オプション（金融）

金融において、オプションとは、オプションのスタイルに応じて、指定された日付以前に、指定された行使価格で、特定の数量の原 資産または証券を売買する権利（義務ではない）をその所有者（保有者）に譲渡する契約です。

オプションは通常、購入、報酬の形式、または複雑な金融取引の一部として取得されます。したがって、オプションは資産（または偶発債務）の一種でもあり、その評価は、原資産価格、満期までの時間、市場のボラティリティ、リスクフリー金利、およびオプションの行使価格 の間の複雑な関係に依存する場合があります。

オプションは、店頭取引（OTC）で民間の当事者間で取引される場合もあれば、標準化された契約の形でライブの公開市場で取引される場合もあります。

オプションとは、オプションの形式に応じて、保有者に原資産または金融商品を指定された行使価格で指定された日付までに購入または売却する権利を与える契約です。満期前にオプションを売却または行使するには、通常、買い手が合意した価格で契約を引き受ける必要があります。行使価格は、オプションが発行された日の基礎となる証券または商品のスポット価格(市場価格) を参照して設定することも、割引またはプレミアムで固定することもできます。保有者がオプションを「行使」した場合、発行者は対応する取引 (売却または購入) を履行する義務を負います。保有者に指定された価格で購入する権利を与えるオプションはコールと呼ばれ、指定された価格で売却する権利を与えるオプションはプットと呼ばれます。

発行者は、別の取引（株式発行や従業員インセンティブ制度など）の一環として買い手にオプションを付与するか、買い手がオプションのプレミアムを発行者に支払うことがあります。コール オプションは通常、権利行使価格が原資産の市場価値を下回る場合にのみ行使され、プット オプションは通常、権利行使価格が市場価値を上回る場合にのみ行使されます。オプションが行使されると、オプション保有者のコストは、取得した資産の権利行使価格と、発行者に支払われるプレミアム（ある場合）の合計です。オプションが行使されないままオプションの有効期限が過ぎた場合、オプションは失効し、保有者は発行者に支払ったプレミアムを失います。いずれの場合も、プレミアムは発行者の収入であり、オプション保有者は通常、資本損失となります。

オプション保有者は、オプションに応じて店頭取引またはオプション取引所のいずれかで、流通市場で第三者にオプションを転売することができます。アメリカンスタイルのオプションの市場価格は通常、原株式の市場価格とオプションの行使価格の差であるため、原株式の市場価格に密接に従います。オプションの実際の市場価格は、有効期限が近づいているがオプションを行使する資金がなく、重要なオプション保有者がオプションを売却する必要があり、市場で大量のオプションを保有しようとしているなど、いくつかの要因に応じて異なる場合があります。オプションを所有することで、通常、保有者は議決権など原資産に関連する権利や、配当金など原資産からの収入を得ることはできません。

オプションに似た契約は古代から使われてきました。^[1]最初の有名なオプション購入者は、古代ギリシャの数学者で哲学者のミレトスのタレスです。あるとき、その季節のオリーブの収穫が例年よりも多いと予測され、シーズンオフの間に、彼は翌春にいくつかのオリーブ圧搾機を使用する権利を取得しました。春が来てオリーブの収穫が予想より多かったとき、彼はオプションを行使し、その後、自分の「オプション」に支払った金額よりもはるかに高い価格で圧搾機を貸し出しました。^{[2] [3]}

1688年の著書『混乱の混乱』では、アムステルダム証券取引所（現在のユーロネクスト）での「オプシー」取引について説明し、「リスクは限られているが、利益は想像や希望をはるかに超える可能性がある」と説明している。^[4]

ロンドンでは、プットと「リフューズ」（コール）が初めてよく知られた取引手段となったのは、ウィリアムとメアリーの治世中の1690年代でした。^[5]特権は19世紀のアメリカで店頭で売られたオプションで、株式のプットとコールの両方が専門のディーラーによって提供されました。その権利行使価格は、オプションが購入された日または週の市場価格を切り捨てた価格で固定され、有効期限は通常購入後3か月でした。二次市場では取引されませんでした。

不動産市場では、コール オプションは長い間、別々の所有者から大規模な土地をまとめるために使用されてきました。たとえば、開発者は隣接する複数の区画を購入する権利に対して支払いますが、これらの区画を購入する義務はなく、区画全体のすべての区画を購入できない限り購入しない可能性があります。さらに、住宅などの不動産を購入するには、購入者が売り手にエスクロー口座に手付金を支払う必要があります。これにより、購入者は購入価格を含む設定された条件で不動産を購入する権利が与えられます。^{[引用が必要]}

映画業界では、映画や演劇のプロデューサーが、特定の本や脚本をドラマ化する権利（義務ではない）を与える オプションを購入することがよくあります。

信用枠は、借り手候補に、指定された期間内に借り入れる権利（義務ではありません）を与えます。

債券契約には、伝統的に多くの選択肢、つまり組み込みオプションが含まれています。たとえば、多くの債券は、買い手の選択により普通株に転換可能であったり、発行者の選択により指定価格でコール（買い戻し）されることがあります。住宅ローンの借り手は、ローンを早期に返済するオプションを長い間持っていますが、これはコール可能な債券オプションに相当します。

オプション契約は数十年前から知られています。シカゴ オプション取引所は1973 年に設立され、標準化されたフォームと条件を使用する体制を確立し、保証された決済機関を通じて取引を行いました。それ以来、取引活動と学術的関心は高まっています。

今日では、多くのオプションが標準化された形式で作成され、規制されたオプション取引所のクリアリングハウスを通じて取引されています。対照的に、他の店頭オプションは、単一の買い手と売り手（一方または両方がディーラーまたはマーケットメーカーである場合があります）間の二国間、カスタマイズされた契約として作成されます。オプションは、デリバティブ商品、または単にデリバティブと呼ばれる金融商品のより大きなクラスの一部です。^{[6] [7]}

金融オプションとは、2つの契約当事者間の契約であり、オプションの条件はタームシートに明記されている。オプション契約は非常に複雑になることもあるが、少なくとも以下の内容が含まれることが多い。^[8]

• オプション保有者が買う権利（コールオプション）を持っているか売る権利（プットオプション）を持っているか
• 原資産の数量と種類（例：XYZ社B株100株）
• 行使価格とも呼ばれる行使価格は、権利行使時に基礎となる取引が発生する価格です。
• オプションを行使できる最終日である満了日または満了日
• 決済条件、例えば、作家は行使時に実際の資産を引き渡さなければならないのか、それとも単に同等の現金金額を提示すればよいのか
• オプションが市場で提示される条件。提示された価格を実際のプレミアム（保有者がオプション発行者に支払う合計金額）に変換します。

上場オプション（「上場オプション」とも呼ばれる）は、上場デリバティブの一種である。上場オプションは標準化された契約を持ち、オプション決済機構（OCC）によって履行が保証された決済機関を通じて決済される。契約が標準化されているため、正確な価格設定モデルが利用できることが多い。上場オプションには以下のものがある。^{[9] [10]}

• ストックオプション
• 債券オプションおよびその他の金利オプション
• 株式市場指数オプション、または単に指数オプション
• 先物契約オプションと
• コール可能なブル/ベア契約

店頭オプション (OTC オプション、「ディーラー オプション」とも呼ばれる) は、2 つの民間当事者間で取引され、取引所には上場されません。OTC オプションの条件は制限されておらず、あらゆるビジネス ニーズに合わせて個別に調整できます。通常、オプションの発行者は十分な資本を有する機関です (信用リスクを防ぐため)。店頭で一般的に取引されるオプションの種類は次のとおりです。

• 金利オプション
• 通貨クロスレートオプション、および
• スワップまたはスワップションのオプション。

取引所を介さないことで、OTC オプションのユーザーは、オプション契約の条件を個々のビジネス要件に合わせて厳密に調整できます。さらに、OTC オプション取引は一般に市場に宣伝する必要がなく、規制要件もほとんどありません。ただし、OTC の取引相手は相互に信用枠を設定し、相互の清算および決済手順に従う必要があります。

いくつかの例外を除き、^[11]従業員ストックオプションの流通市場は存在しません。これらは、当初の付与者によって行使されるか、失効するかのいずれかにする必要があります。

オプションを取引する最も一般的な方法は、さまざまな先物およびオプション取引所が上場する標準化されたオプション契約を介することです。^{[12]上場銘柄と価格は追跡され、}ティッカーシンボルで検索できます。オプション価格のライブ市場を継続的に公開することにより、取引所は独立した当事者が価格発見に参加し、取引を実行できるようにします。取引の両当事者の仲介者として、取引所が取引に提供する利点は次のとおりです。

• 契約の履行は、通常最高格付け（AAA）を持つ取引所の信用によって裏付けられています。
• 相手方は匿名のまま、
• 公正性と透明性を確保するための市場規制の実施、および
• 特に取引が活発な状況において、秩序ある市場を維持します。

これらの取引は投機家の観点から説明されている。他のポジションと組み合わせれば、ヘッジにも使用できる。米国市場におけるオプション契約は通常、原資産の100株を表す。^{[13] [14]}

株式の価格が上昇すると予想するトレーダーは、株式をそのまま購入する代わりに、コール オプションを購入して、後日、固定価格 (権利行使価格) で株式を購入することができます。オプションにかかる現金支出がプレミアムです。トレーダーには株式を購入する義務はなく、有効期限までに購入する権利があるだけです。株式をそのまま購入した場合に発生する可能性のある損失とは異なり、損失のリスクは支払ったプレミアムに限定されます。

アメリカ式のコール オプションの保有者は、満期日までいつでもオプション保有を売却することができ、特に保有者がオプション価格の下落を予想している場合は、株式のスポット価格が権利行使価格を上回っているときに売却することを検討するでしょう。その状況で早めにオプションを売却することにより、トレーダーは即座に利益を得ることができます。あるいは、トレーダーは (たとえばオプションの二次市場がない場合) オプションを権利行使してから株式を売却して利益を得ることができます。株式のスポット価格がプレミアムよりも上昇すれば、トレーダーは利益を得ることができます。たとえば、権利行使価格が 100 で、支払われたプレミアムが 10 の場合、スポット価格 100 が 110 にしか上昇しなければ、取引は損益分岐点となり、株価が 110 を超えて上昇すれば利益が生まれます。

満期時の株価が権利行使価格よりも低い場合、その時点でのオプション保有者はコール契約を満期にし、プレミアム（または譲渡時に支払った価格）のみを失うことになります。

株式の価格が下がると予想するトレーダーは、プット オプションを購入して、後日、固定価格 (権利行使価格) で株式を売却することができます。トレーダーは株式を売却する義務はありませんが、満期日までに売却する権利があります。満期時の株価が行使価格を下回り、支払ったプレミアムよりも高ければ、トレーダーは利益を得ます。満期時の株価が行使価格を上回っている場合、トレーダーはプット契約を満期にし、支払ったプレミアムのみを失います。取引では、プレミアムは損益分岐点を高める役割も果たします。たとえば、行使価格が 100 で、支払ったプレミアムが 10 の場合、スポット価格が 90 から 100 の間であれば利益は出ません。トレーダーは、スポット価格が 90 を下回った場合にのみ利益を得ます。

株式のプットオプションを行使するトレーダーは、ほとんどの株式を空売りできるため、原資産を所有する必要はありません。

株価が下がると予想するトレーダーは、株を空売りするか、コールを売る、つまり「書く」ことができます。コールを売るトレーダーは、コールの買い手に株を固定価格 (「権利行使価格」) で売る義務があります。オプションが行使されたときに売り手が株を所有していない場合、売り手は市場でその株を現行の市場価格で購入する義務があります。株価が下がった場合、コールの売り手 (コールの書き手) はプレミアムの額の利益を得ます。株価が権利行使価格を超えてプレミアムの額を超えて上昇した場合、売り手は損失を被り、潜在的な損失は無制限になります。

株式の価格が上昇すると予想するトレーダーは、株式を購入するか、またはプットを売る、つまり「書く」ことができます。プットを売るトレーダーは、プットの買い手から固定価格 (「権利行使価格」) で株式を購入する義務があります。満期時の株価が権利行使価格を上回っている場合、プットの売り手 (プットの書き手) はプレミアムの額で利益を得ます。満期時の株価が権利行使価格をプレミアムの額を超えて下回っている場合、トレーダーは損失を被り、損失は権利行使価格からプレミアムを差し引いた額までになります。現金担保のショート プット オプション ポジションのパフォーマンスのベンチマーク インデックスは、CBOE S&P 500 PutWrite Index (ティッカー PUT) です。

4 種類の基本的なオプション取引 (行使価格と満期日が異なる可能性あり) と 2 種類の基本的な株式取引 (ロングとショート) を組み合わせることで、さまざまなオプション戦略が可能になります。単純な戦略では通常、いくつかの取引のみを組み合わせますが、より複雑な戦略では複数の取引を組み合わせることができます。

戦略は、多くの場合、原資産の変動に対して特定のリスク プロファイルを設計するために使用されます。たとえば、バタフライスプレッド (X1 コール 1 個をロング、X2 コール 2 個をショート、X3 コール 1 個をロング) を購入すると、満期日の株価が中間行使価格 X2 に近い場合にトレーダーは利益を得ることができ、大きな損失を被ることはありません。

コンドルはバタフライ スプレッドに似た戦略ですが、ショート オプションの行使価格が異なります。バタフライ スプレッドと比較すると、利益の可能性は高くなりますが、純クレジットは低くなります。

ストラドルを売る（プットとコールの両方を同じ権利行使価格で売る）と、最終株価が権利行使価格に近い場合、トレーダーはバタフライよりも大きな利益を得ることができますが、大きな損失が発生する可能性があります。

ストラドルに似ているのが、コールとプットで構成される ストラングルですが、そのストライクが異なるため、取引の純借方を減らすだけでなく、取引の損失リスクも減らすことができます。

よく知られている戦略の 1 つに、カバード コールがあります。これは、トレーダーが株式を購入し (または以前に購入した株式のポジションを保持し)、コールを売却するものです (これは、ネイキッド コールと対比できます。ネイキッド プットも参照)。株価が権利行使価格を上回った場合、コールが権利行使され、トレーダーは固定の利益を得ます。株価が下落した場合、コールは権利行使されず、トレーダーが被った損失は、コールの売却で受け取ったプレミアムによって部分的に相殺されます。全体として、ペイオフはプットの売却によるペイオフと一致します。この関係はプット・コール パリティとして知られ、金融理論に関する洞察を提供します。バイライト戦略のパフォーマンスのベンチマーク インデックスは、CBOE S&P 500 バイライト インデックス(ティッカー シンボル BXM)です。

もう 1 つの非常に一般的な戦略は、プロテクティブ プットです。これは、トレーダーが株式を購入 (または以前に購入したロング株式ポジションを保持) し、プットを購入する戦略です。この戦略は、原資産のロングに投資する際の保険として機能し、投資家の潜在的な損失をヘッジしますが、プットなしで株式を購入するだけの場合のより大きな利益も縮小します。プロテクティブ プットの最大利益は、原資産のロングを含む戦略であるため、理論上無制限です。最大損失は、原資産の購入価格からプット オプションの行使価格と支払ったプレミアムを差し引いた金額に制限されます。プロテクティブ プットは、マリッジ プットとも呼ばれます。

オプションはいくつかの方法で分類できます。

• コール オプションは、特定の期間に特定の価格で何かを購入する権利（義務ではありません）を保有者に与えます。
• プットオプションは、保有者に特定の期間に特定の価格で何かを売却する権利（義務ではありません）を与えます。

• 物理的な配送オプションでは、商品または在庫の実際の配送が必要になります。
• 現金決済オプションは、結果として生じる現金支払いで決済されます。

• 株式オプション
• 債券オプション
• 将来の選択肢
• インデックスオプション
• 商品オプション
• 通貨オプション
• スワップオプション

特に米国では、もう 1 つの重要なオプションの種類は従業員ストック オプションです。これは、企業が従業員にインセンティブ報酬の形で付与するものです。他の種類のオプションは、多くの金融契約に存在します。たとえば、不動産オプションは、大規模な土地をまとめるのによく使用され、前払いオプションは通常、住宅ローンに含まれています。ただし、評価とリスク管理の原則の多くは、すべての金融オプションに適用されます。

オプションはいくつかのスタイルに分類されますが、最も一般的なものは次のとおりです。

• アメリカンオプション – 満期日当日または満期日前の任意の取引日に権利行使できるオプション。
• ヨーロピアンオプション – 満期時にのみ行使できるオプション。

これらは、多くの場合、バニラオプションと呼ばれます。その他のスタイルには次のものがあります。

• バミューダオプション – 満了日またはその前の指定された日付にのみ行使できるオプション。
• アジアンオプション – 事前に設定された期間の平均原資産価格によってペイオフが決定されるオプション。
• バリアオプション – 行使される前に、原証券の価格が特定のレベルまたは「バリア」を通過する必要があるという一般的な特徴を持つオプション。
• バイナリオプション – 満期時に原資産が定義された条件を満たした場合に全額を支払い、そうでない場合は満期になるオール オア ナッシング オプション。
• エキゾチックオプション – 複雑な金融構造を含む可能性のある幅広いオプションのカテゴリのいずれか。 ^[15]

オプション契約の価値は、原資産の価値に加えてさまざまな変数に依存するため、その評価は複雑です。使用されている価格設定モデルは多数ありますが、すべて基本的に、合理的価格設定（リスク中立性）、マネーネス、オプションの時間価値、プットコールパリティの概念が組み込まれています。

評価自体は、原資産価格の挙動（「プロセス」）のモデルと、想定される挙動の関数としてプレミアムを返す数学的手法を組み合わせたものです。モデルは、株式の（典型的な）ブラック・ショールズ・モデル^{[16] [信頼できない情報源？ ] [17]}から、金利のヒース・ジャロー・モートン・フレームワーク、ボラティリティ自体が確率的であると考えられるヘストン・モデルまで多岐にわたります。さまざまなモデルの一覧については、 資産価格設定を参照してください。

最も基本的な意味では、オプションの価値は通常、次の 2 つの部分に分解されます。

• 最初の部分は本質的価値であり、これは原資産の市場価値と特定のオプションの行使価格の差として定義されます。
• 2 番目の部分は時間価値であり、これは他の一連の要因に依存し、多変数の非線形相互関係を通じて、満期時の差の割引 期待値を反映するものです。

前述のように、オプションの価値は、リスク中立価格設定の原則に基づき、その解決に確率論的計算を使用するさまざまな定量的手法を使用して推定されます。最も基本的なモデルはブラック・ショールズ・モデルです。より洗練されたモデルは、ボラティリティ・スマイルをモデル化するために使用されます。これらのモデルは、さまざまな数値手法を使用して実装されます。^[18]一般に、標準的なオプション評価モデルは次の要因に依存します。

• 原資産の現在の市場価格
• オプションの行使価格、特に原資産の現在の市場価格との関係（イン・ザ・マネーかアウト・オブ・ザ・マネーか）
• 原資産のポジションを保有するためのコスト（利息や配当を含む）
• 運動がいつ行われるかに関する制限と、運動終了までの時間
• オプションの有効期間中の原証券価格の将来の変動率の推定

より高度なモデルでは、時間の経過やさまざまな基礎価格レベルでのボラティリティの変化の推定や、確率的金利のダイナミクスなどの追加要素が必要になる場合があります。

以下は、オプション契約を評価するために実際に使用される主な評価手法です。

ルイ・バシュリエの初期の研究とロバート・C・マートンの後期の研究に続き、フィッシャー・ブラックとマイロン・ショールズは、無配当株に依存するあらゆるデリバティブの価格が満たさなければならない微分方程式を導き出すことで大きな進歩を遂げた。ブラックとショールズは、オプションを保有することによる収益を再現するリスク中立ポートフォリオを構築する手法を採用して、ヨーロピアン・オプションの理論価格の閉形式の解を生み出した。^[19]同時に、このモデルはオプション保有の効果的なリスク管理に必要なヘッジパラメータを生成する。

ブラック・ショールズ・モデルの背後にあるアイデアは画期的で、最終的にショールズとマートンはスウェーデン中央銀行の経済学賞（ノーベル経済学賞とも呼ばれる）を受賞することとなったが^[20] 、実際のオプション取引にこのモデルを適用するのは、継続的な取引、一定のボラティリティ、一定の金利という仮定のため、不器用である。それでも、ブラック・ショールズ・モデルは、結果が妥当な範囲内にある既存の金融市場にとって、今でも最も重要な方法と基盤の1つである。^[21]

1987 年の市場暴落以来、低い権利行使価格のオプションの市場インプライド・ボラティリティは、高い権利行使価格のオプションよりも一般的に高いことが観察されており、これはボラティリティが時間と原証券の価格レベルの両方によって変化することを示唆しています。いわゆるボラティリティ・スマイル、そして時間軸ではボラティリティ・サーフェスと呼ばれます。

ここでの主なアプローチは、ボラティリティを確率的として扱い、その結果得られる確率的ボラティリティモデルとヘストンモデルをプロトタイプとすることです。^[22]ロジックの議論については、#リスク中立尺度を参照してください。他のモデルには、 CEVおよびSABRボラティリティモデルがあります。ただし、ヘストンモデルの主な利点の1つは、他の確率的ボラティリティモデルが複雑な数値手法を必要とするのに対し、閉じた形式で解くことができることです。^[22]

関連はあるものの、別のアプローチとして、ローカル・ボラティリティ・モデルを適用するというものがあります。このモデルでは、ボラティリティは現在の資産レベルと時間の両方の決定論的関数として扱われます。したがって、ローカル・ボラティリティ・モデルは、ボラティリティが定数であるブラック・ショールズ・モデルの一般化です。この概念は、ブルーノ・デュピレ^[23] とエマニュエル・ダーマン、イラジ・カニ^[24]が、ヨーロピアン・オプションの市場価格から得られるリスク中立密度と一致する独自の拡散プロセスがあることに気づいたときに開発されました。議論については#開発を参照してください。 ${\displaystyle S_{t}}$${\displaystyle t}$

債券オプション、スワップション（すなわちスワップ・オプション）、金利キャップおよびフロア（実質的には金利オプション）の評価のために、さまざまな短期金利モデルが開発されている（実際、金利デリバティブ全般に適用可能）。これらの中で最もよく知られているのは、ブラック・ダーマン・トイとハル・ホワイトである。^[25]これらのモデルは、短期金利の将来の推移を記述することによって、金利の将来の推移を説明する。金利モデリングのためのもう1つの主要なフレームワークは、ヒース・ジャロー・モートン・フレームワーク（HJM）である。違いは、HJMは短期金利だけでなく、イールドカーブ全体の分析的記述を与えることである。（HJMフレームワークは、 ブレイス・ガタレク・ムシエラ・モデルと市場モデルを組み込んでいる。そして、いくつかの短期金利モデルは、HJMフレームワークで直接表現できる。）住宅ローン担保証券の評価など、いくつかの目的では、これは大きな単純化になり得る。ここでのより単純なオプション、つまり最初に述べたオプションについては、特定の仮定の下で、代わりにブラック モデルを使用できることに注意してください。

評価モデルが選択されると、そのモデルを実装するためにさまざまな手法が使用されます。

場合によっては、数学モデルを採用し、解析的手法を使用して、ブラック・ショールズ・モデルやブラック・モデルなどの閉じた形式の解を開発することができます。 結果として得られる解は、その「ギリシャ語」と同様に、簡単に計算できます。Roll-Geske-Whaley モデルは配当が 1 つのアメリカン・コールに適用されますが、アメリカン・オプションの他のケースでは、閉じた形式の解は利用できません。ここでの近似には、 Barone-Adesi と Whaley、Bjerksund と Stenslandなど があります。

ブラック・ショールズによる導出に続いて、ジョン・コックス、スティーブン・ロス、マーク・ルビンスタインは二項オプション価格モデルの最初のバージョンを開発した。^{[26] [27]これは、オプションの有効期間中の}離散時間間隔におけるオプションの理論価値のダイナミクスをモデル化する。このモデルは、将来の可能性のある原資産株価の二項ツリーから始まる。オプションと株式のリスクのないポートフォリオを構築することにより（ブラック・ショールズ・モデルのように）、簡単な式を使用してツリーの各ノードのオプション価格を見つけることができます。この値は、ブラック・ショールズによって生成された理論価値に、必要な精度で近似できます。ただし、二項モデルはより柔軟であるため、ブラック・ショールズよりも正確であると考えられています。たとえば、将来の離散配当支払いを適切なフォワードタイムステップで正しくモデル化でき、アメリカンオプションもヨーロピアンオプションと同様にモデル化できます。二項モデルは、プロのオプショントレーダーによって広く使用されています。三項式ツリーは、上昇、下降、または安定したパスを可能にする同様のモデルです。特にモデル化される時間ステップが少ない場合はより正確であると考えられていますが、実装がより複雑なため、あまり一般的には使用されていません。より一般的な議論、および商品、金利、ハイブリッド商品への適用については、格子モデル (金融)を参照してください。

多くの種類のオプションでは、その商品の複雑さのため、従来の評価手法は扱いにくい。このような場合、モンテカルロ法が役に立つことが多い。モンテカルロモデルは、原資産の価格に対するオプションの価値を表す微分方程式を解くのではなく、シミュレーションを使用して原資産のランダムな価格経路を生成し、それぞれの価格経路がオプションのペイオフをもたらす。これらのペイオフの平均を割り引くことで、オプションの期待値が得られる。 ^{[28]ただし、柔軟性があるにもかかわらず、シミュレーションを}アメリカンスタイルのオプションに使用するのは、格子ベースのモデルよりもやや複雑になる点に注意する必要がある。

オプションをモデル化するために使用される方程式は、偏微分方程式として表現されることが多い（たとえば、ブラック・ショールズ方程式を参照）。この形式で表現されると、有限差分モデルを導出し、評価を得ることができる。オプション評価のための有限差分法の実装は多数存在し、明示的有限差分、暗黙的有限差分、クランク・ニコルソン法などがある。三項式ツリーオプション価格設定モデルは、明示的有限差分法の簡略化された適用であることを示すことができる。有限差分アプローチは数学的に洗練されているが、モデル入力（たとえば、配当利回り、リスクフリーレート、ボラティリティ、またはこれらの組み合わせ）が時間の経過とともに変化すると想定され、閉じた形式では扱いにくい場合に特に有用である。

オプションを評価するために使用されてきた他の数値実装には、有限要素法が含まれます。

すべての証券と同様に、オプション取引にはオプションの価値が時間とともに変化するリスクが伴います。ただし、従来の証券とは異なり、オプションを保有することによる収益は、原資産の価値やその他の要因に応じて非線形に変化します。したがって、オプションを保有することに伴うリスクを理解し、予測することはより複雑です。

一般に、オプションの価値の変化は伊藤の補題から次のように導かれます。

${\displaystyle dC=\Delta dS+\Gamma {\frac {dS^{2}}{2}}+\kappa d\sigma +\theta dt\,}$

ここで、ギリシャ文字 、、は、ブラック・ショールズ、などのオプション評価モデルから計算される標準的なヘッジパラメータであり、、 は、それぞれ原資産の価格、原資産のボラティリティ、時間の単位変化です。 ${\displaystyle \Delta }$${\displaystyle \Gamma }$${\displaystyle \kappa }$${\displaystyle \theta }$${\displaystyle dS}$${\displaystyle d\sigma }$${\displaystyle dt}$

したがって、任意の時点で、オプションのヘッジパラメータを計算し、モデル入力、、およびの予想される変化を推定することで、オプションを保有することに伴うリスクを推定できます。ただし、これらの値の変化が小さいことが条件です。この手法は、標準オプションに関連するリスクを理解して管理するために効果的に使用できます。たとえば、オプションの保有を原資産の株式数で相殺することで、トレーダーは原資産の価格の小さな変化による損失をヘッジするデルタ中立ポートフォリオを形成できます。このポートフォリオに対応する価格感度の式は次のとおりです。 ${\displaystyle dS}$${\displaystyle d\sigma }$${\displaystyle dt}$${\displaystyle -\Delta }$${\displaystyle \Pi }$

${\displaystyle d\Pi =\Delta dS+\Gamma {\frac {dS^{2}}{2}}+\kappa d\sigma +\theta dt-\Delta dS=\Gamma {\frac {dS^{2}}{2}}+\kappa d\sigma +\theta dt\,}$

ピンリスクと呼ばれる特別な状況は、オプションが満期前に取引される最終日に、原資産がオプションの権利行使価格またはそれに非常に近い価格で終値した場合に発生する可能性があります。オプションの売り手は、オプションが実際に行使されるか、または満期まで有効になるかどうかを確実に知ることができません。したがって、オプションの売り手は、そのような残余を回避するために最大限の努力を払ったにもかかわらず、満期後の次の取引日に市場が開いたときに、原資産に望ましくない大きな残余ポジションを抱えることになります。

オプションなどのデリバティブにおける、しばしば無視されるさらなるリスクは、カウンターパーティリスクです。オプション契約では、このリスクは、売り手が合意どおりに原資産を売却または購入しないことです。取引を履行できる財務的に強力な仲介者を使用することでリスクを最小限に抑えることができますが、大規模なパニックや暴落が発生すると、債務不履行の数が最も強力な仲介者でさえも圧倒する可能性があります。

リスクを制限するために、ブローカーはアクセス制御システムを使用して、トレーダーが自分に適さない特定のオプション戦略を実行できないように制限します。ブローカーは通常、約4〜5の承認レベルを提供し、最低レベルはリスクが最も低く、最高レベルはリスクが最も高くなります。実際のレベルの数と、各レベルで許可されている特定のオプション戦略は、ブローカーによって異なります。ブローカーには独自の審査基準もありますが、通常はトレーダーの年収と純資産、取引経験、投資目標（資本保全、収入、成長、または投機）などの要素に基づいています。たとえば、給与と純資産が低く、取引経験がほとんどなく、資本保全のみを気にするトレーダーは、通常、ネイキッドコールやネイキッドプットなどの高リスク戦略を実行することはできません。トレーダーは、より高い承認レベルへのアップグレードの許可を要求するときに、情報を更新できます。^[29]

シカゴ・オプション取引所（CBOE）は、イリノイ州シカゴにあるオプション取引所です。1973年に設立されたCBOEは、米国初のオプション取引所です。CBOEは、市場指数、上場投資信託（ETF）、株式、ボラティリティ指数など、さまざまな原資産のオプション取引を提供しています。主力商品は、世界で最も活発に取引されているオプションの1つであるS＆P 500指数（SPX）のオプションです。フロアベースのオープンアウトクライ取引に加えて、CBOEは完全電子取引プラットフォームも運営しています。CBOEは、米国証券取引委員会（SEC）の規制を受けています。^[30]

1790年に設立されたNASDAQ OMX PHLXは、フィラデルフィア証券取引所としても知られ、ペンシルバニア州フィラデルフィアにあるオプションおよび先物取引所です。米国で最も古い証券取引所です。NASDAQ OMX PHLXでは、株式、指数、ETF、および外国通貨のオプションの取引が可能です。米国で通貨オプションの取引に指定された数少ない取引所の1つです。2008年にNASDAQはフィラデルフィア証券取引所を買収し、NASDAQ OMX PHLXに改名しました。NASDAQ, Inc.の子会社として運営されています。^[31]

国際証券取引所（ISE）は、ニューヨーク市にある電子オプション取引所です。2000年に設立されたISEは、米国初の完全電子オプション取引所です。ISEは、米国株、指数、ETFのオプション取引を提供しています。その取引プラットフォームは、マーケットメーカーが注文を競うことができるように、最大​​価格改善オークションを提供しています。ISEはSECによって規制されており、ナスダック社が所有しています。^[32]

ユーレックス取引所は、ドイツのフランクフルトにあるデリバティブ取引所です。金利、株式、指数、債券商品の先物およびオプションの取引を提供しています。1998年にドイツ・ターミンボース（DTB）とスイス・オプション・アンド・ファイナンシャル・フューチャーズ取引所（SOFFEX）の合併により設立されたユーレックス取引所は、電子取引プラットフォームとオープン・アウトクライ取引プラットフォームを運営しています。ユーレックス取引所は、ユーレックス・フランクフルトAGが所有しています。^[33]

東京証券取引所（TSE）は1878年に設立され、日本の東京に所在する証券取引所です。株式に加えて、TSEは株価指数先物とオプションの取引も提供しています。取引は証券会社によるオークション入札だけでなく電子的にも行われます。TSEは日本の金融庁によって規制されています。TSEは日本取引所グループによって所有されています。^[34]

• フィッシャー・ブラックとマイロン・S・ショールズ「オプションと企業負債の価格設定」、政治経済ジャーナル、81（3）、637-654（1973）。
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