接線角

幾何学において、特定の点におけるデカルト平面上の曲線の接線角は、その点における曲線の接線とx軸との間の角度である。^[1]（一部の著者は、角度を、ある固定された開始点における曲線の方向からの偏差として定義しています。これは、角度に定数を追加するか、曲線を回転させることによってここで与えられた定義と同じです。^[2]）

曲線が（x（t），y（t））でパラメトリックに与えられた場合、 tにおける接線角φは（ 2πの倍数まで）^{[3]で定義される。}

${\displaystyle {\frac {{\big (}x'(t),\ y'(t){\big )}}{{\big |}x'(t),\ y'(t){\big |}}}=(\cos \varphi ,\ \sin \varphi ).}$

ここで、プライム記号はtに関する微分を表します。したがって、接線角は速度ベクトル( x ( t ), y ( t ))の方向を指定し、速度はその大きさを指定します。ベクトル

${\displaystyle {\frac {{\big (}x'(t),\ y'(t){\big )}}{{\big |}x'(t),\ y'(t){\big |}}}}$

は単位接線ベクトルと呼ばれるので、同等の定義は、 tにおける接線角が角度φであり、 (cos φ、 sin φ )がtにおける単位接線ベクトルであるということです。

曲線が弧の長さ sでパラメータ化されている場合、つまり| x ′( s ), y ′( s ) | = 1 の場合、定義は次のように簡略化されます。

${\displaystyle {\big (}x'(s),\ y'(s){\big )}=(\cos \varphi ,\ \sin \varphi ).}$

この場合、曲率 κはφ ′( s )で与えられ、κは曲線が左に曲がる場合は正、右に曲がる場合は負になります。^[1] 逆に、与えられた点における接線角はその点までの曲率の定積分に等しくなります。^{[4] [1]}

${\displaystyle \varphi (s)=\int _{0}^{s}\kappa (s)ds+\varphi _{0}}$

${\displaystyle \varphi (t)=\int _{0}^{t}\kappa (t)s'(t)dt+\varphi _{0}}$

曲線が関数 y = f ( x )のグラフで与えられる場合、 ( x , f ( x ))をパラメータ化としてとることができ、φ は− ⁠の間であると仮定できます。π/2⁠と⁠π/2⁠ . これにより、明示的な式が生成されます

${\displaystyle \varphi =\arctan f'(x).}$

極座標では、極接線角は、与えられた点における曲線の接線と原点からその点までの光線との間の角度として定義されます。^[6] ψが極接線角を表す場合、 ψ = φ − θとなり、ここでφは上記の通り、θ は通常どおり極角です。

曲線が極座標でr = f ( θ )と定義されている場合、 θにおける極接線角ψ は（ 2πの倍数まで）次のように 定義されます。

${\displaystyle {\frac {{\big (}f'(\theta ),\ f(\theta ){\big )}}{{\big |}f'(\theta ),\ f(\theta ){\big |}}}=(\cos \psi ,\ \sin \psi )}$。

曲線が弧の長さsによってr = r ( s )、θ = θ ( s )とパラメータ化されている場合、| ( r ′( s )、rθ ′( s )) | = 1となり、定義は次のようになります。

${\displaystyle {\big (}r'(s),\ r\theta '(s){\big )}=(\cos \psi ,\ \sin \psi )}$。

対数螺旋は、極接線角が一定である曲線として定義できます。^{[5] [6]}

• 曲線の微分幾何学
• ヒューウェル方程式
• 接線

• 「注記」。Encyclopédie des Formes Mathématiques Remarquables (フランス語)。
• Yates, RC (1952)。曲線とその特性に関するハンドブック。ミシガン州アナーバー: JW Edwards。pp. 123–126。