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ボラティリティ・スマイルとは、金融オプションの価格設定において生じるインプライド・ボラティリティのパターンです。これは、ブラック・ショールズ式を市場価格に適合させるために修正する必要のあるパラメータ（インプライド・ボラティリティ）です。一般的に、特定の満期日において、行使価格が原資産の先物価格と大きく異なるオプションは、アット・ザ・マネー（原資産の先物価格に近い行使価格）に基づく定ボラティリティ・モデルを用いた予想価格から乖離する傾向があります。
特定の満期日におけるインプライド・ボラティリティをストライク価格に対してグラフ化すると、予想される平坦な面ではなく、歪んだ「スマイル」が現れる。このパターンはさまざまな市場で異なる。米国市場で取引される株式オプションは、1987年の暴落前には顕著なボラティリティ・スマイルを示さなかったが、その後示し始めた。[ 1 ]投資家がファットテールの確率を再評価したことが、アウト・オブ・ザ・マネー・オプションの価格上昇につながったと考えられている。この異常は、一定のボラティリティと原資産収益の対数正規分布を仮定する標準的なブラック・ショールズ・オプション価格モデルの欠陥を示唆している。しかし、経験的な資産収益分布は、ファットテール（尖度）と歪度を示す傾向がある。ボラティリティ・スマイルのモデリングは、定量金融における活発な研究分野であり、確率的ボラティリティ・モデルなどのより優れた価格モデルがこの問題に部分的に対処している。
関連する概念として、ボラティリティの期間構造があります。これは、満期が異なる関連オプション間で（インプライド）ボラティリティがどのように異なるかを説明するものです。インプライドボラティリティ曲面は、特定の原資産に関するすべてのオプションについて、ボラティリティスマイルとボラティリティの期間構造を統合した3次元曲面にプロットした3次元グラフです。
ブラック・ショールズモデルでは、バニラオプションの理論値は、原資産のボラティリティの単調増加関数となります。つまり、通常、オプションの市場価格から一意のインプライド・ボラティリティを算出できます。このインプライド・ボラティリティは、オプション価格のリスケールとして捉えるのが最適であり、異なる権利行使価格、満期日、および原資産間の比較を容易かつ直感的に行うことができます。
インプライド・ボラティリティをストライク価格に対してプロットすると、結果として得られるグラフは、株式市場では一般的に右下がり、通貨市場では谷型になります。株式オプションのようにグラフが右下がりになる市場では、「ボラティリティ・スキュー」という用語がよく使われます。スキューの形状は、 「インプライド・ボラティリティの増加が止まり、横ばいになる傾向がある」ときに「半しかめっ面」と表現することもできます。 [ 2 ] FXオプションや株式指数オプションなど、典型的なグラフが両端で上向きになる他の市場では、より一般的な用語である「ボラティリティ・スマイル」が使われます。たとえば、アップサイド（つまり高ストライク）株式オプションのインプライド・ボラティリティは、通常、アット・ザ・マネー株式オプションよりも低くなります。しかし、外国為替契約のオプションのインプライド・ボラティリティは、下降方向と上昇方向の両方で上昇する傾向があります。株式市場では、一般的に下降傾向にあるインプリシット・ボラティリティ・グラフにおいて、損益分岐点付近にわずかに傾いた笑顔のような形状が見られることがよくあります。この歪んだ笑顔は、「ニヤリとした笑み」と表現されることもあります。
投資の偏りは、機関投資家のヘッジ戦略などの構造的要因から生じる一方、需要の偏りは、特定の行使価格や満期に対する買いまたは売りの関心の集中から生じ、多くの場合、投機的なポジションによって引き起こされます。[ 3 ] 観測された偏りが投資主導か需要主導かを理解することにより、市場センチメントや相対価値の機会を解釈する上で重要となる場合があります。
市場関係者は、インプライド・ボラティリティという用語を用いて、ATM（アット・ザ・マネー）オプションのボラティリティ・パラメータを示します。この値の調整は、リスク・リバーサルとフライ（スキュー）の値を組み込むことによって行われ、デルタが50でないオプションに使用できる実際のボラティリティ指標を決定します。
どこ：
リスクリバーサルは一般的にx %デルタリスクリバーサルとして提示され、基本的にはx %デルタのコールオプションを買い、x %デルタのプットオプションを売ることを意味します。
一方、バタフライは、 y %デルタのコールをロング、y %デルタのプットをロング、ATMコールをショート、ATMプットをショート（小さなハット型）する戦略です。
過去のボラティリティはインプライド・ボラティリティに影響を与える可能性がありますが、両者は異なります。過去のボラティリティは、原資産価格の直近の変動（実現ボラティリティ）を直接的に測定したものです（例えば、過去21日間）。一方、インプライド・ボラティリティは、原資産ではなく、デリバティブ契約自体の市場価格によって決定されます。したがって、同じ原資産に基づく異なるデリバティブ契約は、それぞれの需給ダイナミクスに応じて異なるインプライド・ボラティリティを持ちます。例えば、行使価格100ドル、満期6ヶ月のIBMコールオプションのインプライド・ボラティリティは18%である一方、行使価格105ドル、満期1ヶ月のプットオプションのインプライド・ボラティリティは21%である可能性があります。同時に、IBMの過去21日間の過去のボラティリティは17%である可能性があります（すべてのボラティリティは年率換算のパーセント変動で表されます）。
満期が異なるオプションについても、インプライド・ボラティリティに特徴的な違いが見られます。ただし、この場合、支配的な効果は、今後のイベントに対する市場のインプライド・ボラティリティの影響に関連しています。例えば、企業の決算発表日には、株価の実現ボラティリティが大幅に上昇することがよく知られています。同様に、オプションのインプライド・ボラティリティも決算発表前の期間に上昇し、株価が新たな情報を吸収するとすぐに再び低下します。満期が早いオプションは、満期が長いオプションよりもインプライド・ボラティリティの変動幅が大きくなります（「ボラティリティの変動幅」と呼ばれることもあります）。
他のオプション市場では、異なる動きが見られる。例えば、商品先物オプションは、収穫予測の発表直前にインプライド・ボラティリティが上昇する傾向がある。米国債先物オプションは、連邦準備制度理事会（FRB）の会合（短期金利の変更が発表される時）の直前にインプライド・ボラティリティが上昇する傾向がある。
市場は、ボラティリティの期間構造に他の多くの種類のイベントを組み込んでいます。例えば、新薬治験の今後の結果が製薬株のインプライド・ボラティリティの変動を引き起こす可能性があります。特許訴訟の解決予定日は、テクノロジー株に影響を与える可能性があります。
ボラティリティ期間構造は、インプライド・ボラティリティと満期までの期間の関係を示したものです。期間構造は、トレーダーがオプションの割安性や割高性を判断するためのもう一つの方法となります。
ストライク価格と満期までの期間の両方の関数としてインプライド・ボラティリティをプロットすると便利な場合が多い。[ 4 ]その結果、3 次元でプロットされた 2 次元の曲面が得られ、原資産のすべてのオプションの現在の市場インプライド・ボラティリティ ( z軸) が、ストライク価格 ( y軸) と満期までの期間 ( x軸 "DTM") に対してプロットされる。これは絶対インプライド・ボラティリティ曲面を定義する。ストライク価格をデルタに置き換えるように座標を変更すると、相対インプライド・ボラティリティ曲面が得られる。
インプライド・ボラティリティ・サーフェスは、ボラティリティ・スマイルとボラティリティの期間構造の両方を同時に示します。オプション取引者は、インプライド・ボラティリティ・プロットを使用して、インプライド・ボラティリティ・サーフェスの形状を迅速に判断し、プロットの傾き（ひいては相対的なインプライド・ボラティリティ）が不自然に思える領域を特定します。
このグラフは、特定の原資産株価に対するすべてのプットオプションのインプライドボラティリティ曲面を示しています。z軸はインプライドボラティリティをパーセントで表し、x軸とy軸はオプションデルタと満期までの日数を表します。プット・コールパリティを維持するには、[注1 ]プットオプションは同じ権利行使価格と満期日のコールオプションと同じインプライドボラティリティを持つ必要があることに注意してください。この曲面から、原資産シンボルにはボラティリティスキュー（デルタ軸に沿った傾き）とボラティリティ期間構造の両方があり、近い将来に予想されるイベントを示していることがわかります。
インプライド・ボラティリティ・サーフェスは静的なものであり、特定の時点におけるインプライド・ボラティリティを表します。スポット価格の変化に伴ってサーフェスがどのように変化するかは、インプライド・ボラティリティ・サーフェスの進化と呼ばれます。
一般的なヒューリスティックには以下のようなものがある。
したがって、スポット価格が100ドルから120ドルに変動した場合、スティッキーストライクでは、120ドルのストライクオプションのインプライドボラティリティは変動前の値と同じであると予測されます（ただし、OTMからATMに移行しています）。一方、スティッキーデルタでは、120ドルのストライクオプションのインプライドボラティリティは、変動前の100ドルのストライクオプションのインプライドボラティリティと同じであると予測されます（どちらもその時点ではATMであるため）。
ブラック・ショールズ・モデルは、現物の対数リターンがランダムウォークであると仮定しているため、フォワード分布は対数正規分布であると仮定しています。しかし、実際には、この仮定は多くの証券の挙動と矛盾しています。[ 5 ]フォワードリスク中立確率分布が対数正規分布から逸脱すると、IVは特定の満期日のストライク全体で変動し、言い換えれば、非定常ボラティリティ曲面となります。
ボラティリティ曲面が与えられれば、暗黙のフォワードリスク中立確率分布を決定することが可能である。
ボラティリティ・スマイルをモデル化する手法には、確率的ボラティリティ・モデルと局所的ボラティリティ・モデルがあります。ここで開発された様々な代替アプローチについては、「金融経済学 § 課題と批判」および 「ブラック・ショールズ・モデル § ボラティリティ・スマイル」を参照してください。
