ポリアモンド

ポリアモンド（ポリアモンド、単にアモンド、または三角形ポリオミノ^[1]とも呼ばれる）は、基本形が正三角形である多面体である。ポリアモンドという言葉は、ダイヤモンド（diamond）からの転生である。この言葉は、底辺同士を並べた一対の正三角形の形を説明するためによく使用され、最初の「di-」は「2-」を意味するギリシャ語の接頭辞に似ているからである（ただし、ダイヤモンドは実際にはギリシャ語のἀδάμαςに由来しており、これは「adamant」という言葉の元でもある）。この名前は、娯楽数学ライターのトーマス・H・オバーンが、ニューサイエンティスト1961年第1号、164ページで提案した。

カウント

基本的な組み合わせの質問は、特定の数のセルを持つ異なるポリアモンドがいくつ存在するかということです。ポリオミノと同様に、ポリアモンドは自由または片面のいずれかになります。自由ポリアモンドは、反射だけでなく、平行移動や回転に対しても不変です。片面ポリアモンドは反射を区別します。

n = 1、2、3、... の場合のn個のフリーダイヤモンドの数は次のとおりです。

1、1、1、3、4、12、24、66、160、...（OEISの配列A000577）。

穴のある自由ポリダイヤモンドの数はOEIS : A070764で与えられ、穴のない自由ポリダイヤモンドの数はOEIS : A070765で与えられ、固定ポリダイヤモンドの数はOEIS : A001420で与えられ、片面ポリダイヤモンドの数はOEIS : A006534で与えられます。

ダイヤモンド（60度の角度の菱形）を、似た形のフランスのお菓子にちなんでカリソンと呼ぶ著者もいます。 ^[2]^[3]

対称性

可能な対称性は、鏡映対称性、2 回、3 回、6 回の回転対称性、およびそれぞれと鏡映対称性を組み合わせたものです。

鏡面対称性の有無にかかわらず、2 回の回転対称性には、それぞれ少なくとも 2 個と 4 個の三角形が必要です。鏡面対称性の有無にかかわらず、6 回の回転対称性には、それぞれ少なくとも 6 個と 18 個の三角形が必要です。非対称性には、少なくとも 5 個の三角形が必要です。鏡面対称性のない 3 回の回転対称性には、少なくとも 7 個の三角形が必要です。

鏡面対称のみの場合、対称軸をグリッドと揃えるか、30° 回転させる (それぞれ少なくとも 4 個と 3 個の三角形が必要) かを区別できます。鏡面対称と組み合わせた 3 回回転対称の場合も同様です (それぞれ少なくとも 18 個と 1 個の三角形が必要)。

一般化

ポリオミノと同様ですが、ポリヘキサとは異なり、ポリアモンドには、四面体を集合させて形成される 3 次元の対応物があります。ただし、ポリアモンドが 2 次元空間をタイル張りできるのとは異なり、ポリ四面体は3 次元空間をタイル張りできません。

テッセレーション

V-ヘプチアモンドを除いて、8以下のすべてのポリアモンドは平面をタイル状に並べます。^[4]

ポリヘキサゴスとの対応

右に示すように、すべてのポリアモンドはポリヘキサに対応します。逆に、ポリヘキサの各六角形セルは 6 つの隣接する正三角形の和集合であるため、すべてのポリアモンドもポリアモンドです。どちらの対応も 1 対 1 ではありません。

大衆文化において

1 次から 6 次までの 22 個のポリアモンドのセットは、ボードゲーム「Blokus Trigon」の駒の形状を構成します。このゲームでは、プレイヤーはゲームのルールに従って、できるだけ多くのポリアモンドで平面をタイル張りしようとします。

参照

外部リンク

Weisstein、Eric W.「Polyiamond」。MathWorld。
The Poly Pages のポリアモンド。ポリアモンドのタイル。
VERHEXT — 1960 年代に Heinz Haber が開発した、ヘキシアモンドをモチーフにしたパズルゲーム (2016 年 3 月 3 日、Wayback Machineにアーカイブ)

参考文献

^ Sloane, NJA (2021年7月9日). "A000577". OEIS . The OEIS Foundation Inc . 2021年7月9日閲覧。三角形のポリオミノ（または三角形のポリフォーム、ポリアモンド）
^ アルシーナ、クラウディ、ネルセン、ロジャー B. (2015 年 12 月 31 日)。数学的宇宙の旅: 21 世紀の立体幾何学。ISBN 9781614442165。
^ デイビッド・ガイ、トメイ・カルロス (1989)。「カリソンの問題」アメリカ数学月刊誌。96 (5 ) : 429–431。doi :10.1080/ 00029890.1989.11972212。JSTOR 2325150 。
^ 「8 次以下のポリアモンドはすべて、ヘプチアモンドの 1 つを除いて、平面をモザイク状に並べます。例外は V 字型のヘプチアモンドです。ガードナー (第 6 巻 p.248) は、このヘプチアモンドを識別する問題を提起し、グレゴリーの不可能性証明を再現しました。ただし、他のヘプチアモンドまたは他のポリアモンドと組み合わせると、この V 字型のヘプチアモンドを使用したモザイク状配置を実現できます。」

[1] Sloane, NJA (2021年7月9日). "A000577". OEIS . The OEIS Foundation Inc . 2021年7月9日閲覧。三角形のポリオミノ（または三角形のポリフォーム、ポリアモンド）

[2] アルシーナ、クラウディ、ネルセン、ロジャー B. (2015 年 12 月 31 日)。数学的宇宙の旅: 21 世紀の立体幾何学。ISBN 9781614442165。

[3] デイビッド・ガイ、トメイ・カルロス (1989)。「カリソンの問題」アメリカ数学月刊誌。96 (5 ) : 429–431。doi :10.1080/ 00029890.1989.11972212。JSTOR 2325150 。

[4] 「8 次以下のポリアモンドはすべて、ヘプチアモンドの 1 つを除いて、平面をモザイク状に並べます。例外は V 字型のヘプチアモンドです。ガードナー (第 6 巻 p.248) は、このヘプチアモンドを識別する問題を提起し、グレゴリーの不可能性証明を再現しました。ただし、他のヘプチアモンドまたは他のポリアモンドと組み合わせると、この V 字型のヘプチアモンドを使用したモザイク状配置を実現できます。」