目には目を

Tit for tatは「同等の報復」を意味する英語のことわざです。これはtip for tap「blow for blow」^{[ 1 ]}の交互表現で、 1558 年に初めて記録されました。^{[ 2 ]}

これはゲーム理論においても非常に効果的な戦略である。この戦略を用いるエージェントは、まず協力し、その後、相手の以前の行動を模倣する。相手が以前に協力的であった場合、エージェントも協力的となる。そうでない場合は、エージェントは裏切る。これは生物学における互恵的利他主義に似ている。

しっぺ返し戦略は、反復囚人のジレンマの戦略として非常に有効に活用されてきた。この戦略は、 1980年頃に開催されたロバート・アクセルロッドの2つのトーナメントで、アナトール・ラポポートによって初めて導入された^{[ 3 ]}。注目すべきは、この戦略が（どちらの場合も）最も単純な戦略であり、直接的な競争において最も成功した戦略であったことである。ゲーム理論的アプローチを金融などの他の応用分野に拡張した例はほとんどない。その文脈では、しっぺ返し戦略はトレンドフォロー戦略と関連していることが示された^{[ 4 ] 。}

その名称は敵対的な性質を強調しているものの、実際には協調的な要素が強い「しっぺ返し戦略」の成功は、多くの人々を驚かせた。様々なチームが考案した戦略を相手に、この戦略は2つの大会で勝利を収めた。最初の大会後、しっぺ返し戦略に対抗するために特別に考案された新たな戦略は、互いに負の相互作用を起こし、失敗に終わった。しっぺ返し戦略以外の成功する戦略は、しっぺ返し戦略と、この戦略自体の両方を念頭に置いて考案する必要があっただろう。

この結果は、動物の集団、特に人間社会が、自然界で絶え間ない対立状態にある個体から予想されるような激しい競争や攻撃的な生き方ではなく、ほとんど、あるいは完全に協力的な生き方をするように進化してきた理由を説明するのに役立つかもしれない。この点、そして特にそれが人間社会や政治にどのように応用されるのかは、ロバート・アクセルロッドの著書『協力の進化』の主題となっている。

さらに、しっぺ返し戦略は、社会心理学者や社会学者が紛争を軽減するための効果的な手法を研究する上で有益な役割を果たしてきました。研究によると、一定期間競争関係にあった個人が互いに信頼しなくなった場合、最も効果的な競争逆転策はしっぺ返し戦略を用いることです。個人は一般的に行動同化というプロセスに従事します。これは、協力関係にある、あるいは競争関係にあるグループメンバーの行動に合わせて、自分の行動を調整する傾向のあるプロセスです。したがって、しっぺ返し戦略が協力から始まれば、協力関係が継続します。一方、相手が競争すれば、しっぺ返し戦略は相手にも競争を促すことになります。最終的に、相手メンバーの行動には必ず対応する反応が返され、競争には競争、協力には協力が返されるのです。

紛争解決において、しっぺ返し戦略はいくつかの理由から効果的です。この手法は、明確で、親切で、挑発的で、寛容であると認識されています。まず、これは明確で認識しやすい戦略です。この戦略を用いる者は、その偶発性をすぐに認識し、それに応じて行動を調整します。さらに、協力から始まり、競争に応じてのみ裏切るため、親切であると考えられています。また、競争相手に即座に報復できるため、挑発的でもあります。最後に、競争相手が協力的な行動をとれば、すぐに協力関係が生まれるため、寛容であると言えます。

報復戦略の影響は、紛争研究、解決、および応用社会科学の多くの側面に関連している。^{[ 5 ]}

例えば、次のような無限に繰り返される囚人のジレンマゲームを考えてみましょう。

しっぺ返し戦略は、相手プレイヤーが以前に選択した戦略を模倣する。プレイヤーが戦略（C,C）を選択して協力すれば、彼らは永遠に協力し続ける。

協力すると、次の利益が得られます（${\displaystyle \delta }$（割引率）：

${\displaystyle 6+6\delta +6\delta ^{2}+6\delta ^{3}...,}$

合計が​

${\displaystyle {\frac {6}{1-\delta }}}$

プレイヤーが裏切り（D）に走った場合、次のラウンドで罰せられる。p1が協力しp2が裏切る場合と、その逆の場合を交互に繰り返す。

逸脱によって得られる報酬は以下のとおりです。

${\displaystyle 9+2\delta +9\delta ^{2}+2\delta ^{3}+9\delta ^{4}+2\delta ^{5}...,}$

2 つの等比級数の和は

${\displaystyle {\frac {9}{1-\delta ^{2}}}+{\frac {2\delta }{1-\delta ^{2}}}}$

逸脱による利益が協力による利益よりも優れていない場合は、協力関係が期待される。

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {6}{1-\delta }}&\geq {\frac {9}{1-\delta ^{2}}}+{\frac {2\delta }{1-\delta ^{2}}}\\{\frac {6}{1-\delta }}&\geq {\frac {9+2\delta }{1-\delta ^{2}}}\\{\frac {1-\delta ^{2}}{1}}\cdot {\frac {6}{1-\delta }}&\geq {\frac {9+2\delta }{\cancel {1-\delta ^{2}}}}\cdot {\frac {\cancel {1-\delta ^{2}}}{1}}\\{\frac {(1+\delta ){\cancel {(1-\delta )}}}{1}}\cdot {\frac {6}{\cancel {1-\delta }}}&\geq 9+2\delta \\6+6\delta &\geq 9+2\delta \\4\delta &\geq 3\\\delta &\geq {\frac {3}{4}}\end{aligned}}}$

協力を続ける場合、${\displaystyle \delta \geq {\frac {3}{4}}}$

以下の場合は引き続き離反してください。${\displaystyle \delta <{\frac {3}{4}}}$

アクセルロッドは、直接競争の場合、この戦略が最適であることを経験的に示しましたが、しっぺ返し戦略をとる2人のエージェントは脆弱なままです。どちらかのプレイヤーがイベントを解釈する際に一度だけ、1ビットの誤りがあると、終わりのない「死のスパイラル」につながる可能性があります。つまり、一方のエージェントが裏切り、相手が協力すると、両方のエージェントが協力と裏切りを交互に繰り返すことになり、両方のエージェントが継続的に協力する場合よりも低い利得しか得られません。この状況は、校庭での喧嘩から内戦や地域戦争まで、現実世界の紛争で頻繁に発生します。これらの問題の原因は、割引率のナイフエッジ条件を除いて、しっぺ返し戦略が部分ゲーム完全均衡ではないことです。^{[ 6 ]} この部分ゲームは、しっぺ返し戦略をとる2人のエージェントによって直接到達することはできませんが、部分ゲーム完全であるためには、戦略はすべての部分ゲームでナッシュ均衡でなければなりません。さらに、エージェントのシグナリングにノイズが許容される場合、この部分ゲームに到達する可能性があります。基本的な評判メカニズムを用いることで、「悔恨の報復」として知られる、報復の完全版のサブゲームを作成することができる。^{[ 7 ]}

ナイフエッジ均衡とは、「外生変数の正確な値の場合にのみ存在する均衡である。変数をほんの少しでも変化させると、ナイフエッジ均衡は消滅する。」^{[ 8 ]}

ナッシュ均衡とナイフエッジ均衡の両方になり得る。均衡がまさにその値に「危うく乗っている」ことから、ナイフエッジ均衡と呼ばれる。

例：

X = 0 と仮定します。この場合、（下、左）または（上、右）からの逸脱は利益になりません。しかし、X の値がどんなに小さくても逸脱すると、均衡は維持されなくなります。例えば、X の値が 0 ではなく 0.000001 の場合、上方向への逸脱が利益になります。このように、均衡は非常に不安定です。Wikipedia の記事で使用されている「ナイフエッジ条件」とは、ごくまれに、特定の条件が満たされ、例えば X が特定の値に等しい場合にのみ均衡が存在するという事実を指しています。

この問題を軽減するために、Tit for 2 tats が使用される可能性があります。以下の説明を参照してください。^{[ 9 ]}「許しを伴う Tit for tat」は、死のスパイラルから抜け出すための同様の試みです。相手が裏切った場合、この戦略を採用しているプレイヤーは、次の手で協力することがあります。プレイヤーが協力して反応する正確な確率は、対戦相手の並びによって異なります。

さらに、しっぺ返し戦略は、完全な競争ではない状況では最適とは証明されていません。例えば、当事者同士が友人である場合、相手が時折逸脱しても、一方のプレイヤーが常に協力することが友情にとって最善となる可能性があります。現実世界のほとんどの状況は、しっぺ返し戦略が勝利を収めたような完全な競争よりも競争度が低いのです。

しっぺ返し戦略は、グリムトリガー戦略とは大きく異なり、相手が協力することを選択した場合、すぐに協力関係を生み出すという点で寛容な性質を持っています。一方、グリムトリガー戦略は最も容赦のない戦略であり、たった1つの欠陥でも、グリムトリガー戦略を使用しているプレイヤーはゲームの残りの間ずっと欠陥者となってしまいます。^{[ 10 ]}

• Wired誌の記事で、連携するプログラム群によって「打ち負かされた」という「しっぺ返し」戦略について取り上げている。
• オーストラリア放送協会の「Tit for tat」の説明（2006年8月29日アーカイブ、 Wayback Machine）