鎖（代数トポロジー）

代数トポロジーでは、k鎖はセル複体のk個のセルの形式的な線形結合 です。単体複体（または立方体複体）では、k鎖はk個の単体（またはk個の立方体）の組み合わせですが、^{[ 1 ] [ 2 ] [ 3 ]}必ずしも連結しているとは限りません。鎖はホモロジーで使用され、ホモロジー群の要素は鎖の同値類です。

単体複体の場合${\displaystyle X}$グループ${\displaystyle C_{n}(X)}$の${\displaystyle n}$-連鎖${\displaystyle X}$次のように与えられます。

${\displaystyle C_{n}(X)=\left\{\sum \limits _{i}m_{i}\sigma _{i}|m_{i}\in \mathbb {Z} \right\}}$

どこ$\displaystyle \sigma _{i}}$単数形${\displaystyle n}$-単体${\displaystyle X}$. 要素は${\displaystyle C_{n}(X)}$必ずしも連結単体複体であるとは限らない。

積分は、鎖上の単体の積分を係数（通常は整数）で線形結合することによって定義されます。すべてのk鎖の集合は群を形成し、これらの群の列は鎖複体と呼ばれます。

連鎖の境界は、連鎖内の単体の境界の線形結合です。k連鎖の境界は (k − 1) 連鎖です。単体の境界は単体ではなく、係数が 1 または−1の連鎖であることに注意してください。したがって、連鎖は境界演算子による単体の閉包です。

例 1:パスの境界は、その端点の形式的な差です。それはテレスコープ和です。例として、1 鎖の場合${\displaystyle c=t_{1}+t_{2}+t_{3}\,}$地点からの経路${\displaystyle v_{1}\,}$指摘する${\displaystyle v_{4}\,}$、 どこ ${\displaystyle t_{1}=[v_{1},v_{2}]\,}$、 ${\displaystyle t_{2}=[v_{2},v_{3}]\,}$そして ${\displaystyle t_{3}=[v_{3},v_{4}]\,}$はその構成要素である 1-simplice である場合、

${\displaystyle {\begin{aligned}\partial _{1}c&=\partial _{1}(t_{1}+t_{2}+t_{3})\\&=\partial _{1}(t_{1})+\partial _{1}(t_{2})+\partial _{1}(t_{3})\\&=\partial _{1}([v_{1},v_{2}])+\partial _{1}([v_{2},v_{3}])+\partial _{1}([v_{3},v_{4}])\\&=([v_{2}]-[v_{1}])+([v_{3}]-[v_{2}])+([v_{4}]-[v_{3}])\\&=[v_{4}]-[v_{1}].\end{aligned}}}$

例２：三角形の境界は、辺の符号を反時計回りに境界をたどるように配置した、辺の形式的な合計である。

境界がゼロである鎖はサイクルと呼ばれます。別の鎖の境界となる鎖は境界と呼ばれます。境界はサイクルであるため、鎖は鎖複合体を形成し、その相同群（境界を法とするサイクル）は単体相同群と呼ばれます。

例3：原点で穴が開けられた平面は、単位円がサイクルではあるが境界ではないため、非自明な1-ホモロジー群を持つ。

微分幾何学では、鎖上の境界演算子と外微分との間の双対性は、一般ストークスの定理によって表現される。