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ニコラ・ブルバキ（フランス語: [ nikola buʁbaki ]）は、主にフランスの高等師範学校（ENS）の卒業生である数学者グループの集合的なペンネームです。1934年から1935年にかけて設立されたブルバキグループは、当初は解析学の新しい教科書を準備することを目的としていました。時が経つにつれ、このプロジェクトははるかに野心的なものとなり、現代純粋数学を扱うことを目的とした、ブルバキの名で出版された一連の教科書へと発展しました。このシリーズは総称して『数学の要素』 （Éléments de mathématique）と呼ばれ、グループの中心的な業績となっています。このシリーズで扱われているトピックには、集合論、抽象代数、位相幾何学、解析学、リー群、リー代数などがあります。
ブルバキは、第一次世界大戦によってフランスの数学者の世代が失われたことを受けて設立されました。その結果、若い大学教員は時代遅れの教科書を使わざるを得なくなりました。ストラスブール大学で教鞭をとっていたアンリ・カルタンは、同僚のアンドレ・ヴェイユに教材の不十分さを訴え、ヴェイユはパリで他の数学者たちと会合を開き、現代的な解析学の教科書を共同執筆することを提案しました。グループの創設メンバーはカルタン、クロード・シュヴァレー、ジャン・デルサルト、ジャン・デュードネ、ヴェイユでした。グループの初期には他にも短期間参加した人々がおり、メンバー構成は時代とともに徐々に変化してきました。元メンバーはグループでの過去の活動を公然と語りますが、ブルバキは現在のメンバー構成を秘密にするという慣習があります。
グループ名は、普仏戦争で大敗を喫するまで数々の軍事作戦で成功を収めた19世紀のフランスの将軍シャルル＝ドニ・ブルバキに由来する。[ 1 ]そのため、この名前は20世紀初頭のフランスの学生には馴染み深いものだった。ワイルは、上級生が教授になりすまして「ブルバキの定理」を発表したENSの学生のいたずらを覚えており、後にこの名前が採用された。
ブルバキ・グループは、『エレメンツ』の草稿作成と拡充を目的として、定期的に非公開の会議を開催している。テーマは小委員会に割り当てられ、草稿が議論され、出版にふさわしいと判断される前に全員一致の合意が必要となる。このプロセスは時間がかかり、労力を要するが、グループの厳密性と一般性に関する基準を満たす作品が生まれる。グループはまた、グループのメンバーと非メンバーによる定期的な講演シリーズである「ブルバキ・セミナー」とも関連しており、講演内容は文書として出版・配布されている。ブルバキはENSに事務所を構えている。[ 2 ]
ニコラ・ブルバキは20世紀の数学、特に『基礎』の巻が頻繁に出版された世紀半ばに大きな影響力を持っていた。このグループは、数学者の間では、その厳密な記述と、より広範で学際的な構造主義の概念に関連する数学的構造の概念を導入したことで知られている。[ 3 ] [ 4 ] [ 5 ]ブルバキの研究は、1960年代の初等数学教育の潮流である新数学に影響を与えた。グループは今も活動しているが、『基礎』の新巻の出版頻度が低いため、その影響力は低下したと考えられている。しかし、2012年以降、グループは5つの新しい（または大幅に改訂された）巻を出版しており、最新のものは2026年（位相ベクトル空間に関する2つの新しい章）である。さらに、少なくとも2つの巻が準備中であることが示されている。
シャルル＝ドニ・ソーター・ブルバキはナポレオン3世の時代に有能な将軍であり、クリミア戦争やその他の紛争で活躍した。しかし普仏戦争では、彼が指揮する東部軍がスイス国境を越えて撤退し、武装解除されるという大敗北を喫した。将軍は自殺を図ったが失敗に終わった。彼の死後、この劇的な敗北の物語はフランス国民の間で広く知られるようになった。[ 6 ] [ 7 ]
20世紀初頭、第一次世界大戦は、数学者や男子学生など、前線で戦死したあらゆる職業や社会階級のヨーロッパ人に影響を与えた。例えば、フラクタルの研究の先駆者であるフランスの数学者ガストン・ジュリアは、戦争中に鼻を失い、残りの人生、顔の患部に革のストラップを装着していた。ENSの学生の死は、フランスの数学界における失われた世代をもたらした。 [ 8 ]戦争で死亡したENSの数学学生（およびフランスの学生全般）の推定割合は、考慮される期間（1900年頃～1918年、特に1910年～1916年）と人口によって4分の1から2分の1に及ぶ。[ 9 ] [ 10 ]さらに、ブルバキの創設者アンドレ・ヴェイユは回顧録『数学者の修業』の中で、フランスとドイツは戦争中に知識人に対して異なるアプローチをとったと述べている。ドイツは若い学生や科学者を保護したが、フランスは平等主義のフランス文化のために彼らを前線に送り込んだ。[ 10 ]
1920年代には、ワイルや後にブルバキの創始者となる人々を含む、次世代の数学の学生がENSに通った。学生時代、ワイルは上級生のラウル・ユッソンが教授になりすまして数学の講義を行い、「ブルバキの定理：次のことを証明せよ…」という課題で締めくくったといういたずらを思い出した。ワイルはまた、1910年頃に学生が架空の貧しい国「ポルデヴィア」出身だと名乗り、一般の人々に寄付を募った同様のいたずらも知っていた[ 1 ] 。 [ 11 ] [ 12 ]ワイルは言語とインド文化に強い関心を持っており、サンスクリット語を学び、バガヴァッド・ギーターを読んだ。[ 13 ] [ 14 ] ENSを卒業し博士号を取得した後、ワイルはインドのアリガル・ムスリム大学で教鞭を執った。ワイルはインド滞在中、同僚の一人と権力闘争を繰り広げていた数学者のダモダル・コサンビと出会った。ワイルはコサンビに、同僚に自分の知識を誇示するために「ブルバキ」という人物に帰属する資料を使った論文を書くよう提案した。 [ 15 ]コサンビはこの提案を受け入れ、論文で議論されている資料を「革命中に毒殺された、あまり知られていないロシアの数学者D・ブルバキ」に帰属させた。これは、数学文献において、同名の「ブルバキ」に帰属する資料を使った最初の論文となった。 [ 16 ] [ 17 ] [ 18 ]ワイルのインド滞在は短かった。彼はアリガルの数学科を改革しようとしたが、成功しなかった。[ 19 ]大学当局はワイルを解雇し、空席となったポストに同僚のヴィジャヤラガヴァンを昇進させる計画を立てた。しかし、ワイルとヴィジャヤラガヴァンは互いに尊敬し合っていた。ヴィジャヤラガヴァンは、この騒動に加わるどころか辞職し、後にその計画をワイルに伝えた。[ 20 ]ワイルは別の教職を求めてヨーロッパに戻り、最終的にストラスブール大学に着任し、友人であり同僚のアンリ・カルタンと合流した。[ 21 ]
ストラスブールで共に過ごした間、ワイルとカルタンは微積分指導に利用できる教材が不十分であることについて、互いに頻繁に不満を漏らしていた。ワイルは回顧録『見習い時代』の中で、その解決策を次のように述べている。「1934年末のある冬の日、私は同志からの絶え間ない質問に終止符を打つ素晴らしいアイデアを思いついた。『私たちは5、6人の友人で、さまざまな大学で同じ数学カリキュラムを担当している』と、しばらくして彼に言った。『皆で集まって、これらの問題をきっぱりと解決しよう。そうすれば、私はこれらの質問から解放されるだろう』。その時、ブルバキが生まれたとは知らなかった。」[ 21 ]カルタンはこの記述を裏付けている。[ 22 ]
ブルバキ・コレクティブの最初の非公式会合は、1934年12月10日月曜日の正午にパリのカルチェ・ラタンにあるカフェ・グリルルームA.カプーラードで行われた。[ 23 ] [ 24 ] [ 25 ] [ 26 ] [ a ] 6人の数学者が出席した。アンリ・カルタン、クロード・シュヴァレー、ジャン・デルサルト、ジャン・デュードネ、ルネ・ド・ポッセル、アンドレ・ヴェイユである。グループのほとんどはパリ以外に拠点を置いており、ガストン・ジュリアの協力を得て準備されたジュリア・セミナーに出席するためにパリに来ていた。このセミナーでは、将来のブルバキ・メンバーや協力者数名が発表を行った。[ 28 ] [ 29 ] [ b ]グループは、フランスの大学における微積分教育を標準化する目的で、解析に関する論文を共同で執筆することを決定した。このプロジェクトは特に、グループがひどく時代遅れだと考えたエドゥアール・グルサのテキストに取って代わり、ストークスの定理の扱いを改善することを目的としていた。[ 25 ] [ 33 ] [ 34 ] [ 35 ]創設者たちはまた、ゲッティンゲン学派、特にヒルベルト、ネーター、BL ファン・デル・ヴェルデンの思想を取り入れたいという願望にも駆り立てられていた。さらに、第一次世界大戦後には、特にドイツとの競争において、フランスの数学を衰退から救うというある種の国家主義的な衝動があった。ディウドネがインタビューで述べたように、「自慢するつもりはないが、フランスの数学を絶滅から救ったのはブルバキだったと言える」[ 36 ]
ジャン・デルサルトは、提案されたプロジェクトの集団的な側面を特に好意的に捉え、そのような作業スタイルは、グループの作品を将来個人が著作権を主張する可能性から守ることができると指摘した。[ 33 ] [ 37 ] [ c ]さまざまなトピックが議論される中で、デルサルトはまた、分析の前提となる数学のすべてをゼロから扱い、可能な限り抽象的で公理的な用語で作業を開始することを提案した。 [ 39 ] [ 40 ]グループはこの考えに同意し、提案された作業のこの基礎領域は「抽象パケット」（Paquet Abstrait）と呼ばれた。[ 41 ] [ 42 ] [ 43 ]作業タイトルが採用され、グループは自らを「分析論に関する委員会」と称し、提案された作業は「分析論」（Traité d'analyse）と呼ばれた。[ 44 ] [ 45 ]全体として、このグループは1935年7月の最初の公式な設立会議の前に、A. カプーラードで10回の隔週の予備会議を開催した。[ 45 ] [ 46 ]この初期の期間には、ポール・デュブレイユ、ジャン・ルレイ、ショレム・マンデルブロイトが参加した。デュブレイユとルレイは翌年の夏までに会議を離れ、それぞれ新しい参加者であるジャン・クーロンとシャルル・エレスマンに交代した。[ 44 ] [ 47 ]
グループの公式設立会議は、1935 年 7 月 10 日から 17 日にかけてベス＝アン＝シャンデスで開催された。 [ 48 ] [ 49 ]公式設立時の会員は、1934 年 12 月 10 日の最初の昼食会に出席した 6 名と、クーロン、エーレスマン、マンデルブロイトであった。7 月 16 日、会員たちは、実りのない会議の退屈を紛らわすために散歩に出かけた。倦怠感の中、何人かは近くのパヴァン湖で裸で泳ぎ、「ブルバキ！」と繰り返し叫んだ。 [ 50 ]最初の公式会議の終わりに、グループは、ワイルらが回想した将軍といたずらにちなんで、自らを「ブルバキ」と改名した。[ 43 ] [ d ] 1935 年、グループは、自分たちの集団ペンネームに数学的な人格を確立するため、その名前で論文を発表することにも合意した。[ 48 ] [ 52 ]ファーストネームを決めなければならなかった。論文を発表するにはフルネームが必要だった。この目的のために、ルネ・ド・ポッセルの妻エヴリーヌがペンネームにニコラというファーストネームを「付け」、ブルバキの「名付け親」となった。[ 48 ] [ 53 ] [ 54 ] [ 55 ]これにより、今度は「彼」自身の名前で、ブルバキに帰属する資料を含む 2 つ目の論文を発表することが可能になった。[ 56 ]アンリ・カルタンの父で、同じく数学者でありグループを支援していたエリー・カルタンが、その論文を出版社に提出し、出版社はそれを受理した。[ 52 ]
ブルバキが設立された当時、ルネ・ド・ポッセルと妻のエヴリーヌは離婚手続き中だった。エヴリーヌは1937年にアンドレ・ヴェイユと再婚し、ド・ポッセルはその後しばらくしてブルバキを脱退した。この一連の出来事から、ド・ポッセルがグループを脱退したのは再婚が原因だったのではないかという憶測が生まれているが[ 57 ]、アンドレがエヴリーヌと結婚した後もド・ポッセルはブルバキで長年活動を続けていたとされているため、この説は歴史的に不正確である可能性もあると批判されている[ 58 ] 。
ブルバキの活動は第二次世界大戦中に著しく停滞したが、グループは存続し、後に繁栄した。ブルバキのメンバーの中にはユダヤ人もおり、そのためヨーロッパの特定の地域から特定の時期に逃亡を余儀なくされた。ユダヤ人であったヴァイルは、1939年の夏を妻のエヴェリンと共にフィンランドでラース・アールフォルスの客として過ごした。国境付近を旅行したため、冬戦争の勃発間近にフィンランド当局からソ連のスパイと疑われ、アンドレは後に逮捕された。[ 59 ]ある逸話によると、ヴァイルは処刑される予定だったが、ロルフ・ネヴァンリンナに彼の事件が何気なく言及されたことで、ネヴァンリンナがヴァイルの刑を減刑するよう求めたという。[ 60 ]しかし、この詳細の正確性は疑わしい。[ 61 ]ワイルは1941年に米国に到着し、その後1945年から1947年までサンパウロで再び教鞭を執り、1947年から1958年までシカゴ大学に定住し、最終的にはプリンストン高等研究所に移り、そこで残りのキャリアを過ごした。ワイルは戦後もブルバキ・コレクティブと連絡を取り続け、定期的にヨーロッパやグループを訪れたが、ブルバキへの関与のレベルは創設当時に戻ることはなかった。
ブルバキ派の二世メンバーであるローラン・シュワルツもユダヤ人で、ヴィシー政権下のフランスの田舎で数学教師として臨時の仕事を見つけた。シュワルツは村から村へと移動しながら、ナチスに捕まらないように行動を計画していた。[ 62 ]ある時、シュワルツはある村で一晩閉じ込められてしまった。帰宅するための交通手段がなかったためだ。その村には2軒の宿屋があった。快適で設備の整った宿屋と、暖房もなくベッドも悪い非常に貧しい宿屋だ。シュワルツは直感的に貧しい宿屋に泊まることにした。その夜、ナチスは良い宿屋を襲撃したが、貧しい宿屋は手つかずのままだった。[ 63 ]
一方、カトリック教徒のジャン・デルサルトは、1939年に音声偵察部隊の隊長として動員された。彼は部隊を率いてフランス北東部から南部へ撤退することを余儀なくされた。スイス国境付近を通過しているとき、デルサルトは兵士が「我々はブルバキの軍隊だ」と言うのを耳にした。[ 64 ] [ 65 ] 19世紀の将軍の撤退はフランス人には知られていた。デルサルトは偶然にも、この部隊の名前の由来となった人物の撤退と似たような撤退を率いていた。
第二次世界大戦後、ブルバキは活動計画を固め、生産的なルーティンを確立した。ブルバキは1950年代と1960年代に定期的に『エレメンツ』を刊行し、この時期に最大の影響力を享受した。 [ 66 ] [ 67 ]時が経つにつれ、創設メンバーは徐々にグループを離れ、ジャン＝ピエール・セールやアレクサンドル・グロタンディークなどの若い新メンバーが徐々に加わっていった。セール、グロタンディーク、ローラン・シュワルツは戦後、それぞれ1954年、1966年、1950年にフィールズ賞を受賞した。後のメンバーであるアラン・コンヌとジャン＝クリストフ・ヨッコもそれぞれ1982年と1994年にフィールズ賞を受賞した。[ 68 ]
後に科学賞を受け入れるようになった慣習は、創設者たちの見解とは対照的だった。[ 69 ] 1930年代、ワイルとデルサルトは、ノーベル物理学賞受賞者のジャン・ペランが提案したフランスの国家科学「メダル制度」に反対する嘆願書を提出した。ワイルとデルサルトは、そのような制度の導入は科学界における非建設的な些細な争いや嫉妬を増大させると考えた。[ 70 ]それにもかかわらず、ブルバキ研究グループは、通常の活動を支援するための政府助成金をペランに嘆願し、成功していた。 [ 71 ]創設者たちと同様に、グロタンディークも平和主義的な理由から賞に反対していた。グロタンディークは1966年にフィールズ賞を受賞したが、ソ連政府への抗議としてモスクワでの授賞式への出席を辞退した。[ 72 ] 1988年、グロタンディークは賞金を受け取る個人的な必要性がないこと、最近の関連成果がないこと、そして科学界全般に対する不信感を理由に、クラフォード賞をきっぱりと辞退した。 [ 73 ]
ユダヤ系アナキストの両親のもとに生まれたグロタンディークは、ホロコーストを生き延び、戦時中の教育が不十分だったにもかかわらず、フランスの数学界で急速に頭角を現した。[ 74 ]グロタンディークの教師の中にはブルバキの創設者も含まれており、彼はそのグループに加わった。グロタンディークが在籍していた間、ブルバキは基礎的アプローチに関して行き詰まりに達した。グロタンディークは、集合論ではなく圏論を理論的基盤としてグループの研究を再構築することを提唱した。この提案は最終的に却下された[ 75 ] [ 76 ] [ 77 ]。その理由の一つは、グループが既に複数の出版済み巻を含む、厳格な逐次発表の方針に固執していたためである。その後、グロタンディークは「怒って」ブルバキを去った。[ 35 ] [ 62 ] [ 78 ]この集団の伝記作家たちは、圏論の観点からやり直すことを拒んだブルバキの姿勢を、機会損失と評している。[ 62 ] [ 79 ] [ 80 ]しかし、ブルバキは2023年に圏論に関する書籍を現在準備中であると発表した（このセクションの最後の段落を参照）。
創設期、グループはパリの出版社ヘルマン社に『エレメンツ』の連載出版を依頼した。ヘルマン社は創設者の友人であるエンリケ・フレイマンが率いており、財政的リスクを承知の上でグループの企画出版を引き受けた。1970年代、ブルバキは著作権と印税の支払いをめぐってヘルマン社と長期にわたる法廷闘争に突入した。ブルバキ・グループは訴訟に勝利し、『エレメンツ』の共同著作権を保持したが、この争いによってグループの生産性は低下した。[ 81 ] [ 82 ]元メンバーのピエール・カルティエはこの訴訟をピュロスの勝利と表現し、「法廷闘争ではよくあることだが、両者とも敗訴し、弁護士が金持ちになった」と述べている。[ 62 ] 『エレメンツ』の後の版はマッソン社から出版され、現代版はシュプリンガー社から出版されている。[ 83 ] 1980年代から2000年代にかけて、ブルバキはごくまれにしか作品を発表しなかったため、1998年にル・モンド紙は同グループを「死んだ」と断言した。[ 84 ]
しかし、2012年にブルバキは、代数学の第8章の改訂版、代数トポロジーに関する新著の最初の4章、スペクトル理論に関する2巻（最初の巻は1967年版の拡張改訂版であり、後者は3つの新しい章で構成されている）とともに『原論』の出版を再開した。さらに、最新の2巻の本文では、 （代数トポロジーに関する本の後半部分に加えて）圏論とモジュラー形式に関する本が現在準備中であると発表している。[ 85 ] [ 86 ]
ブルバキは『エレメンツ』を拡張する目的で定期的に会議を開催しており、これらの会議はグループの活動の中心となっている。小委員会は特定の資料に関する草稿を作成するよう割り当てられ、草稿は後に会議で発表され、活発に議論され、再草稿される。資料が出版に受け入れられるとみなされるには、全員一致の合意が必要である。[ 88 ] [ 89 ] [ 90 ]特定の資料は数年にわたって6回以上の草稿を必要とする場合があり、中には完成に至らない草稿もある。[ 89 ] [ 91 ]そのため、ブルバキの執筆プロセスは「シシュポスの岩のように」と評されている。[ 90 ]この方法は時間がかかるものの、ブルバキが論文で優先した主要な事項の1つである、グループの数学的厳密性の基準を満たす最終成果物が得られる。ブルバキが厳密さを重視したのは、徹底した説明よりも自由な数学的直観の重要性を強調したアンリ・ポアンカレのスタイルへの反動であった。 [ e ]プロジェクトの初期には、ディウドネはグループの書記を務め、最終的に出版されたいくつかの最終草稿を執筆した。この目的のために、ディウドネは自身のスタイルではないが、グループ全体に受け入れられる資料を作成するために使用された非個人的な文体を採用した。 [ 92 ] [ 93 ]ディウドネは自身の作品のために個人的なスタイルを温存した。ブルバキの他のメンバーと同様に、ディウドネも自身の名前で資料を出版しており、[ 94 ]その中には、ブルバキの当初の意図に沿った、解析に特化した9巻からなる『解析の要素』も含まれている。
ブルバキの『原論』の最終稿のほとんどは、図版の使用を慎重に避け、テキストと数式のみに基づく形式的な表現を優先した。例外は、リー群とリー代数（特に第4章から第6章）の扱いであり、図やイラストが用いられた。この部分にイラストが取り入れられたのは、アルマン・ボレルによるものだった。ボレルは、フランス人が多数を占める集団の中で少数派のスイス人であり、「スイスの農民」と自嘲し、視覚的な学習はスイス人の国民性にとって重要だと説明した。[ 62 ] [ 95 ]作品にイラストが少ないことについて尋ねられた元メンバーのピエール・カルティエは、次のように答えた。
ブルバク派はピューリタンであり、ピューリタンは信仰の真理を絵画で表現することに強く反対していた。ブルバク派にはプロテスタントとユダヤ教徒が圧倒的に多かった。そして、フランスのプロテスタント、特にユダヤ教徒は精神的に非常に近いことはご存知だろう。
—ピエール・カルティエ[ 62 ]
会議は歴史的に静かな田舎で開催されてきた。[ 96 ]これらの場所は、活発で、時には白熱した議論が繰り広げられることとは対照的である。ローラン・シュワルツは、ワイルがカルタンの頭を風で叩いたというエピソードを報告している。ホテルのオーナーはこの出来事を見て、グループが解散すると思ったが、シュワルツによれば、「10分以内に平和が回復した」という。[ 97 ]ブルバキ内部の歴史的に対立的な議論スタイルは、新しいアイデアは秩序だった議論よりも対立の中で生まれる可能性が高いと信じていたワイルに一部起因している。[ 89 ] [ 97 ]シュワルツは別の例を挙げている。ディユドネは位相ベクトル空間が積分の前に作品に現れるべきだと断固として主張し、順番を逆にするよう提案する人がいると、彼は辞任すると大声で脅した。これはグループ内で内輪のジョークとなり、ロジェ・ゴドマンの妻ソニアは、その考えを知って会議に出席し、証拠を求めた。ソニアが会議に到着すると、あるメンバーが位相ベクトル空間の前に積分を置かなければならないと提案し、それがディウドネのいつもの反応を引き起こした。[ 97 ]
激しい議論が繰り広げられるという歴史的文化にもかかわらず、ブルバキは20世紀半ばに隆盛を極めた。ブルバキがこのような集団的かつ批判的なアプローチを維持できたことは「異例のこと」と評され[ 98 ] 、メンバー自身も驚いていた。創設者アンリ・カルタンの言葉を借りれば、「最終的な成果物が得られること自体が、我々には説明できない一種の奇跡である」[ 99 ] [ 100 ]。グループが存続できたのは、メンバーが個人的な意見の相違にもかかわらず、集団プロジェクトの重要性を強く信じていたからだと示唆されている[ 89 ] [ 101 ] 。グループが困難を克服したり、気に入ったアイデアを発展させたりしたとき、彼らは時折「精神が息づく」（l' esprit a soufflé）と言った。 [ 89 ] [ 102 ]歴史家のリリアン・ボーリューは、「精神」――それはアバターかもしれないし、行動中の集団精神かもしれないし、あるいはブルバキ「自身」かもしれない――は、グループがアイデンティティを形成し、仕事をするために用いた内部文化と神話の一部であったと指摘した。[ 103 ]
ユーモアは、ワイルが「ブルバキ」と「ポルデヴィア」が関わった学生のいたずらを思い出すところから始まり、グループの文化の重要な側面となっている。例えば、1939年にグループは「ベティ・ブルバキ」（ニコラの娘）と「H. ペタール」（H.「爆竹」または「ヘクター・ペタール」）という「ライオンハンター」の結婚の告知を発表した。[ 104 ]ヘクター・ペタール自体はペンネームだが、元々はブルバキのメンバーが作ったものではない。ペタールというニックネームは、ブルバキ計画を知っていたラルフ・P・ボアズ、フランク・スミシーズ、その他のプリンストン大学の数学者たちが考案したもので、彼らに触発されたプリンストン大学の数学者たちは「ライオン狩りの数学」に関する記事を発表した。ボアズとスミシーズに会った後、ワイルはいくつかの数学的な駄洒落を含む結婚の告知を作成した。[ 105 ]ブルバキの社内報『ラ・トリブ』には、特定の会議を説明するために、「老いぼれの特別会議」（30歳以上の人は皆老いぼれと見なされていた）や「ロバの自動車化会議」（数学的証明やプロセスのルーチン的な展開を説明するために使用された表現）などのユーモラスな副題が付けられることがあった。[ 106 ] [ 107 ]
1940年代から1950年代にかけて、[ 108 ] [ 109 ]アメリカ数学会はブルバキから個人会員の申請を受け取った。JRクラインは、この団体を集合体と理解していたため、申請を拒否し、機関会員として再申請するよう勧めた。これに対し、ブルバキは、ラルフ・ボアスは実在の人物ではなく、ボアスが所属していたMathematical Reviewsの編集者たちの集合的な偽名であるという噂を流した。ボアスを標的にした理由は、彼がそのグループが秘密主義にそれほど厳格ではなかった初期の頃から知っていて、ブリタニカ百科事典の記事で彼らを集合体として記述していたからである。[ 110 ] 1968 年 11 月、セミナーの 1 つです中に、ニコラ・ブルバキの偽の死亡記事が発表された。[ 111 ] [ 112 ]
このグループは内部使用のために「Bourbaki」という言葉のいくつかのバリエーションを開発した。名詞「Bourbaki」はグループ自体を指す場合もあれば、個々のメンバーを指す場合もある。例えば、「アンドレ・ヴェイユはBourbakiだった」のように。「Bourbakist」はメンバーを指す場合にも使われることがあるが[ 35 ]、仲間、支持者、愛好家を指す場合もある[ 113 ] [ 114 ] 。「bourbakize」とは、質の低い既存のテキストを取り上げて編集プロセスを通じて改善することを意味した[ 91 ]。
ブルバキのユーモア文化は、グループの社会的結束と存続能力において重要な要素であり、白熱した議論の緊張を和らげる役割を果たしていると評されている。[ 115 ] 2018年から2022年にかけて、 「Betty_Bourbaki」というアカウントで登録されたTwitterアカウントが、グループの活動に関する最新情報を定期的に提供していた。[ 116 ]
ブルバキの研究には、一連の教科書、一連の印刷された講義ノート、学術論文、および内部ニュースレターが含まれる。教科書シリーズ『Éléments de mathématique 』（数学の要素）は、このグループの中心的な研究である。ブルバキ・セミナーは、グループの主催で定期的に開催される講演シリーズであり、講演内容は講義ノートとしても出版されている。ブルバキの名義で学術論文が発表されており、グループは現メンバーと元メンバーに配布される内部ニュースレター『La Tribu 』 （部族）を発行している。[ 117 ] [ 118 ]
ブルバキは、彼以前の人々と同じように、厳密な形式的規則に基づく明快な演繹を用いて数学を「形式化された言語」で定義することを主張した。20世紀初頭にバートランド・ラッセルとアルフレッド・ノース・ホワイトヘッドがこのアプローチを適用したとき、彼らは通常1+1=2と略される命題を確立する前に、700 ページ以上を形式記号で埋め尽くしたことで有名である。ブルバキの形式主義は、 1 という数を定義するだけで約 4.5 兆個の記号を必要とするため、これさえもはるかに凌駕する。[ 119 ]
『エレメンツ』の内容は、主要な議論のトピックをまとめた書籍、個々の物理的な書籍である巻、章、そして結果の要約、歴史的注釈、その他の詳細に分かれています。『エレメンツ』の各巻は、複雑な出版の歴史をたどってきました。新版のために内容が改訂され、本来の論理的な順序とは逆の順序で時系列順に出版され、後の巻ではグループ化や分割方法が変更され、英語に翻訳されました。例えば、代数学に関する第2巻は、当初はフランス語で8巻で出版されました。1942年の最初の巻は第1章のみ、1980年の最後の巻は第10章のみでした。この内容は後に5巻にまとめられ、第1巻に第1～3章、第2巻に第4～7章、そして第3～5巻にそれぞれ第8～10章が収録されました。[ 117 ]ブルバキの代数学の英語版は、第1～3章、第4～7章、第8章からなる3巻の翻訳で構成されており、第9章と第10章は2026年現在英語では入手できません。
ブルバキの創始者たちが『数学の基礎』の執筆を始めたとき、彼らは当初それを「解析に関する論文」として構想し、提案された作品には同じ名前の仮題（『解析論』）が付けられていた。冒頭部分は解析以前の数学の基礎を包括的に扱うことになっており、「抽象パケット」と呼ばれていた。時が経つにつれ、メンバーたちはこの提案された「冒頭部分」を発展させ、それが数巻に渡り、集合論、抽象代数、位相幾何学を扱う作品の主要部分を構成するまでになった。プロジェクトの範囲が当初の目的をはるかに超えて拡大すると、仮題『解析論』は廃止され、 『数学の基礎』が採用された。[ 43 ]珍しい単数形の「数学」は、ブルバキの数学の統一性に対する信念を暗示することを意図していた。[ 121 ] [ 122 ] [ 123 ] 『エレメンツ』 の最初の 6 巻は、作品の前半を表しており、番号が順番に付けられ、論理的に順序付けられています。与えられた命題は、以前の結果に基づいてのみ確立されます。[ 124 ]この作品の前半には、「解析の基本構造」 という副題が付けられており、[ 117 ] [ 125 ] [ 126 ]確立された数学 (代数学、解析学) をグループのスタイルで扱っています。作品の後半は、番号のない巻で構成されており、現代の研究分野 (リー群、可換代数) を扱っています。各巻は前半を共通の基礎として前提としていますが、互いに依存していません。この作品の後半は、より新しい研究トピックで構成されており、対応する副題はありません。
ヘルマンが出版した『エレメンツ』の各巻は、出版順に索引付けされ、大著の分冊である「ファシクル」と呼ばれていました。一部の巻は、通常の数学教科書にあるような定義、証明、演習問題で構成されておらず、証明なしで特定のトピックに関する結果の要約のみが含まれていました。これらの巻は「ファシクル・ド・レズルタ」と呼ばれ、その結果、「ファシクル」はヘルマン版の巻を指す場合もあれば、作品の「要約」セクションのいずれかを指す場合もあります（例えば、「ファシクル・ド・レズルタ」は「結果の要約」と訳され、「結果の分冊」ではなく、特定の巻ではなく内容を指しています）。[ f ]ブルバキの『素論』で最初に出版されたのは、1939年に出版された『集合論の結果の要約』でした。 [ 62 ] [ 117 ] [ 129 ]同様に、この著作の後期の書籍の一つである『微分多様体と解析多様体』は、結果の要約の2巻のみで構成されており、内容の章は出版されていませんでした。
『エレメンツ』の続編は、1980年代と1990年代には散発的に出版された。 1983年に『可換代数』（第8章～第9章）が出版されたが、1998年に同書の第10章が出版されるまで、他の巻は出版されなかった。2010年代には、ブルバキは執筆活動を活発化させた。 2012年には『代数』第8章の改訂増補版が出版され、2016年には『代数トポロジー』を扱った新刊の最初の4章が出版され、2019年には『スペクトル理論』の改訂増補版の最初の2章が出版され、さらに2023年には3つの（全く新しい）章が出版された。2026年には『位相ベクトル空間』の2つの新しい章が出版された。
ブルバキ神学校は1948年から定期的に開催されており、講演は非会員と会員によって行われています。2026年現在、ブルバキ神学校は、記録された講演を1000回以上行っており、それらは単純な数字で時系列順に示されています。[ 138 ] 1999年6月にジャン＝ピエール・セールがリー群をテーマに講演を行った時点で、このシリーズで行われた講演の総数は864回で、印刷物にして約1万ページに相当します。[ 139 ]
数学文献には、ブルバキに帰属する内容や著者名を含む論文がいくつか掲載されている。しかし、『エレメンツ』とは異なり、それらは通常、個々のメンバーによって書かれており[ 117 ]、通常のグループ合意のプロセスを経て作成されたものではない。それにもかかわらず、ジャン・デュードネのエッセイ「数学のアーキテクチャ」は、ブルバキのマニフェストとして知られるようになった。[ 140 ] [ 141 ]デュードネは、数学の過度の専門化の問題に取り組み、数学（数学とは対照的に）の固有の統一性に反対し、共通の特徴を示すために複数の分野に適用できる有用なツールとして数学的構造を提案した。[ 142 ]この考えを説明するために、デュードネは算術と幾何学の3つの異なるシステムを記述し、それらすべてが特定の種類の（代数的）構造である群の例として記述できることを示した。[ 143 ]ディユドネは、公理的方法を「数学のテイラーシステム」と表現した。それは、問題を効率的に解決するために使用できるという意味である。[ 144 ] [ h ]このような手順では、関連する構造を特定し、与えられた構造に関する確立された知識を目の前の特定の問題に適用する必要がある。[ 144 ]
ラ・トリブは、ブルバキの内部ニュースレターで、現会員と元会員に配布されています。ニュースレターは通常、最近の会議や活動をユーモラスで非公式な方法で記録しており、時には詩も含まれています。[ 145 ]会員のピエール・サミュエルは、数年間ニュースレターの物語部分を執筆しました。[ 146 ]ラ・トリブの初期版と関連文書は、ブルバキによって公開されています。[ 31 ]
歴史家のリリアン・ボーリューは、ラ・トリビュとブルバキの他の著作を調査し、グループのユーモアと私的な言葉遣いを、グループとその活動方法に特有の「記憶の芸術」と表現した。[ 147 ]グループの秘密主義と非公式な組織のため、個々の記憶は断片的に記録されることがあり、他のメンバーにとって重要でない場合もある。[ 148 ]一方で、メンバーの大半がフランス人でENS出身であること、グループの初期の頃の逸話や成功談は、グループのアイデンティティの源泉となる共通の文化と神話を生み出している。ラ・トリビュは通常、会議に出席したメンバーと、出席した訪問者、家族、その他の友人をリストアップする。場所や地元の「小道具」（車、自転車、双眼鏡など）のユーモラスな描写も、記憶術として役立つことがある。[ 106 ]
2000年現在、ブルバキには「約40人」のメンバーがいる。[ 149 ]歴史的に見ると、グループのメンバー数は常に約10人[ 150 ]から12人[ 62 ]であったが、設立当初は短期間（かつ公式に）9人に制限されていた。[ 45 ]ブルバキのメンバー構成は世代という観点から説明されている。
ブルバキは常に非常に小規模な数学者グループであり、通常は12人程度であった。その第一世代は、1934年にグループを創設した創立者たち、すなわちワイル、カルタン、シュヴァレー、デルサルト、ド・ポッセル、デュードネであった。その後、グループに加わる者もいれば、脱退する者もいたため、数年後には約12人となり、その人数はほぼ一定に保たれた。ローラン・シュワルツは戦時中にブルバキに加わった唯一の数学者であったため、彼の世代は中間世代とみなされている。戦後、ジャン＝ピエール・セール、ピエール・サミュエル、ジャン＝ルイ・コズル、ジャック・ディクスミエ、ロジェ・ゴドマン、サミー・アイレンベルクといった多くのメンバーが加わった。これらの人々はブルバキの第二世代を構成した。1950年代には、第三世代の数学者たちがブルバキに加わった。これらの人物には、アレクサンドル・グロタンディーク、フランソワ・ブリュア、セルジュ・ラング、アメリカの数学者ジョン・テイト、ピエール・カルティエ、スイスの数学者アルマン・ボレルなどが含まれる。[ 62 ] [ 151 ]
最初の3世代の後、現在の参加者を除いて約20名のメンバーがいました。ブルバキは現在のメンバーを秘密にするという慣習があり、これはブルバキのペンネームの下での集団的かつ統一された努力として作品が提示され、特定の著者に帰属しないようにするためです（著作権や印税の支払いなどの目的のため）。この秘密主義は、通常の活動を妨げる可能性のある望ましくない注目を避けるためでもあります。しかし、元メンバーは脱退時にブルバキの内部慣行について自由に語ります。[ 62 ] [ 152 ]
入会希望者は会議に招待され、モルモットのような扱いを受ける。これは、新入会員の数学的能力を審査するためのプロセスである。[ 62 ] [ 153 ]グループと入会希望者の間で合意が得られれば、入会希望者は最終的に正会員となる。[ i ]このグループには年齢制限があり、現役会員は50歳前後で引退することが期待されている。[ 62 ] [ 90 ] 1956年の会議で、カルタンはワイルからの手紙を読み上げた。その手紙には、創設メンバーの「段階的な消滅」が提案されており、若いメンバーがブルバキの運営の全責任を負うことを余儀なくされていた。[ 35 ] [ 158 ]この規則により、1958年までに人員が完全に交代したとされている。 [ 53 ]しかし、歴史家のリリアン・ボーリューはこの主張を批判している。彼女は、この規則を文書で確認した記録は一度も見つけたことがないと報告しており、[ 159 ]例外があったことを示唆している。[ 160 ]年齢制限は、創設者たちが、このプロジェクトが数学的に最も優れた能力を持つ人々によって運営され、無期限に継続されるべきであるという意図を表していると考えられている。数学界では、数学者は若い頃に最高の業績を上げるという広く信じられている考えがある。[ 158 ] [ 161 ]正会員の間には公式な階層はなく、全員が平等に活動し、会議の進行をいつでも中断したり、提示された資料に異議を唱えたりすることができる。しかし、アンドレ・ヴェイユは創設期には「同輩中の第一人者」と評され、一定の敬意を払われていた。[ 162 ]一方で、このグループは、年長の会員にもっと敬意を払うべきだという考えを揶揄したこともある。[ 163 ]
ブルバキ会議には、メンバーの家族、友人、訪問中の数学者、およびグループの他の非メンバーも参加している。[ j ]ブルバキには女性メンバーがいたことは知られていない。[ 90 ] [ 150 ]
ブルバキは20世紀の数学界に大きな影響を与え、人文科学や芸術にも学際的な影響を与えたが、後者への影響の程度については議論の余地がある。このグループは、その発表方法、研究スタイル、そして数学的テーマの選択に関して、賞賛と批判の両方を受けてきた。
ブルバキは、現在も使用されているいくつかの数学的記法を導入しました。ワイルはノルウェー語のアルファベットの文字Øを空集合∅を表すために使用しました。[ 173 ]この記法は、集合論の結果の要約で初めて登場し、[ 174 ]現在も使用されています。特定の性質を満たす関数を指すために、単射、全射、全単射という言葉が導入されました。 [ 175 ] [ 176 ]ブルバキは、特定の幾何学的対象に対して、「平行多面体」や「超球体」とは対照的に、パヴェ（舗装石）やブール（球）という簡単な言葉を使用しました。[ 177 ]同様に、位相ベクトル空間の扱いにおいて、ブルバキは、凸で、バランスが取れていて、吸収的で、閉じている集合を樽と定義しました。[ 178 ]このグループは、ワイン樽の形状が数学的対象の特性を典型的に表していると信じ、この定義を誇りに思っていた。[ 179 ] [ 180 ]ブルバキはまた、特に難しい部分を示すために、テキストの余白に「危険な曲がり」記号☡を使用した。ブルバキは、 Élémentsの連載が頻繁に出版された1950年代と1960年代に最も大きな影響力を持った。
ブルバキは、人類学や心理学を含む他の分野にも学際的な影響を与えた。この影響は、人文科学における構造主義の思想体系の中でのものであり、構造主義は、対象そのものよりも対象間の関係性を重視するもので、他のフランスの知識人によってさまざまな分野で追求されてきた。1943年、アンドレ・ヴェイユはニューヨークで人類学者のクロード・レヴィ＝ストロースと出会い、二人は短期間の共同研究を行った。レヴィ＝ストロースの依頼により、ヴェイユは群論に基づく数学モデルを用いて、オーストラリア先住民社会の4つの階級の人々の結婚規則を記述した短い付録を書いた。[ 3 ] [ 181 ]その結果は、レヴィ＝ストロースの『親族関係の基本構造』の付録として出版された。この著作は、人間の文化における家族構造と近親相姦のタブーを考察したものである。[ 182 ] 1952年、ジャン・デュードネとジャン・ピアジェは、数学的および精神的構造に関する学際的な会議に参加した。デュードネは、ブルバキのプロジェクトの観点から、数学的な「母なる構造」、すなわち構成、近傍、および順序について説明した。[ 183 ]その後、ピアジェは子供の精神過程について講演し、自分が説明した心理学的概念は、デュードネが説明した数学的概念と非常によく似ていると考えた。[ 184 ] [ 185 ]ピアジェによれば、二人は「互いに感銘を受けた」という。[ 186 ]精神分析医のジャック・ラカンは、ブルバキの共同作業スタイルを気に入り、心理学における同様の集団を提案したが、このアイデアは実現しなかった。[ 187 ]
ブルバキはポスト構造主義の哲学者たちにも引用された。ジル・ドゥルーズとフェリックス・ガタリは共著『アンチ・オイディプス』で資本主義を批判した。著者らは、ブルバキが（真理を確立する目的で）公理的方法を用いたことを、経済効率を追求する経営プロセスに対する明確な反例として挙げた。著者らはブルバキの公理系について「テイラー体系を形成しない」と述べ、デュドネが『数学の建築』で用いた表現を逆転させた。[ 144 ] [ 188 ]ジャン＝フランソワ・リオタールは『ポストモダンの条件』で、「知識の正当化」、つまり言明が妥当であると受け入れられるプロセスを批判した。リオタールは例として、ブルバキを、与えられた規則体系の中で知識を生み出す集団として挙げた。[ 189 ] [ 190 ]リオタールは、ブルバキの階層的な「構造主義的」数学を、ルネ・トムのカタストロフィー理論とブノワ・マンデルブロのフラクタルと対比させ、[ r ]後者の「ポストモダン科学」を好むと表明した。後者は「フラクタル、カタストロフィー、そして実用的なパラドックス」によって数学を問題化していた。[ 189 ] [ 190 ]
伝記作家のアミール・アツェルは20世紀半ばにおけるブルバキの他分野への影響を強調したが、モーリス・マシャールはブルバキの影響に関する主張を次のように控えめに述べている。
ブルバキの構造は当時の社会科学の会議や出版物でしばしば言及されたが、これらの学問分野の発展に実際に役割を果たしたとは言えないようだ。フランスの構造主義運動におけるブルバキの役割を分析した科学史家のデイヴィッド・オービンは、ブルバキの役割は「文化的なコネクター」であったと考えている。[ 192 ] オービンによれば、ブルバキは数学以外の使命を持っていなかったが、彼のグループは当時の様々な文化運動を結びつける一種の架け橋となった。ブルバキは概念と構造について、哲学者や社会科学者がそれぞれの学問分野において、また異なる知識領域間の架け橋として不可欠だと考えた、簡潔で比較的正確な定義を提供した。こうしたつながりは表面的なものであったにもかかわらず、ブルバキを含む様々な構造主義思想の学派は互いに支え合うことができた。したがって、これらの学派が1960年代後半に同時に衰退したことは偶然ではない。
数学そのものに対する「構造主義」の影響も批判された。数学史家のレオ・コリーは、ブルバキの数学的構造の使用は『素論』の中では重要ではなく、 『集合論』で確立され、その後はほとんど引用されていないと主張した。[ 197 ] [ 198 ] [ 199 ] [ 200 ]コリーは、ブルバキが提唱した数学の「構造的」見解を、学問分野に関する概念である「知識のイメージ」と表現し、学問分野自体の実際の科学的成果を指す「知識体系」の項目とは対照的であると述べた。[ 198 ]
ブルバキは芸術にも影響を与えた。文学集団ウリポは、ブルバキの創設と似た状況で1960年11月24日に設立され、メンバーは当初レストランで会合を開いた。ウリポのメンバーの中には数学者もいたが、グループの目的は言語で遊ぶことで実験的な文学を創造することであった。ウリポは、 S+7法などの数学に基づいた制約のある執筆技法を頻繁に用いた。ウリポのメンバーであるレイモン・クノーは、 1962年にブルバキの会議に出席した。[ 185 ] [ 201 ]
2016年、匿名の経済学者グループが共同で、American Economic Reviewに掲載された論文の著者と編集者による学術的不正行為を主張するメモを作成した。[ 202 ] [ 203 ]このメモは、ニコラ・ブルバキに敬意を表して、ニコラ・ベアバキという名前で発表された。[ 204 ]
2018年、アメリカの音楽デュオ、トゥエンティ・ワン・パイロッツは『トレンチ』というコンセプトアルバムをリリースした。アルバムのコンセプトは、9人の「司教」によって統治される架空の都市「デマ」であり、そのうちの1人の司教はニコラ・ブルバキの略称である「ニコ」という名前だった。もう1人の司教はアンドレという名前で、これはアンドレ・ヴェイユを指している可能性がある。アルバムのリリース後、「ニコラ・ブルバキ」のインターネット検索が急増した。Øはデュオのブランディングに見られ、「危険な曲がりのシンボル」は曲「オーバーコンペンセイト」で言及されている。[ 35 ] [ u ]
ブルバキの業績は一部の数学者から高く評価されている。エミール・アルティンは書評の中で、『原論』を概ね肯定的に評している。
現代は、まさに記念碑的な作品の創造を目の当たりにしている。それは、現代数学の全体像を網羅した解説である。しかも、この解説は、数学の様々な分野間の共通のつながりが明確に示され、全体を支える枠組みが短期間で陳腐化することなく、新たなアイデアを容易に取り込むことができるように構成されている。
—エミール・アルティン[ 131 ]
『エレメンツ』の巻の中でも、ブルバキのリー群とリー代数に関する著作は「素晴らしい」と評価されており[ 193 ]、この分野の標準的な参考書となっている。特に、元メンバーのアルマン・ボレルは、第4章から第6章までの巻を「ブルバキの最も成功した著作の1つ」と評している[ 206 ] 。この部分の著作の成功は、この分野の第一人者がブルバキのメンバーであった時期にこれらの本が執筆されたことに起因するとされている[ 62 ] [ 207 ] 。
ジャン＝ピエール・ブルギニョンはブルバキ神学校に感謝の意を表し、その講義で多くのことを学び、印刷された講義ノートを定期的に参照したと述べた。[ 208 ]また、彼は『素質』に「素晴らしく巧妙な証明がいくつか含まれている」と称賛した。 [ 209 ]
ブルバキは、元メンバーを含む数人の数学者からさまざまな理由で批判されてきた。批判の内容には、『エレメンツ』の中で特定のトピックを他のトピックを犠牲にして提示したこと、[ v ]特定のトピックの提示方法が気に入らなかったこと、グループの作業スタイルが気に入らなかったこと、そして特に1950年代と1960年代のグループの最も生産的な時期に、ブルバキのプロジェクトとその書籍にエリート主義的な考え方が見られたことが挙げられている。
ブルバキによる「エレメンツ」に関する審議の結果、いくつかのテーマが盛り込まれた一方で、取り上げられなかったテーマもあった。1997年のインタビューで、「エレメンツ」から除外されたテーマについて尋ねられた元メンバーのピエール・カルティエは次のように答えた。
基礎を超えた分析は基本的に存在しない。偏微分方程式についても、確率論についても何も触れられていない。組み合わせ論についても、代数トポロジーについても、具体的な幾何学についても何も触れられていない。そして、ブルバキは論理学を真剣に検討したことは一度もない。ディウドネ自身も論理学に強く反対していた。ブルバキのテキストには、数理物理学に関連するものは一切含まれていない。
—ピエール・カルティエ[ 62 ]
ブルバキは数学を基礎から扱うことを決意していたが、最終的に集合論で解決したこのグループにはいくつかの問題があった。ブルバキのメンバーは論理学者ではなく数学者であったため、このグループは数理論理学にあまり関心を持っていなかった。[ 91 ]ブルバキのメンバー自身が集合論に関する著書について述べたように、「苦痛を伴い、喜びもなく書かれたが、やらなければならなかった」。[ 212 ]ディウドネは別のところで、数学者の95パーセントは数理論理学に「全く関心がない」と個人的に述べている。[ 213 ]これに対し、論理学者のアドリアン・マティアスは、ブルバキの基礎的枠組みがゲーデルの結果を考慮に入れていないことを指摘し、厳しく批判した。 [ 214 ] [ 215 ]
ブルバキはまた、具体的な例よりも抽象化を重視した、初等・中等レベルの西洋の数学教育における失敗に終わった改革である新数学にも影響を与えた[ 216 ]。20世紀半ば、現代経済のために数学的にリテラシーのある労働力を育成し、ソビエト連邦と競争する必要性から、基礎数学教育の改革が推進された。フランスでは、これがアンドレ・リヒネロヴィッチが委員長を務め、当時および元ブルバキのメンバーも含まれていた1967年のリヒネロヴィッチ委員会につながった。ブルバキのメンバーは以前に（そして個別に）大学レベルの数学教育を改革していたが、初等・中等レベルでの新数学の実施には直接関与していなかった。新数学の改革は、生徒と教師の両方にとって理解できない教材を生み出し、低学年の生徒の認知的ニーズを満たせなかった。この改革の試みは、ディウドネや、ブルバキの創設メンバーの一人であったジャン・ルレイによって厳しく批判された。[ 217 ]フランスの数学者以外にも、フランスの改革はソ連生まれの数学者ウラジーミル・アーノルドからも厳しい批判を受けた。アーノルドは、モスクワで学生や教師をしていた頃、数学の教育は解析学と幾何学にしっかりと根ざしており、古典力学の問題と密接に結びついていたため、フランスの改革はソ連の科学教育を模倣しようとする正当な試みにはなり得ないと主張した。1997年、パリで開催された数学教育に関する会議で講演した際、彼はブルバキについて「真の数学者は結託しないが、弱い者は生き残るために結託する必要がある」と述べ、ブルバキが「超抽象性」で結束したことは、19世紀に反ユダヤ主義で結束した数学者グループに似ていると示唆した。[ 218 ]
ディウドネは後に、ブルバキの成功がフランスにおける純粋数学への偏愛を助長し、応用数学を犠牲にしたことを悔やんだ。インタビューで彼はこう語っている。「ポアンカレ以降40年間、フランスには本格的な応用数学は存在しなかったと言えるでしょう。純粋数学への偏愛さえありました。才能のある学生を見つけると、『純粋数学を専攻すべきだ』と言うのです。一方で、平凡な学生には、『彼にできるのはそれだけだ！』と考えながら応用数学を勧めるのです。…実際は正反対なのです。」純粋数学で優れた研究ができるようになるまでは、応用数学で優れた研究はできない。」[ 219 ]クロード・シュヴァレーはブルバキ内部のエリート主義的な文化を認め、「他の数学者に対する我々の優越性の絶対的な確信」と表現した。[ 91 ]アレクサンダー・グロタンディークもブルバキ内部のエリート主義的な考え方を認めた。[ 77 ]一部の数学者、特に幾何学者や応用数学者は、ブルバキの影響が息苦しいと感じていた。[ 220 ] 1958年にブノワ・マンデルブロが米国に移住することを決めたのは、フランスにおけるブルバキの影響から逃れたいという願望が動機の一つであった。[ 221 ]
『基礎』に対するいくつかの関連する批判は、その対象読者と提示の意図に関するものでした。『基礎』の各巻は、読者への注記から始まり、このシリーズは「数学を最初から取り上げ、完全な証明を与える」こと、そして「我々が選んだ説明方法は公理的かつ抽象的であり、通常は一般から特殊へと進む」ことを述べています。[ 222 ]冒頭の言葉とは裏腹に、ブルバキが想定していた読者は、数学の完全な初心者ではなく、数学の概念に精通している学部生、大学院生、教授でした。[ 223 ]クロード・シュヴァレーは『基礎』は「初心者には役に立たない」と述べ、 [ 224 ]ピエール・カルティエは「誤解は、これが誰にとっても教科書になるべきだということだった。それが大きな失敗だった」と明らかにしました。[ 62 ]
この著作は二つの部分に分かれている。前半部分「解析の基礎構造」では確立された主題を扱っているのに対し、後半部分では可換代数やスペクトル理論といった現代の研究分野を扱っている。この著作の区分は、論文の意図における歴史的な変化と関連している。「基礎」内容は定理、証明、演習問題、および関連する解説で構成されており、数学の教科書によくある内容である。このような構成にもかかわらず、前半は独創的な研究として書かれたのではなく、確立された知識を再構成した形で書かれた。この意味で、『エレメンツ』の前半は教科書シリーズというより百科事典に近いものであった。カルティエが述べたように、「多くの人が、本書に書かれている通りに教えるべきだと考えていたことが誤解だった。ブルバキの最初の本は数学の百科事典と考えることができる…それを教科書と考えるなら、それは大失敗だ。」[ 62 ]
『エレメンツ』前半における厳格で秩序だった内容の提示は、その後の追加の基礎となることを意図していた。しかし、現代の数学研究の発展は、ブルバキの組織的枠組みに適応するのが難しいことが判明している。この困難さは、進行中の研究の流動的で動的な性質に起因するとされており、新しいものであるため、確定しておらず、完全に理解されていない。[ 193 ] [ 225 ]ブルバキのスタイルは、パラダイムシフトによって取って代わられた特定の科学的パラダイムとして説明されている。例えば、イアン・スチュワートは、ブルバキのシステムに依存しないトポロジーの例として、ヴォーン・ジョーンズの結び目理論における斬新な研究を挙げている。 [ 226 ]ブルバキの影響力は時間とともに低下しており、[ 226 ]この低下は、圏論などの特定の現代的なトピックがこの論文に含まれていないことにも一部起因している。[ 79 ] [ 80 ]
複数の批判が、この集団のプロジェクトの欠点を指摘している一方で、その強みを指摘しているものもある。ブルバキは、当初の目的である現代数学に関する徹底的な論文を発表するという目標を達成したという意味で、 「自らの成功の犠牲者」であった[ 193 ] 。 [ 227 ] [ 228 ] [ 229 ]これらの要因から、伝記作家のモーリス・マシャールは、ブルバキに関する記述を次のように締めくくっている。
このような事業は、その規模、熱意と無私、そして強い集団性において賞賛に値する。いくつかの過ちはあったものの、ブルバキは「人間の精神の尊厳」に少なからず貢献した。スポーツと金銭が文明の大きな偶像となっている時代において、これは決して小さな美徳ではない。
—モーリス・マシャール[ 230 ]
その他の数学者の集合的なペンネーム
{{cite web}}: CS1 maint: bot: 元の URL の状態が不明です (リンク)要約. Bourbaki は、数 1 の定義が数万個の記号に及ぶと示唆している。我々は、これはかなり過小評価であり、記号の真の数はタイトルにある数であり、式全体を曖昧さなくするために必要な記号間のリンク 1 179 618 517 981 は含まれていないことを示す。
