球面調和関数

数学と物理科学において、球面調和関数は球面の表面上で定義される特殊な関数です。多くの科学分野で偏微分方程式を解く際によく使用されます。球面調和関数の表には、一般的な球面調和関数のリストが含まれています。

球面調和関数は完全な直交関数の集合、つまり正規直交基底を形成するため、球面上で定義された各関数は、これらの球面調和関数の和として表すことができます。これは、円上で定義された周期関数が、フーリエ級数を介して円関数(正弦関数と余弦関数)の和として表されるのと似ています。フーリエ級数の正弦関数と余弦関数のように、球面調和関数は、右の図の関数の行に見られるように、 (空間)角周波数によって整理できます。さらに、球面調和関数は、3 次元の回転群であるSO(3)の既約表現の基底関数であるため、SO(3) の群論的議論で中心的な役割を果たします。

球面調和関数は、球面領域でラプラス方程式を解くことから生じる。ラプラス方程式の解である関数は調和関数と呼ばれる。その名前にもかかわらず、球面調和関数は直交座標で最も単純な形を取り、そこではラプラス方程式に従う次数の同次多項式として定義できる。同次性を使用して前述の 次数の多項式から半径方向の依存性の因子を抽出すると、球面座標との関連がすぐに生じる。残りの因子は、球面角座標とのみの​​関数、または同等にこれらの角度で指定される方向単位ベクトルの関数と見なすことができる。この設定では、それらは3次元のラプラス方程式の解の集合の角度部分と見なすことができ、この観点はしばしば代替定義として採用される。ただし、球面調和関数は、 球面上の標準的な円形計量に対するラプラス-ベルトラミ演算子に関して調和的な球面上の関数ではないことに注意してください。調和関数は最大原理を満たすため、この意味で球面上の唯一の調和関数は定数です。球面調和関数は、球面上の関数として、ラプラス-ベルトラミ演算子の固有関数です（高次元を参照）。 ${\displaystyle \ell}$${\displaystyle (x,y,z)}$${\displaystyle r^{\ell}}$${\displaystyle \ell}$${\displaystyle \theta}$${\displaystyle \varphi}$ ${\displaystyle \mathbf {r} }$

またはで示される特定の球面調和関数の集合は、1782年にピエール・シモン・ド・ラプラスによって初めて導入されたため、ラプラスの球面調和関数として知られています。 ^{[1]これらの関数は}直交系を形成し、したがって上で言及したように球面上の一般関数の展開の基礎となります。 ${\displaystyle Y_{\ell }^{m}(\theta ,\varphi )}$${\displaystyle Y_{\ell }^{m}({\mathbf {r} })}$

球面調和関数は、多極静電場や電磁場、電子配置、重力場、ジオイド、惑星や恒星の磁場、宇宙マイクロ波背景放射などの表現を含む、多くの理論的および実際的な応用において重要です。3Dコンピュータ グラフィックスでは、球面調和関数は、間接照明 (アンビエント オクルージョン、グローバル イルミネーション、事前計算された放射伝達など) や 3D 形状のモデリングなど、さまざまなトピックで役割を果たします。

球面調和関数は、ニュートンの万有引力の法則のニュートン力学ポテンシャルと関連して、3次元で初めて研究されました。1782年、ピエール・シモン・ド・ラプラスは著書『天体力学』で、点x iにある_質点m i_の集合に関連する点xの重力ポテンシャルは、次のように与えられると決定しました。 ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}\to \mathbb {R} }$

$${\displaystyle V(\mathbf {x} )=\sum _{i}{\frac {m_{i}}{|\mathbf {x} _{i}-\mathbf {x} |}}.}$$

上記の合計の各項は、質点の個々のニュートンポテンシャルです。その直前に、アドリアン・マリー・ルジャンドルは、ニュートンポテンシャルのr = | x |およびr ₁ = | x ₁ |の累乗展開を調査しました。彼は、r ≤ r ₁の 場合、

$${\displaystyle {\frac {1}{|\mathbf {x} _{1}-\mathbf {x} |}}=P_{0}(\cos \gamma ){\frac {1}{r_{1 }}}+P_{1}(\cos \gamma ){\frac {r}{r_{1}^{2}}}+P_{2}(\cos \gamma ){\frac {r^{2}}{r_{1}^{3}}}+\cdots }$$

ここで、γ はベクトルxとx _{1 の}間の角度です。関数はルジャンドル多項式であり、球面調和関数の特殊なケースとして導出できます。その後、ラプラスは 1782 年の回想録で、球面座標を使用してこれらの係数を調査し、x ₁とx の間の角度γを表しました。(詳細については、 ルジャンドル多項式 § 応用を参照してください。)${\displaystyle P_{i}:[-1,1]\to \mathbb {R} }$

1867 年、ウィリアム トムソン(ケルビン卿) とピーター ガスリー テイトは、自然哲学論文で固体球面調和関数を導入し、これらの関数に「球面調和関数」という名前を初めて導入しました。固体調和関数は、ラプラス方程式の同次多項式解でした。 ラプラス方程式を球座標で調べることで、トムソンとテイトはラプラスの球面調和関数を復元しました (調和多項式表現を参照)。「ラプラス係数」という用語は、ウィリアムヒューウェルがこれらの線に沿って導入された特定の解のシステムを説明するために使用しましたが、他の人はこの呼称を、ラプラスとルジャンドルによって適切に導入されたゾーン球面調和関数のために留保しました。 ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}\to \mathbb {R} }$ $${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}u}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}u}{\partial z^{2}}}=0.}$$

19 世紀にフーリエ級数が開発されたことで、熱方程式や波動方程式などのさまざまな物理的問題を長方形領域で解くことが可能になった。これは、関数を三角関数の級数に展開することで実現できる。フーリエ級数の三角関数が弦の振動の基本モードを表すのに対し、球面調和関数はほぼ同じように球の振動の基本モードを表す。フーリエ級数の理論の多くの側面は、三角関数ではなく球面調和関数で展開することで一般化できる。さらに、三角関数が複素指数関数として同等に記述できるのと同様に、球面調和関数も複素数値関数として同等の形を持っていた。これは、もともとラプラスとルジャンドルが研究した天体力学などの 球対称性を持つ問題にとって恩恵であった。

球面調和関数は物理学ですでに普及しており、20 世紀に量子力学が誕生した際にその重要性が高まりました。(複素数値の) 球面調和関数は、軌道角運動量演算子 の 2 乗の固有関数である ため、原子軌道のさまざまな量子化された構成を表します。 ${\displaystyle S^{2}\to \mathbb {C} }$$${\displaystyle -i\hbar \mathbf {r} \times \nabla ,}$$

ラプラス方程式は、スカラー場fのラプラシアンがゼロであることを規定している。（ここで、スカラー場は複素数、すなわち（滑らかな）関数に対応するものと理解されている。）球面座標では、これは次のようになる：^[2]${\displaystyle f:\mathbb {R} ^{3}\to \mathbb {C} }$

$${\displaystyle \nabla^{2}f={\frac {1}{r^{2}}}{\frac {\partial }{\partial r}}\left(r^{2}{\frac {\partial f}{\partial r}}\right)+{\frac {1}{r^{2}\sin \theta }}{\frac {\partial }{\partial \theta }}\left(\sin \theta {\frac {\partial f}{\partial \theta }}\right)+{\frac {1}{r^{2}\sin ^{2}\theta }}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial \varphi ^{2}}}=0.}$$

f ( r , θ , φ ) = R ( r ) Y ( θ , φ )の形式の解を求める問題を考えてみましょう。変数分離により、ラプラス方程式を適用することで2つの微分方程式が得られます。2番目の方程式は 、 YがY ( θ , φ ) = Θ( θ ) Φ( φ )という形式である と仮定して簡略化できます。2番目の方程式に再び変数分離を適用すると、次の微分方程式のペアが得られます 。$${\displaystyle {\frac {1}{R}}{\frac {d}{dr}}\left(r^{2}{\frac {dR}{dr}}\right)=\lambda ,\qquad {\frac {1}{Y}}{\frac {1}{\sin \theta }}{\frac {\partial }{\partial \theta }}\left(\sin \theta {\frac {\partial Y}{\partial \theta }}\right)+{\frac {1}{Y}}{\frac {1}{\sin ^{2}\theta }}{\frac {\partial ^{2}Y}{\partial \varphi ^{2}}}=-\lambda .}$$

$${\displaystyle {\frac {1}{\Phi }}{\frac {d^{2}\Phi }{d\varphi ^{2}}}=-m^{2}}$$ $${\displaystyle \lambda \sin ^{2}\theta +{\frac {\sin \theta }{\Theta }}{\frac {d}{d\theta }}\left(\sin \theta {\frac {d\Theta }{d\theta }}\right)=m^{2}}$$

となる。先験的には、 mは複素定数であるが、Φ は周期が2 π を均等に割り切る周期関数でなければならないため、m は必然的に整数となり、Φ は複素指数関数e ^{± imφ}の線形結合となる。解関数Y ( θ , φ ) は、 θ = 0, πである球面の極で正則となる。領域の境界点で第 2 方程式の解Θにこの正則性を課すことは、シュトゥルム・リウヴィル問題であり、パラメータλは、 ℓ ≥ | m |となる負でない整数に対してλ = ℓ ( ℓ + 1)の形にならなければならない。これは、軌道角運動量の観点からも以下で説明される。さらに、変数変換t = cos θにより、この方程式はルジャンドル方程式に変換され、その解は、ルジャンドルの随伴多項式P ^メートル
_リットル(cos θ ) 。最後に、 Rの方程式はR ( r ) = A r ^ℓ + B r ^{− ℓ − 1}の形の解を持ちます。R 3全体にわたって解が正則であることが必要で、B = 0 と^なります。^[3]

ここで、解は特別な形式Y ( θ , φ ) = Θ( θ ) Φ( φ )であると仮定しました。 ℓの値が与えられた場合、この形式の独立した解は2 ℓ + 1 個あり、 − ℓ ≤ m ≤ ℓとなる整数mごとに 1 つずつあります。 これらの角度解は、ここでは複素指数関数として表される三角関数と、ルジャンドルの随伴多項式 の積です。${\displaystyle Y_{\ell}^{m}:S^{2}\to \mathbb {C} }$

$${\displaystyle Y_{\ell }^{m}(\theta ,\varphi )=Ne^{im\varphi }P_{\ell }^{m}(\cos {\theta })}$$

満たす $${\displaystyle r^{2}\nabla ^{2}Y_{\ell }^{m}(\theta ,\varphi )=-\ell (\ell +1)Y_{\ell }^{m}( \theta 、\varphi ).}$$

ここで は次数ℓ、次数mの球面調和関数と呼ばれ、は準ルジャンドル多項式、Nは正規化定数、^[4] θとφ はそれぞれ余緯度と経度を表します。特に、余緯度θ、つまり極角は、北極の0から赤道のπ /2、南極のπまでの範囲にあり、経度φ、つまり方位角は、 0 ≤ φ < 2 πのすべての値を取ることができます。固定整数ℓに対して、固有値問題の すべての解Y ( θ , φ )、 、は の線形結合 です。実際、そのような解のいずれについても、r ^ℓ Y ( θ , φ )は、調和的な同次多項式(以下を参照)の球座標での表現であり、次元を数えると、そのような多項式が2 ℓ + 1線形独立で あることがわかります。${\displaystyle Y_{\ell}^{m}:S^{2}\to \mathbb {C} }$${\displaystyle P_{\ell}^{m}:[-1,1]\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle Y:S^{2}\to \mathbb {C} }$$${\displaystyle r^{2}\nabla ^{2}Y=-\ell (\ell +1)Y}$$${\displaystyle Y_{\ell}^{m}:S^{2}\to \mathbb {C} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}\to \mathbb {C} }$

原点を中心とする球におけるラプラス方程式の一般解は、球面調和関数の線形結合に適切なスケール係数r ^ℓを乗じたものである。 ${\displaystyle f:\mathbb {R} ^{3}\to \mathbb {C} }$ ${\displaystyle \Delta f=0}$

$${\displaystyle f(r,\theta ,\varphi )=\sum _{\ell =0}^{\infty }\sum _{m=-\ell }^{\ell }f_{\ell }^{m}r^{\ell }Y_{\ell }^{m}(\theta ,\varphi ),}$$

ここで、は定数であり、因子r ^ℓ Y ℓ _m^は（正則）固体調和関数として知られている。このような展開は球面上で有効である。${\displaystyle f_{\ell }^{m}\in \mathbb {C} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}\to \mathbb {C} }$

$${\displaystyle r<R={\frac {1}{\limsup _{\ell \to \infty }|f_{\ell }^{m}|^{{1}/{\ell }}}}.}$$

については、代わりに の負のべきを持つ固体調和関数（不規則固体調和関数）が選択されます。その場合、項を一致させて級数展開係数 を見つけるために、上で使用したテイラー級数（ について）の代わりに、ローラン級数（ について）で既知の領域の解を展開する必要があります。 ${\displaystyle r>R}$${\displaystyle r}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}\setminus \{\mathbf {0} \}\to \mathbb {C} }$${\displaystyle r=\infty }$${\displaystyle r=0}$${\displaystyle f_{\ell }^{m}\in \mathbb {C} }$

量子力学では、ラプラスの球面調和関数は軌道角運動量の観点から理解されています^[5] ħ は量子力学では慣例であり、 ħ = 1 の単位で作業すると便利です。球面調和関数は軌道角運動量の2乗の固有関数です 。ラプラスの球面調和関数は、軌道角運動量の2乗と方位軸の周りの回転の生成子の結合固有関数です。 $${\displaystyle \mathbf {L} =-i\hbar (\mathbf {x} \times \mathbf {\nabla } )=L_{x}\mathbf {i} +L_{y}\mathbf {j} +L_{z}\mathbf {k} .}$$$${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {L} ^{2}&=-r^{2}\nabla ^{2}+\left(r{\frac {\partial }{\partial r}}+1\right)r{\frac {\partial }{\partial r}}\\&=-{\frac {1}{\sin \theta }}{\frac {\partial }{\partial \theta }}\sin \theta {\frac {\partial }{\partial \theta }}-{\frac {1}{\sin ^{2}\theta }}{\frac {\partial ^{2}}{\partial \varphi ^{2}}}.\end{aligned}}}$$$${\displaystyle {\begin{aligned}L_{z}&=-i\left(x{\frac {\partial }{\partial y}}-y{\frac {\partial }{\partial x}}\right)\\&=-i{\frac {\partial }{\partial \varphi }}.\end{aligned}}}$$

これらの演算子は可換であり、R ³上の重み関数として正規分布に関して二乗積分可能な関数fの重み付きヒルベルト空間上の稠密に定義された 自己随伴演算子です。 さらに、L ^2は正の演算子です。 $${\displaystyle {\frac {1}{(2\pi )^{3/2}}}\int _{\mathbb {R} ^{3}}|f(x)|^{2}e^{-|x|^{2}/2}\,dx<\infty .}$$

Y がL ²とL _zの結合固有関数である場合、定義により、 いくつかの実数mおよびλに対して成り立ちます。ここで、m は実際には整数でなければなりません。これは、 Y が座標φにおいて周期が 2 π を均等に割り切る数でなければならないためです。さらに、 およびL _x、L _y、L _z のそれぞれが自己随伴であるため、λ ≥ m ²となります。 $${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {L} ^{2}Y&=\lambda Y\\L_{z}Y&=mY\end{aligned}}}$$$${\displaystyle \mathbf {L} ^{2}=L_{x}^{2}+L_{y}^{2}+L_{z}^{2}}$$

この結合固有空間をE _{λ , m}で表し、上昇演算子と下降演算子を 次のように 定義します。すると、 L ₊とL _{− は}L ²と可換となり、 L ₊ , L ₋ , L _zによって生成されるリー代数は、交換関係を持つ 2 次特殊線型リー代数となります。 したがって、L ₊  : E _{λ , m} → E _{λ , m +1} (これは「上昇演算子」です) およびL ₋  : E _{λ , m} → E _{λ , m −1} (これは「下降演算子」です) となります。特に、L$${\displaystyle {\begin{aligned}L_{+}&=L_{x}+iL_{y}\\L_{-}&=L_{x}-iL_{y}\end{aligned}}}$$${\displaystyle {\mathfrak {sl}}_{2}(\mathbb {C} )}$$${\displaystyle [L_{z},L_{+}]=L_{+},\quad [L_{z},L_{-}]=-L_{-},\quad [L_{+},L_{-}]=2L_{z}.}$$^か
₊ : E _{λ , m} → E _{λ , m + k は}、 kが十分に大きい場合、ゼロでなければなりません。これは、不等式λ ≥ m ²が各非自明な結合固有空間で成立する必要があるためです。Y ∈ E _{λ , m を}非ゼロの結合固有関数とし、k を次の式を満たす最小の整数と します。 すると 、次の 式が成り立つ ため、正の整数ℓ = m + kに対してλ = ℓ ( ℓ + 1) となります。 $${\displaystyle L_{+}^{k}Y=0.}$$$${\displaystyle L_{-}L_{+}=\mathbf {L} ^{2}-L_{z}^{2}-L_{z}}$$$${\displaystyle 0=L_{-}L_{+}^{k}Y=(\lambda -(m+k)^{2}-(m+k))Y.}$$

これまではすべて球面座標表現で説明してきましたが、完全な正規直交球面ケット基底でより抽象的に表現することもできます。 ${\displaystyle \langle \theta ,\varphi |lm\rangle =Y_{l}^{m}(\theta ,\varphi )}$

球面調和関数は、特定の多項式関数 の単位球面への制限として表現できます。具体的には、 すべての実数およびすべてのに対して である場合、 (複素数値)多項式関数は次数の同次であるといえます。 がラプラシアンである 場合、 は調和的であるといえます。次に、各 に対して、次のように定義します。 ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}\to \mathbb {C} }$${\displaystyle p:\mathbb {R} ^{3}\to \mathbb {C} }$${\displaystyle \ell }$$${\displaystyle p(\lambda \mathbf {x} )=\lambda ^{\ell }p(\mathbf {x} )}$$${\displaystyle \lambda \in \mathbb {R} }$${\displaystyle x\in \mathbb {R} ^{3}}$${\displaystyle p}$$${\displaystyle \Delta p=0,}$$${\displaystyle \Delta }$${\displaystyle \ell }$$${\displaystyle \mathbf {A} _{\ell }=\left\{{\text{harmonic polynomials }}\mathbb {R} ^{3}\to \mathbb {C} {\text{ that are homogeneous of degree }}\ell \right\}.}$$

たとえば、 のとき、はすべての線形関数 の 3 次元空間になります。これは、そのような関数はすべて自動的に調和関数になるからです。一方、 のときは、5 次元空間になります。 ${\displaystyle \ell =1}$${\displaystyle \mathbf {A} _{1}}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}\to \mathbb {C} }$${\displaystyle \ell =2}$$${\displaystyle \mathbf {A} _{2}=\operatorname {span} _{\mathbb {C} }(x_{1}x_{2},\,x_{1}x_{3},\,x_{2}x_{3},\,x_{1}^{2}-x_{2}^{2},\,x_{1}^{2}-x_{3}^{2}).}$$

任意の に対して、次数の球面調和関数の空間は、の元の球面への制限の空間に他なりません。^{[6]序論で示唆したように、この観点はおそらく「球面調和関数」（すなわち、}調和関数の球面への制限）という用語の起源です。 ${\displaystyle \ell }$${\displaystyle \mathbf {H} _{\ell }}$${\displaystyle \ell }$${\displaystyle S^{2}}$${\displaystyle \mathbf {A} _{\ell }}$

たとえば、任意の に対して、公式は の定義域と共定義域を持つ 次数の同次多項式を定義しますが、これは とは独立です。この多項式は調和多項式であることが簡単にわかります。 を球座標で書き、 に制限すると、次 が 得られます。 これは と書き直すことができます。ルジャンドル従属多項式 の公式を使用した後、これを球面調和関数の公式として認識できます^[7] (「特殊なケース」を参照)。 ${\displaystyle c\in \mathbb {C} }$$${\displaystyle p(x_{1},x_{2},x_{3})=c(x_{1}+ix_{2})^{\ell }}$$${\displaystyle \ell }$${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}\to \mathbb {C} }$${\displaystyle x_{3}}$${\displaystyle p}$${\displaystyle (r,\theta ,\varphi )}$${\displaystyle r=1}$$${\displaystyle p(\theta ,\varphi )=c\sin(\theta )^{\ell }(\cos(\varphi )+i\sin(\varphi ))^{\ell },}$$$${\displaystyle p(\theta ,\varphi )=c\left({\sqrt {1-\cos ^{2}(\theta )}}\right)^{\ell }e^{i\ell \varphi }.}$$ ${\displaystyle P_{\ell }^{\ell }}$${\displaystyle Y_{\ell }^{\ell }(\theta ,\varphi ).}$

ラプラス球面調和関数 では、いくつかの異なる正規化が一般的に使用されています。このセクション全体で、 に対して という標準的な規則を使用します(ルジャンドル多項式 を参照) 。これは、ロドリゲスの公式によって与えられる自然な正規化です。 ${\displaystyle S^{2}\to \mathbb {C} }$${\displaystyle m>0}$$${\displaystyle P_{\ell }^{-m}=(-1)^{m}{\frac {(\ell -m)!}{(\ell +m)!}}P_{\ell }^{m}}$$

音響学では^[8]ラプラス球面調和関数は一般的に次のように定義されます（これはこの記事で使用されている慣例です）。 一方、量子力学 では次のように定義されます。 ^{[9] [10]}$${\displaystyle Y_{\ell }^{m}(\theta ,\varphi )={\sqrt {{\frac {(2\ell +1)}{4\pi }}{\frac {(\ell -m)!}{(\ell +m)!}}}}\,P_{\ell }^{m}(\cos {\theta })\,e^{im\varphi }}$$ $${\displaystyle Y_{\ell }^{m}(\theta ,\varphi )=(-1)^{m}{\sqrt {{\frac {(2\ell +1)}{4\pi }}{\frac {(\ell -m)!}{(\ell +m)!}}}}\,P_{\ell }^{m}(\cos {\theta })\,e^{im\varphi }}$$

ここで、コンドン・ショートリー位相を除いたルジャンドル多項式です（位相を2回カウントするのを避けるため）。 ${\displaystyle P_{\ell }^{m}}$

どちらの定義でも、球面調和関数は正規直交であり 、δ _ijはクロネッカーデルタ、d Ω = sin( θ ) dφ dθである。この正規化は確率が正規化されることを保証するため、量子力学で使用される。 $${\displaystyle \int _{\theta =0}^{\pi }\int _{\varphi =0}^{2\pi }Y_{\ell }^{m}\,Y_{\ell '}^{m'}{}^{*}\,d\Omega =\delta _{\ell \ell '}\,\delta _{mm'},}$$ $${\displaystyle \int {|Y_{\ell }^{m}|^{2}d\Omega }=1.}$$

測地学^[11]とスペクトル解析 の分野では、

$${\displaystyle Y_{\ell }^{m}(\theta ,\varphi )={\sqrt {{(2\ell +1)}{\frac {(\ell -m)!}{(\ell +m)!}}}}\,P_{\ell }^{m}(\cos {\theta })\,e^{im\varphi }}$$

単位力を持つ

$${\displaystyle {\frac {1}{4\pi }}\int _{\theta =0}^{\pi }\int _{\varphi =0}^{2\pi }Y_{\ell }^{m}\,Y_{\ell '}^{m'}{}^{*}d\Omega =\delta _{\ell \ell '}\,\delta _{mm'}.}$$

対照的に、磁気学^[11]の分野では、シュミットの半正規化高調波

$${\displaystyle Y_{\ell }^{m}(\theta ,\varphi )={\sqrt {\frac {(\ell -m)!}{(\ell +m)!}}}\,P_{\ell }^{m}(\cos {\theta })\,e^{im\varphi }}$$

正規化されている

$${\displaystyle \int _{\theta =0}^{\pi }\int _{\varphi =0}^{2\pi }Y_{\ell }^{m}\,Y_{\ell '}^{m'}{}^{*}d\Omega ={\frac {4\pi }{(2\ell +1)}}\delta _{\ell \ell '}\,\delta _{mm'}.}$$

量子力学でもこの正規化が時々使用され、ジュリオ・ラカーにちなんでラカーの正規化と名付けられています。

上記の正規化された球面調和関数はすべて、

$${\displaystyle Y_{\ell }^{m}{}^{*}(\theta ,\varphi )=(-1)^{-m}Y_{\ell }^{-m}(\theta ,\varphi ),}$$

ここで、上付き文字* は複素共役を表します。あるいは、この式は球面調和関数とウィグナー D 行列の関係から導かれます。

球面調和関数の定義に関する混乱の原因の 1 つは、量子力学の文献で一般にコンドン・ショートリー位相と呼ばれる位相係数 に関するものです。量子力学のコミュニティでは、この位相係数をルジャンドル随伴多項式の定義に含めるか、球面調和関数の定義に追加するのが一般的な方法です。球面調和関数の定義にコンドン・ショートリー位相を使用する必要はありませんが、これを含めると、特に昇順演算子 と降順演算子の適用など、一部の量子力学演算が簡素化されます。測地学^[12]と磁気学のコミュニティでは、球面調和関数の定義にもルジャンドル随伴多項式の定義にもコンドン・ショートリー位相係数を含めることはありません。^[13]${\displaystyle (-1)^{m}}$

球面調和関数の実数基底は、複素数類似物を用いて 次のように定義できる。ここでは一貫性を保つためにコンドン・ショートリー位相規則が用いられる。実球面調和関数を用いて 複素数球面調和関数を定義する対応する逆方程式は、 ${\displaystyle Y_{\ell m}:S^{2}\to \mathbb {R} }$${\displaystyle Y_{\ell }^{m}:S^{2}\to \mathbb {C} }$$${\displaystyle {\begin{aligned}Y_{\ell m}&={\begin{cases}{\dfrac {i}{\sqrt {2}}}\left(Y_{\ell }^{m}-(-1)^{m}\,Y_{\ell }^{-m}\right)&{\text{if}}\ m<0\\Y_{\ell }^{0}&{\text{if}}\ m=0\\{\dfrac {1}{\sqrt {2}}}\left(Y_{\ell }^{-m}+(-1)^{m}\,Y_{\ell }^{m}\right)&{\text{if}}\ m>0.\end{cases}}\\&={\begin{cases}{\dfrac {i}{\sqrt {2}}}\left(Y_{\ell }^{-|m|}-(-1)^{m}\,Y_{\ell }^{|m|}\right)&{\text{if}}\ m<0\\Y_{\ell }^{0}&{\text{if}}\ m=0\\{\dfrac {1}{\sqrt {2}}}\left(Y_{\ell }^{-|m|}+(-1)^{m}\,Y_{\ell }^{|m|}\right)&{\text{if}}\ m>0.\end{cases}}\\&={\begin{cases}{\sqrt {2}}\,(-1)^{m}\,\Im [{Y_{\ell }^{|m|}}]&{\text{if}}\ m<0\\Y_{\ell }^{0}&{\text{if}}\ m=0\\{\sqrt {2}}\,(-1)^{m}\,\Re [{Y_{\ell }^{m}}]&{\text{if}}\ m>0.\end{cases}}\end{aligned}}}$$${\displaystyle Y_{\ell }^{m}:S^{2}\to \mathbb {C} }$${\displaystyle Y_{\ell m}:S^{2}\to \mathbb {R} }$$${\displaystyle Y_{\ell }^{m}={\begin{cases}{\dfrac {1}{\sqrt {2}}}\left(Y_{\ell |m|}-iY_{\ell ,-|m|}\right)&{\text{if}}\ m<0\\[4pt]Y_{\ell 0}&{\text{if}}\ m=0\\[4pt]{\dfrac {(-1)^{m}}{\sqrt {2}}}\left(Y_{\ell |m|}+iY_{\ell ,-|m|}\right)&{\text{if}}\ m>0.\end{cases}}}$$

実球面調和関数は、テッセラル球面調和関数と呼ばれることもあります。^[14]これらの関数は、上記の複素関数と同じ正規直交性を持っています。m > 0の実球面調和関数はコサイン型、m < 0の実球面調和関数はサイン型と呼ばれます。この理由は、関数をルジャンドル多項式で次のように書くことでわかります。 ${\displaystyle Y_{\ell m}:S^{2}\to \mathbb {R} }$${\displaystyle Y_{\ell }^{m}:S^{2}\to \mathbb {C} }$${\displaystyle Y_{\ell m}}$$${\displaystyle Y_{\ell m}={\begin{cases}\left(-1\right)^{m}{\sqrt {2}}{\sqrt {{\dfrac {2\ell +1}{4\pi }}{\dfrac {(\ell -|m|)!}{(\ell +|m|)!}}}}\;P_{\ell }^{|m|}(\cos \theta )\ \sin(|m|\varphi )&{\text{if }}m<0\\[4pt]{\sqrt {\dfrac {2\ell +1}{4\pi }}}\ P_{\ell }^{m}(\cos \theta )&{\text{if }}m=0\\[4pt]\left(-1\right)^{m}{\sqrt {2}}{\sqrt {{\dfrac {2\ell +1}{4\pi }}{\dfrac {(\ell -m)!}{(\ell +m)!}}}}\;P_{\ell }^{m}(\cos \theta )\ \cos(m\varphi )&{\text{if }}m>0\,.\end{cases}}}$$

同じ正弦係数と余弦係数は、直交座標表現を扱う次のサブセクションでも見られます。

までの実球面調和関数のリストについては、ここを参照してください。これは、上記の方程式の出力と一致することがわかります。 ${\displaystyle \ell =4}$

水素原子の解析解からわかるように、波動関数の角度部分の固有関数は球面調和関数です。ただし、磁気項のない非相対論的シュレーディンガー方程式の解は実数にすることができます。これが、量子化学の基底関数で実数形式が広く使用されている理由です。プログラムで複素代数を使用する必要がないためです。ここで、実数関数は複素関数と同じ空間をカバーします。

たとえば、球面調和関数の表からわかるように、通常のp関数 ( ) は複素数で軸方向が混在していますが、実数バージョンは基本的にx、y、zだけです。 ${\displaystyle \ell =1}$

複素球面調和関数は、 から の全体に を次数 の同次関数として拡張することによって、つまり と設定すること によって、立体調和関数を生じます。 は、次数 の調和多項式と同次多項式の空間の基底である ことがわかります。より具体的には、これは回転群のこの表現の (正規化まで一意の) ゲルファント-ツェトリン基底であり、その事実から、直交座標におけるの明示的な式を導くことができます。 ${\displaystyle Y_{\ell }^{m}}$${\displaystyle S^{2}}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$${\displaystyle \ell }$$${\displaystyle R_{\ell }^{m}(v):=\|v\|^{\ell }Y_{\ell }^{m}\left({\frac {v}{\|v\|}}\right)}$$${\displaystyle R_{\ell }^{m}}$${\displaystyle \ell }$${\displaystyle SO(3)}$${\displaystyle R_{\ell }^{m}}$

量子力学の慣例が に採用された場合、 と なります。 ここで、 は、 、を成分とするベクトルであり、 は 複素座標を持つベクトルです。 ${\displaystyle Y_{\ell }^{m}:S^{2}\to \mathbb {C} }$$${\displaystyle e^{v{\mathbf {a} }\cdot {\mathbf {r} }}=\sum _{\ell =0}^{\infty }\sum _{m=-\ell }^{\ell }{\sqrt {\frac {4\pi }{2\ell +1}}}{\frac {r^{\ell }v^{\ell }{\lambda ^{m}}}{\sqrt {(\ell +m)!(\ell -m)!}}}Y_{\ell }^{m}(\mathbf {r} /r).}$$${\displaystyle \mathbf {r} }$${\displaystyle (x,y,z)\in \mathbb {R} ^{3}}$${\displaystyle r=|\mathbf {r} |}$$${\displaystyle {\mathbf {a} }={\mathbf {\hat {z}} }-{\frac {\lambda }{2}}\left({\mathbf {\hat {x}} }+i{\mathbf {\hat {y}} }\right)+{\frac {1}{2\lambda }}\left({\mathbf {\hat {x}} }-i{\mathbf {\hat {y}} }\right).}$$ ${\displaystyle \mathbf {a} }$

${\displaystyle \mathbf {a} =[{\frac {1}{2}}({\frac {1}{\lambda }}-\lambda ),-{\frac {i}{2}}({\frac {1}{\lambda }}+\lambda ),1].}$

の本質的な性質は、それが null であることです。 ${\displaystyle \mathbf {a} }$$${\displaystyle \mathbf {a} \cdot \mathbf {a} =0.}$$

と を実パラメータとしてとれば十分です。この生成関数をHerglotzにちなんで命名したのは、Courant & Hilbert 1962, §VII.7 に従っており、この発見は Herglotz による未発表のノートによるものです。 ${\displaystyle v}$${\displaystyle \lambda }$