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音楽の集合論では、集合の順列（順序）とは、その集合の要素の任意の順序付けのことです。[ 3 ]音高、強弱、音色などの離散的な実体またはパラメータの集合の特定の配置。異なる順列は、転置、反転、逆行、円順列（回転とも呼ばれる）、または乗法演算（4度サイクルや5度サイクル変換など）などの0個以上の演算を適用することによって、変換によって関連付けられることがあります。これらは、集合の要素の順序を変更したり、単に集合をそれ自身に写像したりすることがあります。
20世紀に生まれた作曲技法の理論、例えば十二音技法やセリエリズムなどでは、順序が特に重要視される。集合論のような分析手法では、順序のある集合と順序のない集合を区別する。伝統的な理論では、声部構成や形式といった概念に順序付けが含まれる。例えば、ロンドなどの多くの音楽形式は、そのセクションの順序によって定義される。
反転操作または逆順操作を適用して得られる順列は、それぞれ元の形式の反転および逆順として分類されます。元の形式に反転と逆順の両方を適用すると、逆順反転が生成され、これは別の種類の順列とみなされます。
置換はより小さな集合にも適用できます。ただし、そのような小さな集合の変換操作は、必ずしも元の集合の置換をもたらすとは限りません。以下は、アントン・ウェーベルンの協奏曲の音列（または12音列）内で見られる、逆行、反転、逆行反転をそれぞれ移調と組み合わせて使用した、三和音の非置換の例です。[ 4 ]
最初の３つの音符を「元の」セルとみなすと、次の３つはその移調逆行反転（逆向きで上下逆）であり、次の３つは移調逆行（逆向き）であり、最後の３つはその移調反転（上下逆）である。[ 5 ]
すべての基本系列が同じ数の変奏を持つわけではありません。音列の転置変換と逆変換が同一になる場合があるためです。これは非常にまれな現象で、全系列の0.06%未満が48ではなく24の形式を許容します。[ 6 ]
12音順列を容易にする手法の一つは、音名に対応する数値を用いることである。最初の素数の最初の音、実際には素数ゼロ（一般的に素数1と間違えられる）は0で表される。残りの数値は半音ずつ数えられ、次のようになる。
素数ゼロは作曲家の自由選択によって取得されます。任意の素数の逆行を取得するには、数字を単純に逆順に書き直します。任意の素数の反転を取得するには、各数値を12から減算し、その結果の数値を対応するマトリックスセルに配置します（12音技法を参照）。逆行反転は、反転数値の値を逆順に読み取ったものです。
アントン・ウェーベルンの協奏曲の楽譜から抜粋した例を挙げます。
より一般的には、音楽的順列とは、音高クラスの順序付けられた集合の素形式の任意の並べ替え[ 7 ]、または12音列に関しては、12を法とする整数の集合の任意の順序付け[ 8 ]である。その点において、音楽的順列は、音楽に適用される数学の組み合わせ順列である。順列は、12音のセリエル音楽や無調音楽に限定されるものではなく、特に20世紀と21世紀には調性メロディーでも同様に利用されており、特にラフマニノフの管弦楽とピアノのための「パガニーニの主題による変奏曲」でよく見られる。
巡回置換（回転とも呼ばれる）[ 9 ]は、音列の元の順序を維持し、最初の音高クラスのみを変更し、その後に元の順序が続くものである。二次集合は、六音音階的組み合わせ列の6番目の要素から始まる巡回置換とみなすことができる。例えば、ベルクの「抒情組曲」の音列は、主題的に実現され、その後巡回置換される（0は参照のために太字で示されている）。
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\text{素数ゼロ: }}&&0,11,3,4,8,7,9,5,6,1,2,10\\[5pt]{\text{逆行: }}&&10,2,1,6,5,9,7,8,4,3,11,0\\[5pt]{\text{反転: }}&&0,1,9,8,4,5,3,7,6,11,10,2\\[5pt]{\text{逆行反転: }}&&2,10,11,6,7,3,5,4,8,9,1,0\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cdca7ccecb55d3caa04308e7aeed75f6b03d5bd3)
