クラインの4群

数学において、クラインの四元群は、各元が自己逆元（それ自身と合成すると恒等元になる）であり、3 つの非恒等元のうち 2 つを合成すると 3 つ目の元になる 4 つの元を持つアーベル群である。これは、正方形でない長方形の対称群（3つの非恒等元は水平反転、垂直反転、180 度回転）として、2ビットのバイナリ値に対するビット単位の 排他的論理和演算の群として、またはより抽象的には、有限生成アーベル群の基本定理による位数2の巡回群の2 つのコピーの直積として記述できる。これは、 Vierergruppe（ドイツ語: [ˈfiːʁɐˌɡʁʊpə]）と名付けられました。${\displaystyle \mathbb {Z} _{2}\times \mathbb {Z} _{2}}$ 1884年にフェリックス・クライン^{が提唱した多様体群（ ⓘ}、4群を意味する）^[1]。クライン群とも呼ばれ、文字または。 ${\displaystyle V}$${\displaystyle K_{4}}$

4 つの要素を持つクラインの 4 元群は、巡回しない最小の群です。同型を除いて、位数 4 の群は他に 1 つだけあります。位数 4 の巡回群です。どちらの群もアーベル群です。

クライン群のケーリー表は次のように与えられます。

クラインの4群は、群の表現によっても定義される。

${\displaystyle V=\left\langle a,b\mid a^{2}=b^{2}=(ab)^{2}=e\right\rangle .}$

クライン群のすべての非単位元は位数 2 であるため、任意の 2 つの非単位元は上記の表現の生成元として使用できます。クラインの 4 元群は、最小の非巡回群です。ただし、これはアーベル群 であり、位数 (濃度) 4 の二面体群(記号は 、または幾何学的慣例を使用すると )と同型です。位数 2 の群以外では、これがアーベルである唯一の二面体群です。 ${\displaystyle D_{4}}$${\displaystyle D_{2}}$

クラインの 4 次元群は直和とも同型であるため、 2 を法とする成分ごとの加算でペア{(0,0), (0,1), (1,0), (1,1)} (または、ビットごとの XORでビット文字列{00, 01, 10, 11}として表すことができ、(0,0) は群の単位元です。したがって、クラインの 4 次元群は、ブール群とも呼ばれる基本アーベル 2 次元群の例です。したがって、クラインの 4 次元群は、2 つの要素を持つ集合の冪集合の部分集合に対する二項演算としての対称差によって生成される群でもあります。つまり、 などの 4 つの要素を持つ集合の体上の群です。この場合、 空集合が群の単位元です。${\displaystyle \mathbb {Z} _{2}\oplus \mathbb {Z} _{2}}$ ${\displaystyle \{\emptyset ,\{\alpha \},\{\beta \},\{\alpha ,\beta \}\}}$

クラインの4元群の別の数値構成は集合{1, 3, 5, 7}であり、演算は8を法とする乗算です。ここでaは3、bは5、c = abは3 × 5 = 15 ≡ 7 (mod 8)です。

クラインの4元群は、行列乗算の演算を伴う 2×2実行行列として表現することもできます。

${\displaystyle e={\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}},\quad a={\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}},\quad }$

${\displaystyle b={\begin{pmatrix}-1&0\\0&1\end{pmatrix}},\quad c={\begin{pmatrix}-1&0\\0&-1\end{pmatrix}}}$

ルービック キューブでは、空白のまま残される面のペアに応じて、「4 つの点」パターンを 3 つの方法で作成できます。これらの 3 つの位置と解決された位置は、クラインのグループの例を形成し、解決された位置は恒等式として機能します。

2 次元では、クラインの 4 群は、菱形と正方形ではない長方形の対称群であり、4つの要素は恒等変換、垂直反転、水平反転、および 180 度回転です。

3 次元では、代数的にはクラインの 4 群である 3 つの異なる対称群が存在します。

• 3つの直交する2倍回転軸を持つもの：二面体群 ${\displaystyle D_{2}}$
• 2回の回転軸と垂直な反射面を持つもの:${\displaystyle C_{2\mathrm {h} }=D_{1\mathrm {d} }}$
• 反射面（したがって垂直な反射面）に2回の回転軸を持つもの：${\displaystyle C_{2\mathrm {v} }=D_{1\mathrm {h} }}$

クラインの4元群の位数2の3つの要素は交換可能である。したがって、 Vの自己同型群はこれら3つの要素の順列の群、つまり対称群である。 ${\displaystyle S_{3}}$

クラインの 4 元群の要素の順列は、抽象的には4 つの点における順列表現として考えることができます。

${\displaystyle V={}}${()、(1,2)(3,4)、(1,3)(2,4)、(1,4)(2,3)}

この表現では、は 4 つの文字上の交代群(および対称群)の正規部分群です。実際、これはから への射影群準同型の核です。 ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle A_{4}}$ ${\displaystyle S_{4}}$${\displaystyle S_{4}}$${\displaystyle S_{3}}$

S ₄内の他の表現は次のとおりです。

{ ()、(1,2)、(3,4)、(1,2)(3,4) }

{ ()、(1,3)、(2,4)、(1,3)(2,4) }

{ ()、(1,4)、(2,3)、(1,4)(2,3) }

それらはS ₄の正規部分群ではありません。

ガロア理論によれば、クラインの四元群（特にその置換表現）の存在は、ルドヴィコ・フェラーリによって確立された、根号を用いて四次方程式の根を計算する公式の存在を説明します。つまり、写像はラグランジュのレゾルベントを用いたレゾルベント三次に対応します。 ${\displaystyle S_{4}\to S_{3}}$

有限環の構成において、4 つの元を持つ 11 個の環のうち 8 個は、加法的な部分構造としてクラインの 4 元群を持ちます。

が非ゼロの実数の乗法群、正の実数の乗法群を表す場合、 は環 の単位群であり、 はの部分群です（実際、の単位元の成分です）。商群はクラインの 4 元群と同型です。同様に、分割複素数環の単位群をその単位元成分で割ると、クラインの 4 元群になります。 ${\displaystyle \mathbb {R} ^{\times }}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{+}}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{\times }\times \mathbb {R} ^{\times }}$${\displaystyle \mathbb {R} \times \mathbb {R} }$${\displaystyle \mathbb {R} ^{+}\times \mathbb {R} ^{+}}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{\times }\times \mathbb {R} ^{\times }}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{\times }\times \mathbb {R} ^{\times }}$ ${\displaystyle (\mathbb {R} ^{\times }\times \mathbb {R} ^{\times })/(\mathbb {R} ^{+}\times \mathbb {R} ^{+})}$

単純 連結グラフのうち、クラインの 4 元群を自己同型群として許容する最も単純なグラフ (エンティティが最も少ないという意味で)は、以下に示すダイヤモンド グラフです。これは、エンティティが少ないという意味でより単純な他のいくつかのグラフの自己同型群でもあります。これらには、単純なままで連結性は失われる 4 つの頂点と 1 つの辺を持つグラフや、連結性は失われるが単純なままで 2 つの頂点が 2 つの辺で互いに連結されているグラフが含まれます。

音楽作曲において、4群は12音技法における基本的な順列群である。その場合、ケイリー表は^{[2]と表記される。}

• 四元数グループ
• 小グループのリスト

• MA Armstrong (1988) Groups and Symmetry、Springer Verlag、53ページ。
• WE Barnes (1963) Introduction to Abstract Algebra、DC Heath & Co.、20 ページ。

• ワイスタイン、エリック・W.「ヴィーラーグループ」。マスワールド。