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地形、地勢、または構築された線の勾配（米国式）または傾斜（英国式）（傾斜、傾斜、主落差、ピッチ、または上昇とも呼ばれる）は、その表面の水平面に対する仰角、またはその接線のいずれかです。これは傾斜の特殊なケースであり、ゼロは水平を示します。数値が大きいほど、「傾斜」の度合いが高い、または急であることを示します。多くの場合、傾斜は「上昇」と「水平距離」の比、または分数（「上昇÷水平距離」）として計算されます。ここで、水平距離は水平距離（傾斜に沿った距離ではない）、上昇は垂直距離です。
峡谷や丘陵地、小川や川岸、河床などの既存の地形の傾斜はしばしば「勾配」と表現されますが、一般的に「勾配」という言葉は、道路、造成地、屋根の勾配、鉄道、水道橋、歩行者や自転車の通行路など、人工的に作られた表面に対して用いられます。勾配は、縦方向の勾配、または垂直な横断勾配を指す場合があります。
傾きを表す方法はいくつかあります。
これらのいずれも使用できます。勾配という用語を使用する場合、傾斜は通常パーセンテージで表されます。勾配を示す図表の赤い数字を見ると、勾配を傾斜の指定に使うことの奇妙さがわかります。数字は、平坦な場合は0、45 度の場合は100%、垂直の場合は無限大になります。
水平距離が不明な場合でも、勾配は表現できます。上昇量を斜辺（斜面の長さ）で割ることで表現できます。これは勾配を指定する通常の方法ではありません。この非標準的な表現は正弦関数に従うため、45 度の勾配は 100%ではなく71%の勾配と呼ばれます 。しかし実際には、勾配を計算する通常の方法は、斜面に沿った距離と垂直方向の上昇量を測定し、そこから水平距離を計算して、勾配（100% × 上昇量/水平距離）または標準勾配（上昇量/水平距離）を計算することです。傾斜角が小さい場合、水平変位ではなく斜面の長さを使用する（つまり、角度の正弦ではなく正接を使用する）と、わずかな違いしか生じないため、近似値として使用できます。鉄道の勾配は、実用的な尺度として、線路に沿った距離に対する上昇量で表されることがよくあります。正弦と正接の差が大きい場合は、正接が使用されます。いずれの場合も、90度までのすべての傾斜角に対して、以下の恒等式が成り立つ 。 あるいはもっと簡単に言えば、ピタゴラスの定理を使って水平距離を計算すれば、その後は（標準的な数学の）傾斜や勾配（パーセンテージ）を簡単に計算できる。
ヨーロッパでは、道路の勾配は標識でパーセントで表示されます。[ 5 ]
成績は、上の図の記号を用いた以下の式によって関連付けられます。
傾きをパーセントで表すと、角度の正接から同様に求めることができます。
正接をパーセントで表した場合、角度は次のように求めることができます。
角度が比率（1/n）で表される場合：
度数、パーセント（%）、千分率（‰）の表記では、数値が大きいほど傾きが急になります。比率の場合、nの 1 分のnの数値が大きいほど、傾きは緩やかで楽になります。
これらの例は、一つまたは複数の表記法で表された概数と、文書化され比較的よく知られている事例を示しています。
車両工学では、様々な陸上車両（自動車、SUV、トラック、列車など）は、地形を登る能力に基づいて評価されます。列車は通常、自動車よりもはるかに低い評価を受けます。車両が特定の速度を維持しながら登ることができる最高勾配は、その車両の「登坂能力」（または、あまり一般的ではありませんが「勾配力」）と呼ばれることがあります。高速道路の形状における横方向の傾斜は、これらの技術を用いて造成された場合、盛土または切土と呼ばれることがあります。
米国では、連邦政府の資金援助を受けた高速道路の最大勾配は、地形と設計速度に基づいた設計表で規定されており、[ 8 ]山岳地帯や丘陵地帯の都市部では一般的に最大6%までが認められているが、時速60マイル（95km/h）未満の速度制限がある山岳道路では最大7%の勾配が例外的に認められている。
ギネス世界記録によると、世界で最も急な道路は、ニュージーランドのダニーデンにあるボールドウィン・ストリート、ウェールズのハーレックにあるフォード・ペン・レック[ 9 ]、ペンシルベニア州ピッツバーグにあるカントン・アベニュー[ 10 ]です。ギネス世界記録は、フォード・ペン・レックに一時的にその称号を与えた判決に対する控訴[ 11 ]が成功した後、再びボールドウィン・ストリートを世界で最も急な道路としてリストアップしました。その勾配は34.8%（2.87分の1）です。
他の多くの道路には、ギネスブックに記載されているものよりも急な勾配があります。米国国立標高データセットに基づいて、7x7（雑誌）は、サンフランシスコ市内で車両通行可能な公共道路のうち、勾配が30パーセントを超える10ブロックを特定しました。最も急なのは、バーナルハイツ地区のトンプキンスアベニューの上にあるブラッドフォードストリートのブロックで、勾配は41パーセントです。 [ 12 ]サンフランシスコ市営鉄道は、市内の丘陵地帯でバスサービスを運行しています。バス運行で最も急な勾配は、リプリーストリートとエスメラルダストリートの間にあるアラバマストリートのバーナルハイツ67番地付近で、勾配は23.1パーセントです。[ 13 ]
同様に、ピッツバーグ工務建設局はカントン通りの勾配を37%（20°）と記録した。[ 14 ]この通りは1983年から自転車レースの一部となっている。[ 15 ]
勾配、傾斜、傾斜は、景観設計、庭園設計、ランドスケープアーキテクチャ、建築において、工学的および美的設計上の要素として重要な要素です。排水、斜面の安定性、人や車両の動線、建築基準への準拠、設計の統合など、環境設計における斜面に関する考慮事項はすべて多岐にわたります。
勾配は、機関車が牽引できる重量（機関車自体の重量を含む）を制限する。 時速20キロで重い荷物を積んだ列車を牽引するには、平坦な線路に比べて1％の勾配を登る場合、10倍もの力が必要になる可能性がある。
イギリスの初期の鉄道は、勾配が非常に緩やかで、例えばグレート・ウェスタン本線は0.07575%（1/1320）や0.1515%（1/660）といった勾配で敷設された。この本線は、初期の機関車（およびそのブレーキ）の性能が弱かったため、「ブルネルのビリヤード台」というあだ名が付けられていた。急勾配は、補助機関車やケーブル牽引を利用するのに都合の良い短い区間に集中しており、例えばユーストン駅からカムデン・タウン駅までの1.2キロメートル（0.75マイル）の区間などがその例である。
非常に急な勾配には機械的な補助が必要です。ケーブルシステムが使用されているのは、オーストラリアのカトゥーンバ・シーニック・ワールドにあるシーニック鉄道で、最大勾配は122%（52°）に達し、世界で最も急勾配の旅客用ケーブルカーであるとされています。[ 16 ]やや緩やかな傾斜にはラック式鉄道が採用されており、スイスのピラトゥス鉄道は最大勾配が48%（26°）で、最も急勾配のラック式鉄道と考えられています。[ 17 ]
勾配は、角度、フィート/マイル、フィート/チェーン、1/ n、x %、またはy /ミルといった形で表現できます。デザイナーは概数を好むため、表現方法によって選択される勾配が変わる可能性があります。
ラック式鉄道システムを使用しない最も勾配の急な鉄道路線には、以下のものがある。
急カーブの勾配は、直線区間の同じ勾配よりも実質的に若干急になるため、これを補正して規定勾配を全体的に均一にするために、急カーブの勾配をわずかに小さくする必要がある。
空気ブレーキや真空ブレーキといった連続ブレーキが装備される以前の時代、急勾配では列車が安全に停止することが極めて困難だった。例えば、当時、ある検査官はウェスト・サセックス州のラッジウィック駅の勾配を改良するよう強く主張した。彼は、プラットホームを通る勾配が80分の1から130分の1に緩和されるまで、駅の開業を許可しなかった。
IRI は、ルートの標準化、外観の測定、タイプ対応の検査を行います。推奨単位: メートル/キロメートル (m/km) = ミリメートル/メートル (mm/m) = ペンテ x 1000。
。ペンテ経度 i (m/km ou ‰): 0.4
