ユークリッド空間における等長群の不動点

等長変換群の不動点とは、群内のすべての等長変換に対して不動点となる点のことです。ユークリッド空間内の任意の等長変換群に対して、不動点の集合は空かアフィン空間のいずれかです。

オブジェクトの場合、任意の一意の中心、およびより一般的には、オブジェクトに関して一意の特性を持つ任意の点は、その対称群の不動点です。

特に、図形の重心が存在する場合、これは重心に適用されます。物理的な物体の場合、対称性のために形状だけでなく密度も考慮される場合、これは質量の中心に適用されます。

オブジェクトの対称群の固定点の集合がシングルトンである場合、オブジェクトには特定の対称中心があります。重心と質量の中心は、定義されている場合はこの点です。「対称中心」の別の意味は、反転対称性が適用される点です。このような点は一意である必要はありません。一意でない場合は、並進対称性があり、したがって、このような点は無限に存在します。一方、たとえばC _{3h 対称}とD ₂対称の場合、最初の意味での対称中心はありますが、反転はありません。

オブジェクトの対称群に固定点がない場合、オブジェクトは無限であり、その重心と質量の中心は定義されません。

オブジェクトの対称群の固定点の集合が直線または平面である場合、オブジェクトの重心と質量の中心（定義されている場合）、およびオブジェクトに関して固有の特性を持つその他の点は、この直線または平面上にあります。

ライン

単純な等長変換群だけが直線全体を固定したままにします。

ポイント

反射によって生成されたグループは、点を固定したままにします。

飛行機

自明な等長変換群C ₁のみが平面全体を固定したままにします。

ライン

任意の直線に対するC _{s は、その直線を固定したままにします。}

ポイント

2 次元の点群では、任意の点に関してその点が固定されます。

空間

自明な等長変換群C ₁のみが空間全体を固定したままにします。

飛行機

平面に対するC _{s は、その平面を固定したままにします。}

ライン

直線を固定した等長写像群は、その直線に垂直なすべての平面において、直線と平面の交点に関して 2 次元で共通の 2D 点群を持つ等長写像です。

• C _n ( n > 1 ) およびC _nv ( n > 1 )
• 軸に垂直な平面における鏡映対称性のない円筒対称性
• 対称群が円筒対称群の無限部分集合である場合

ポイント

3次元における他のすべての点群

固定点なし

等長変換グループには、変換またはねじ操作が含まれます。

ポイント

すべての次元に適用される等長変換群の一例は、点における反転によって生成される等長変換群です。n 次元の平行六面体は、このような反転に対して不変なオブジェクトの一例です。

• Slavik V. Jablan、「対称性、装飾、モジュール性」、 K & E シリーズ「結び目とあらゆるもの」第 30 巻、World Scientific、2002 年。ISBN 9812380809