豊富な代数的不変量を空間に割り当てる方法と見なすことができます。コホモロジーのいくつかのバージョンは、ホモロジーの構築を双対化することによって生じます。言い換えると、コチェインはホモロジー理論におけるチェイン群上の関数です。

位相幾何学で始まって以来、この考え方は 20 世紀後半の数学で支配的な方法となった。位相空間の代数的不変量を構成する方法としてのホモロジーという当初の考え方から、ホモロジーとコホモロジー理論の応用範囲は幾何学と代数学全体に広がった。この用語は、反変理論であるコホモロジーの方が多くの応用においてホモロジーよりも自然であるという事実を覆い隠す傾向がある。基本的なレベルでは、これは幾何学的な状況での関数と引き戻しに関係している。空間XとY 、およびY上の何らかの関数F が与えられると、任意の写像f  : X → Yに対して、 fとの合成によりX上の関数F ∘ fが生じる。最も重要なコホモロジー理論には、カップ積という積があり、これにより環構造が得られる。この特徴のため、コホモロジーは通常、ホモロジーよりも強い不変量である。

特異コホモロジーは位相幾何学における強力な不変量であり、次数可換環を任意の位相空間に関連付けます。すべての連続写像は、 のコホモロジー環から のコホモロジー環への準同型写像を決定します。これにより、から への可能な写像に強い制約が課せられます。ホモトピー群などのより微妙な不変量とは異なり、コホモロジー環は、関心のある空間に対して実際に計算可能である傾向があります。 ${\displaystyle f:X\to Y}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$

位相空間 の場合、特異コホモロジーの定義は特異鎖複体から始まります。^[1] 定義により、の特異ホモロジーは、この鎖複体のホモロジーです（1 つの準同型の核を前の準同型の像で割ったもの）。より詳しくは、は標準-単体から への連続写像の集合上の自由アーベル群（「の特異 -単体」と呼ばれる）であり、 は- 番目の境界準同型です。群は負の場合にゼロになります。 ${\displaystyle X}$ $${\displaystyle \cdots \to C_{i+1}{\stackrel {\partial _{i+1}}{\to }}C_{i}{\stackrel {\partial _{i}}{\to }}\ C_{i-1}\to \cdots }$$${\displaystyle X}$${\displaystyle C_{i}}$${\displaystyle i}$${\displaystyle X}$${\displaystyle i}$${\displaystyle X}$${\displaystyle \partial_{i}}$${\displaystyle i}$${\displaystyle C_{i}}$${\displaystyle i}$

ここでアーベル群を固定し、各群をその双対群とその双対準同型で置き換える。${\displaystyle A}$${\displaystyle C_{i}}$ ${\displaystyle C_{i}^{*}=\mathrm {Hom} (C_{i},A),}$${\displaystyle \partial_{i}}$ $${\displaystyle d_{i-1}:C_{i-1}^{*}\to C_{i}^{*}.}$$

これは、元の複合体の「すべての矢印を反転」する効果があり、共鎖複合体を残す。 $${\displaystyle \cdots \leftarrow C_{i+1}^{*}{\stackrel {d_{i}}{\leftarrow }}\ C_{i}^{*}{\stackrel {d_{i-1}}{\leftarrow }}C_{i-1}^{*}\leftarrow \cdots }$$

整数 に対して、に係数を持つ の 番目^のコホモロジー群は と定義され、 で表されます。負の場合、群は0 です。 の元は、に係数を持つ特異-コチェーンと呼ばれます。(同様に、上の -コチェーンは、 の特異-単体の集合から への関数と同一視できます。)およびの元は、それぞれコサイクルおよびコ境界と呼ばれ、 の元はコホモロジー類と呼ばれます(コサイクルの同値類であるため)。 ${\displaystyle i}$${\displaystyle i}$ ${\displaystyle X}$${\displaystyle A}$${\displaystyle \operatorname {ker} (d_{i})/\operatorname {im} (d_{i-1})}$${\displaystyle H^{i}(X,A)}$${\displaystyle H^{i}(X,A)}$${\displaystyle i}$${\displaystyle C_{i}^{*}}$${\displaystyle i}$${\displaystyle A}$${\displaystyle i}$${\displaystyle X}$${\displaystyle i}$${\displaystyle X}$${\displaystyle A}$${\displaystyle \ker(d)}$${\displaystyle {\textrm {im}}(d)}$${\displaystyle \operatorname {ker} (d_{i})/\operatorname {im} (d_{i-1})=H^{i}(X,A)}$

以下では、係数群は書かれない場合があります。 を可換環とするのが一般的です。その場合、コホモロジー群は-加群です。標準的な選択は整数の環 です。 ${\displaystyle A}$${\displaystyle A}$ ${\displaystyle R}$${\displaystyle R}$${\displaystyle \mathbb {Z} }$

コホモロジーの形式的な性質のいくつかは、ホモロジーの性質の小さな変種に過ぎません。

• 連続写像はホモロジー上のプッシュフォワード準同型とコホモロジー上のプルバック準同型を決定します。これにより、コホモロジーは位相空間からアーベル群 (または - 加群) への反変関手になります。${\displaystyle f:X\to Y}$${\displaystyle f_{*}:H_{i}(X)\to H_{i}(Y)}$${\displaystyle f^{*}:H^{i}(Y)\to H^{i}(X)}$${\displaystyle R}$
• からの2 つのホモトピック写像は、コホモロジー上に (ホモロジー上と同様に) 同じ準同型を誘導します。${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$
• マイヤー・ヴィートリス列は、ホモロジーと同様にコホモロジーにおける重要な計算ツールです。境界準同型はコホモロジーの次数を（減少させるのではなく）増加させることに留意してください。つまり、空間が開部分集合と の和集合である場合、長完全列が存在します。${\displaystyle X}$ ${\displaystyle U}$${\displaystyle V}$$${\displaystyle \cdots \to H^{i}(X)\to H^{i}(U)\oplus H^{i}(V)\to H^{i}(U\cap V)\to H^{i+1}(X)\to \cdots }$$
• 空間の任意の部分空間には相対コホモロジー群が存在する。それらは、長い完全列によって通常のコホモロジー群と関連付けられている。${\displaystyle H^{i}(X,Y;A)}$ ${\displaystyle Y}$${\displaystyle X}$$${\displaystyle \cdots \to H^{i}(X,Y)\to H^{i}(X)\to H^{i}(Y)\to H^{i+1}(X,Y)\to \cdots }$$
• 普遍係数定理は、Ext 群を使用して、ホモロジーの観点からコホモロジーを記述します。つまり、短い完全列 が存在します。関連するステートメントは、体に対して、はベクトル空間の双対空間であるということです。$${\displaystyle 0\to \operatorname {Ext} _{\mathbb {Z} }^{1}(\operatorname {H} _{i-1}(X,\mathbb {Z} ),A)\to H^{i}(X,A)\to \operatorname {Hom} _{\mathbb {Z} }(H_{i}(X,\mathbb {Z} ),A)\to 0.}$$ ${\displaystyle F}$${\displaystyle H^{i}(X,F)}$ ${\displaystyle H_{i}(X,F)}$
• が位相多様体またはCW複体である場合、の次元より大きい場合、コホモロジー群は0 になります。^[2]がコンパクト多様体（境界を持つ場合もあります）、または各次元に有限個のセルを持つCW複体であり、 が可換ネーター環である場合、-加群は各 に対して有限生成されます。^[3]${\displaystyle X}$${\displaystyle H^{i}(X,A)}$${\displaystyle i}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle R}$${\displaystyle R}$${\displaystyle H^{i}(X,R)}$${\displaystyle i}$

一方、コホモロジーにはホモロジーにはない重要な構造がある。任意の位相空間と可換環に対して、カップ積と呼ばれる双線型写像が存在する。 これは特異なコチェーン上の明示的な式によって定義される。コホモロジー類 と の積はまたは単に と表記される。この積により直和は次数付き環 になり、これを のコホモロジー環と呼ぶ。これは次の意味で次数付き可換である: ^[4]${\displaystyle X}$${\displaystyle R}$$${\displaystyle H^{i}(X,R)\times H^{j}(X,R)\to H^{i+j}(X,R),}$$${\displaystyle u}$${\displaystyle v}$${\displaystyle u\cup v}$${\displaystyle uv}$ $${\displaystyle H^{*}(X,R)=\bigoplus _{i}H^{i}(X,R)}$$${\displaystyle X}$ $${\displaystyle uv=(-1)^{ij}vu,\qquad u\in H^{i}(X,R),v\in H^{j}(X,R).}$$

任意の連続写像に対して、引き戻しは次数付き-代数の準同型写像である。したがって、2 つの空間がホモトピー同値である場合、それらのコホモロジー環は同型である。 ${\displaystyle f\colon X\to Y,}$${\displaystyle f^{*}:H^{*}(Y,R)\to H^{*}(X,R)}$${\displaystyle R}$

カップ積の幾何学的解釈をいくつか示します。以下では、特に断りのない限り、多様体は境界がないものと理解されます。閉多様体はコンパクト多様体 (境界なし) を意味しますが、多様体Mの閉部分多様体 NはMの閉じた部分集合である部分多様体を意味しますが、必ずしもコンパクトである必要はありません (ただし、MがコンパクトであればN も自動的にコンパクトになります)。

• X をn次元の閉じた有向多様体とします。このとき、ポアンカレ双対性により同型H ⁱ X ≅ H _{n − i} Xが与えられます。結果として、Xの共次元iの閉じた有向部分多様体S は、 H ⁱ Xのコホモロジー類[ S ] を決定します。これらの用語では、カップ積は部分多様体の交差を記述します。つまり、SとTが共次元iとjの部分多様体で横方向に交差する場合、交差S ∩ Tは共次元i + jの部分多様体であり、その方向はS、T、およびXの方向によって決まります。滑らかな多様体の場合、SとT が横方向に交差しない場合でも、この式を使用してカップ積 [ S ][ T ] を計算できます。そのためには、交差を横方向にするためにSまたはT を摂動させます。 $${\displaystyle [S][T]=[S\cap T]\in H^{i+j}(X),}$$
  より一般的には、 X が向きを持つと仮定しなくても、その法線バンドル上に向きを持つXの閉じた部分多様体は、 X上のコホモロジー類を決定します。Xが非コンパクト多様体の場合、閉じた部分多様体（必ずしもコンパクトではない）は、 X 上のコホモロジー類を決定します。どちらの場合も、カップ積は、部分多様体の交差の観点から再び記述できます。
  トムは、滑らかな 14 次元多様体上に、滑らかな部分多様体のクラスではない次数 7 の積分コホモロジークラスを構築したことに注目してください。 ^[5]一方、彼は、滑らかな多様体上の正の次数のすべての積分コホモロジークラスには、滑らかな部分多様体のクラスである正の倍数があることを示しました。^[6]また、多様体上のすべての積分コホモロジークラスは、「擬似多様体」、つまり少なくとも 2 の余次元の閉部分集合の外側の多様体である単体複体によって表すことができます。
• 滑らかな多様体Xについて、ド・ラームの定理によれば、実係数を持つXの特異コホモロジーは、微分形式を使って定義されたXのド・ラームコホモロジーと同型である。カップ積は微分形式の積に対応する。この解釈の利点は、微分形式上の積は次数可換であるのに対し、特異コチェーン上の積はチェーンホモトピーまでしか次数可換ではないことである。実際、整数または素数pの係数を持つ特異コチェーンの定義を修正して、積を直接次数可換にすることは不可能である。コチェーンレベルで次数可換性が満たされないと、 mod pコホモロジーに対するスティーンロッド演算が生じる。${\displaystyle \mathbb {Z} }$${\displaystyle \mathbb {Z} /p}$

非常に非公式には、任意の位相空間Xに対して、 の元は、X上を自由に移動できるXの余次元i の部分空間によって表されるものと考えることができます。たとえば、 の元を定義する 1 つの方法は、Xから多様体Mへの連続写像fと、法バンドル上に向きを持つMの余次元i の閉じた部分多様体N を与えることです。非公式には、結果として得られるクラスはXの部分空間上にあると考えられます。これは、クラスが開部分集合のコホモロジーにおいて 0 に制限されるという点で正当化されます。コホモロジークラスは、NがM内のNの任意の連続変形で置き換えられる可能性があるという意味で、X上を自由に移動できます。 ${\displaystyle H^{i}(X)}$${\displaystyle H^{i}(X)}$${\displaystyle f^{*}([N])\in H^{i}(X)}$${\displaystyle f^{-1}(N)}$${\displaystyle f^{*}([N])}$${\displaystyle Xf^{-1}(N).}$${\displaystyle f^{*}([N])}$

以下では、特に断りのない限り 、コホモロジーは整数Zの係数でとられます。

• 点のコホモロジー環は、次数 0 の環Zです。ホモトピー不変性により、これはユークリッド空間R ⁿなどの任意の収縮可能な空間のコホモロジー環でもあります。

• 

  正の整数nに対して、球面 のコホモロジー環はZ [ x ]/( x ² ) （与えられたイデアルによる多項式環の商環）であり、x はn次である。上記のポアンカレ双対性では、x は球面上の点の類である。${\displaystyle S^{n}}$
• トーラス のコホモロジー環は、 1 次でn 個の生成元を持つZ上の外積代数です。 ^[7]たとえば、円 内の点をP、2 次元トーラス 内の点 ( P , P ) をQ とします。すると、( S ¹ ) ²のコホモロジーは、次数0で元 1、次数 1 で x := [ P × S 1 ] および y := [ S 1 × P ]、次数 2 で xy = [ Q ] という形式の自由 Z モジュールとして基底 を持ちます。⁽ここで は、^トーラスと2つの円の向きが暗黙的に固定されています。)次数可換性により、 yx = − xy = −[ Q ] であることに注意してください。${\displaystyle (S^{1})^{n}}$${\displaystyle S^{1}}$${\displaystyle (S^{1})^{2}}$
• より一般的には、R を可換環とし、XとY を任意の位相空間とし、H ^* ( X , R ) が各次数において有限生成自由R加群であるとする。( Yについては仮定は不要である。) このとき、キュネス公式は積空間 X × Yのコホモロジー環がR代数のテンソル積となることを示す: ^[8] $${\displaystyle H^{*}(X\times Y,R)\cong H^{*}(X,R)\otimes _{R}H^{*}(Y,R).}$$
• Z /2 係数を持つ実射影空間 RP ⁿのコホモロジー環はZ /2[ x ]/( x ^{n +1} ) で、x は1 次です。 ^[9]ここでxはRP ⁿ内の超平面RP ^{n −1}の類です。これは、 RP ^{j が}j が偶数かつ正の場合に向き付けられないとしても意味をなします。なぜなら、 Z /2 係数を持つポアンカレ双対性は任意の多様体に対して機能するからです。
  整数係数の場合、答えはもう少し複雑になります。RP ^{2 a}のZコホモロジーには次数 2 の元yがあり、コホモロジー全体は次数 0 の元 1 で張られたZのコピーと、 i =1,..., aの元y ⁱで張られたZ /2のコピーの直和です。RP ^{2 a +1}の Z コホモロジーは、次数 2 a +1 のZの追加のコピーを加えたものと同じです。^[10]
• 複素射影空間 CP ⁿのコホモロジー環はZ [ x ]/( x ^{n +1} )で、 xは次数 2です。 ^[9]ここでx はCP ⁿの超平面CP ^{n −1}の類です。より一般的には、x ^{j は}CP ⁿの線型部分空間CP ^{n − j}の類です。
• 種数g ≥ 0の向き付けられた閉曲面Xのコホモロジー環は、次数 0 の元 1、次数 1 のA ₁、...、A _gとB ₁、...、B _g、次数 2 の点の類Pという形式の自由Z加群として基底を持ちます。積は次のように与えられます。すべてのiとjに対してA _i A _j = B _i B _j = 0 、i ≠ jの場合はA _i B _j = 0 、すべてのiに対してA _i B _i = Pです。^{[11]次数付き可換性により、} B _i A _i = − Pとなります。
• 任意の位相空間において、コホモロジー環の次数可換性は、すべての奇数次コホモロジー類xに対して 2 x ² = 0 であることを意味します。したがって、1/2 を含む環Rに対して、 H ^* ( X , R )のすべての奇数次元は平方零になります。一方、RがZ /2 またはZの場合、奇数次元は平方零である必要はありません。これは、RP ² (係数がZ /2) またはRP ⁴ × RP ² (係数がZ ) の例でわかります。

コホモロジー上のカップ積は、対角写像Δ: X → X × X , x ↦ ( x , x ) から来るものと見ることができる。つまり、コホモロジー類u ∈ H ⁱ ( X , R ) とv ∈ H ^j ( Y , R ) を持つ任意の空間XとYに対して、外積（またはクロス積）コホモロジー類u × v ∈ H ^{i + j} ( X × Y , R )が存在する。類u ∈ H ⁱ ( X , R ) とv ∈ H ^j ( X , R )のカップ積は、外積を対角線で引き戻すものとして定義できる: ^[12] $${\displaystyle uv=\Delta ^{*}(u\times v)\in H^{i+j}(X,R).}$$

あるいは、外積はカップ積で定義することもできます。空間XとYについて、 2 つの射影に対してf : X × Y → Xとg : X × Y → Yと書きます。すると、クラスu ∈ H ⁱ ( X , R ) とv ∈ H ^j ( Y , R )の外積は次のようになります。 $${\displaystyle u\times v=(f^{*}(u))(g^{*}(v))\in H^{i+j}(X\times Y,R).}$$

ポアンカレ双対性の別の解釈は、閉じた有向多様体のコホモロジー環が強い意味で自己双対であるというものである。すなわち、Xをn次元の閉じた連結有向多様体とし、Fを体とする。すると、H ⁿ ( X , F )はFと同型となり、積

${\displaystyle H^{i}(X,F)\times H^{ni}(X,F)\to H^{n}(X,F)\cong F}$

は各整数iに対して完全ペアリングである。^[13]特に、ベクトル空間H ⁱ ( X , F ) とH ^{n − i} ( X , F ) は同じ（有限）次元を持つ。同様に、 H ⁿ ( X , Z ) ≅ Zに値を持つ整数コホモロジー法の積はZ上の完全ペアリングである。

位相空間X上の階数rの有向実ベクトル束 E は、 X上のコホモロジー類、すなわちオイラー類χ( E ) ∈ H ^r ( X , Z ) を決定します。非公式には、オイラー類はEの一般切断の零集合の類です。この解釈は、 Eが滑らかな多様体X上の滑らかなベクトル束である場合に、より明確にすることができます。なぜなら、その場合、 Xの一般滑らかな切断は、Xの余次元rの部分多様体上では消えるからです。

コホモロジー内の値を取るベクトル束の特性類には、チャーン類、シュティーフェル・ホイットニー類、ポンチャギン類など、他にもいくつか種類があります。

任意のアーベル群Aと自然数jに対して、 j番目のホモトピー群がAに同型で、他のホモトピー群が 0 である空間が存在する。このような空間は、アイレンバーグ・マクレーン空間と呼ばれる。この空間は、コホモロジーの分類空間であるという注目すべき性質を持つ。つまり、の自然元uが存在し、任意の空間X上の次数jのすべてのコホモロジー類は、連続写像 によるuの引き戻しである。より正確には、類u を引き戻すと、全単射が得られる 。${\displaystyle K(A,j)}$${\displaystyle H^{j}(K(A,j),A)}$${\displaystyle X\to K(A,j)}$

${\displaystyle [X,K(A,j)]{\stackrel {\cong }{\to }}H^{j}(X,A)}$

CW複体のホモトピー型を持つ任意の空間Xに対して。 ^[14]ここでXからYへの連続写像のホモトピー類の集合を表す。 ${\displaystyle [X,Y]}$

たとえば、空間(ホモトピー同値まで定義) は円 と見なすことができます。したがって、上記の説明では、 のすべての要素は、何らかのマップによって上の点のクラスuから引き戻されることを示しています。 ${\displaystyle K(\mathbb {Z} ,1)}$${\displaystyle S^{1}}$${\displaystyle H^{1}(X,\mathbb {Z} )}$${\displaystyle S^{1}}$${\displaystyle X\to S^{1}}$

任意のアーベル群Aの係数を持つ最初のコホモロジーの関連した記述が、たとえば CW 複体Xに対して存在します。つまり、は、 X上の主Aバンドルとも呼ばれる、群Aを持つXのガロア被覆空間 の同型類の集合と 1 対 1 に対応します。 X が連結である場合、は と同型であることがわかります。ここで はXの基本群です。たとえば、はXの二重被覆空間を分類し、その元は自明な二重被覆、つまり 2 つのXのコピーの互いに素な和に対応します。 ${\displaystyle H^{1}(X,A)}$${\displaystyle H^{1}(X,A)}$${\displaystyle \operatorname {Hom} (\pi _{1}(X),A)}$${\displaystyle \pi _{1}(X)}$${\displaystyle H^{1}(X,\mathbb {Z} /2)}$${\displaystyle 0\in H^{1}(X,\mathbb {Z} /2)}$

任意の位相空間Xに対して、キャップ積は双線型写像である。

${\displaystyle \cap :H^{i}(X,R)\times H_{j}(X,R)\to H_{j-i}(X,R)}$

任意の整数iとjおよび任意の可換環Rに対して、結果として得られる写像

${\displaystyle H^{*}(X,R)\times H_{*}(X,R)\to H_{*}(X,R)}$

Xの特異ホモロジーをXの特異コホモロジー環上の加群にします。

i = jの場合、キャップ積は自然準同型を与える。

${\displaystyle H^{i}(X,R)\to \operatorname {Hom} _{R}(H_{i}(X,R),R),}$

これはR体 の同型です。

たとえば、Xが必ずしもコンパクトではない有向多様体であるとします。すると、Xの閉じた有向余次元i部分多様体Y (必ずしもコンパクトではない) はH ⁱ ( X , R )の要素を決定し、Xのコンパクトな有向j次元部分多様体ZはH _j ( X , R )の要素を決定します。キャップ積 [ Y ] ∩ [ Z ] ∈ H _{j − i} ( X , R ) は、 YとZを横方向に交差するように摂動させてから、交差の類、つまり次元j − iのコンパクトな有向部分多様体を取ることによって計算できます。

n次元の閉じた有向多様体XはHn ( X , R )の基本類[ X ]を持ちます。ポアンカレ双対同型は _Xの 基本類とのキャップ積によって定義されます。 $${\displaystyle H^{i}(X,R){\overset {\cong }{\to }}H_{n-i}(X,R)}$$

コホモロジーは現代の代数的位相幾何学にとって基礎的なものであるが、その重要性はホモロジーの発展後約 40 年間認識されなかった。アンリ・ポアンカレがポアンカレ双対定理の証明に使用した双対セル構造の概念にはコホモロジーの考え方の始まりが含まれていたが、これは後になって認識された。

コホモロジーには様々な先駆者が存在した。^[15] 1920年代半ば、JWアレクサンダーとソロモン・レフシェッツは多様体上のサイクルの交差理論を確立した。閉じた有向n次元多様体M上で、交差が空でないiサイクルとjサイクルは、一般の位置にある場合、交差として( i  +  j  −  n )サイクルを持つ。これはホモロジー類の乗算につながる。

${\displaystyle H_{i}(M)\times H_{j}(M)\to H_{i+j-n}(M),}$

これは（振り返ってみると） Mのコホモロジー上のカップ積と同一視できる。

アレクサンダーは 1930 年までに、空間X上のi -コチェーンをX ^{i +1}の対角線の小さな近傍上の関数として考えることにより、コチェーンの最初の概念を定義しました。

1931年、ジョルジュ・ド・ラームはホモロジーおよび微分形式を関連付けて、ド・ラームの定理を証明した。この結果は、コホモロジーという用語でより簡単に述べることができる。

1934年、レフ・ポントリャーギンは、位相群に関する結果であるポントリャーギンの双対性定理を証明した。これにより（かなり特殊なケースではあるが）、群の指標の観点からポアンカレ双対性とアレクサンダー双対性の解釈が可能になった。

1935 年にモスクワで開催された会議で、アンドレイ・コルモゴロフとアレクサンダーはともにコホモロジーを紹介し、コホモロジー積構造を構築しようとしました。

1936 年に、ノーマン・スティーンロッドは、チェヒ ホモロジーを二重化することによってチェフ コホモロジーを構築しました。

1936年から1938年にかけて、ハスラー・ホイットニーとエドゥアルト・チェフはカップ積（コホモロジーを次数付き環にする）とキャップ積を開発し、ポアンカレ双対性がキャップ積で表現できることを実現した。彼らの理論はまだ有限セル複体に限定されていた。

1944 年、サミュエル・アイレンバーグは技術的な限界を克服し、特異ホモロジーおよびコホモロジーの現代的な定義を与えました。

1945 年、アイレンバーグとスティーンロッドは、以下で説明するホモロジーまたはコホモロジー理論を定義する公理を述べま​​した。1952 年の著書「代数的位相幾何学の基礎」で、彼らは既存のホモロジー理論とコホモロジー理論が実際にその公理を満たしていることを証明しました。

1946 年に、Jean Leray は層コホモロジーを定義しました。

1948年、エドウィン・スパニエはアレクサンダーとコルモゴロフの研究を基にしてアレクサンダー・スパニエコホモロジーを開発した。

層コホモロジーは特異コホモロジーの充実した一般化であり、単なるアーベル群よりも一般的な「係数」を許容します。位相空間X上のアーベル群Eのすべての層に対して、整数iに対するコホモロジー群H ⁱ ( X , E )が存在します。特に、アーベル群Aに関連付けられたX上の定数層の場合、結果として得られる群H ⁱ ( X , A )は、多様体Xまたは CW 複体 (任意の空間Xでは一致しません) に対する特異コホモロジーと一致します。1950 年代以降、層コホモロジーは、正則関数の層または正則関数の層の重要性もあって、代数幾何学と複素解析の中心的な部分になりました。

グロタンディークは、ホモロジー代数の言語で、層コホモロジーをエレガントに定義し特徴づけた。本質的な点は、空間Xを固定し、層コホモロジーをX上の層のアーベル圏からアーベル群への関数として考えることである。まず、 X上の層E をX上の大域切断のアーベル群、E ( X ) に取る関数から始める。この関数は左完全だが、必ずしも右完全ではない。グロタンディークは、層コホモロジー群を左完全関数E ↦ E ( X )の右導来関数として定義した。 ^[16]

この定義は、さまざまな一般化を示唆しています。たとえば、層の任意の複合体に係数を持つ位相空間Xのコホモロジーを定義できます。これは以前はハイパーコホモロジーと呼ばれていましたが、現在では通常単に「コホモロジー」と呼ばれます。この観点から、層コホモロジーは、X上の層の導来カテゴリからアーベル群への 関数のシーケンスになります。

広い意味では、「コホモロジー」は、アーベル圏の左完全関数の右導関数に対してよく使用され、「ホモロジー」は右完全関数の左導関数に対して使用されます。たとえば、環 R の場合、 Tor群Tor i R ₍ ^M , N )は、 R加群のテンソル積M ⊗ _R Nの左導関数である各変数の「ホモロジー理論」を形成します。同様に、Ext 群Ext ⁱ _R ( M , N ) は、 Hom 関数 Hom _R ( M , N )の右導関数である各変数の「コホモロジー理論」と見なすことができます。

層コホモロジーは、ある種の Ext 群と同一視できます。つまり、位相空間X上の層Eに対して、H ⁱ ( X , E ) は Ext ⁱ ( Z _X , E )と同型です。ここで、Z _{X は}整数Zに関連付けられた定数層を表し、 Ext はX上の層のアーベル圏で取られます。