曲率

弧長によってパラメータ化された曲線は、ギリシャ文字ガンマに上線が付いたベクトル値関数– γで表され、曲線上の点Pの位置を、曲線上の別の基準点からの弧長距離sで表します。したがって、ある区間I = [ a , b ]に対して、${\displaystyle \mathbb {R} }$、– γ : I →${\displaystyle \mathbb {R} }$ⁿと

$${\displaystyle {\boldsymbol {P}}(s)={\boldsymbol {\bar {\gamma }}}(s).}$$

–γが微分可能な曲線である場合、–γの1階微分である–γ′ ( s )は単位接線ベクトルT ( s )であり、

$${\displaystyle \left\|{\boldsymbol {\bar {\gamma }}}'(s)\right\|=1}$$

$$\displaystyle {\boldsymbol {T}}(s)={\boldsymbol {\bar {\gamma }}}'(s).}$$

-γが2回微分可能であれば、 -γの2階微分はT ′ ( s )であり、これは曲率ベクトルK ( s )でもある。

$${\displaystyle {\boldsymbol {K}}(s)={\boldsymbol {T}}'(s)={\boldsymbol {\bar {\gamma }}}''(s)}$$

曲率は、–γの2階微分の大きさです。 $${\displaystyle \kappa (s)=\left\|{\boldsymbol {K}}(s)\right\|=\left\|{\boldsymbol {T}}'(s)\right\|=\left\|{\boldsymbol {\bar {\gamma }}}''(s)\right\|}$$

パラメータs は時間パラメータとしても解釈できます。この場合、– γ (s) は 一定の単位速度で曲線に沿って移動する粒子の軌跡を表します。曲率は、粒子の方向がどれだけ速く回転するかの尺度として理解できます。^{[ 5 ]}

2回微分可能な曲線γ : [ a , b ] →${\displaystyle \mathbb {R} }$弧長によってパラメータ化されていない^nは、 γ ′ (t)常にゼロではなく、1/ ‖ γ ′ (t) ‖ が常に有限の正の数である限り、弧長によって再パラメータ化できます。

弧長パラメータsは次のように定義される。

$${\displaystyle s(t)~{=}~\int _{a}^{t}\left\|{\boldsymbol {\gamma }}'(x)\right\|\,\mathrm {d} {x},}$$

逆関数t ( s )を持つ。弧長パラメータ化は関数– γであり、次のように定義される。

$$\displaystyle {\boldsymbol {\bar {\gamma }}}(s)~{=}~{\boldsymbol {\gamma }}(t(s)).}$$

γと-γはどちらも同じ経路をたどります$\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$したがって、曲線上の各点Pにおいて、同じ曲率ベクトルと曲率を持つ。与えられたsとその対応するt = t ( s )に対して、点Pとその単位接線ベクトルT、曲率ベクトルK、および曲率κは次のようになる。

$${\displaystyle {\boldsymbol {P}}={\boldsymbol {\bar {\gamma }}}(s)={\boldsymbol {\gamma }}(t)}$$

$${\displaystyle {\boldsymbol {T}}={\boldsymbol {\bar {\gamma }}}'(s)={\frac {{\boldsymbol {\gamma }}'(t)}{\left\|{\boldsymbol {\gamma }}'(t)\right\|}}}$$

$${\displaystyle {\boldsymbol {K}}={\boldsymbol {\bar {\gamma }}}''(s)={\frac {{\boldsymbol {\gamma }}''(t)}{\left\|{\boldsymbol {\gamma }}'(t)\right\|^{2}}}-{\boldsymbol {T}}\left({\boldsymbol {T}}\cdot {\frac {{\boldsymbol {\gamma }}''(t)}{\left\|{\boldsymbol {\gamma }}'(t)\right\|^{2}}}\right)}$$

$${\displaystyle {\begin{aligned}\kappa =\left\|{\boldsymbol {\bar {\gamma }}}''(s)\right\|&={\frac {\sqrt {{\bigl \|}{\boldsymbol {\gamma }}'(t){\bigr \|}{\vphantom {'}}^{2}{\bigl \|}{\boldsymbol {\gamma }}''(t){\bigr \|}{\vphantom {'}}^{2}-{\bigl (}{\boldsymbol {\gamma }}'(t)\cdot {\boldsymbol {\gamma }}''(t){\bigr )}{\vphantom {'}}^{2}}}{{\bigl \|}{\boldsymbol {\gamma }}'(t){\bigr \|}{\vphantom {'}}^{3}}}\\\\&={\frac {\left\|{\boldsymbol {\gamma }}''(t)\right\|}{\left\|{\boldsymbol {\gamma }}'(t)\right\|^{2}}}{\sqrt {1-\left({\boldsymbol {T}}\cdot {\frac {{\boldsymbol {\gamma }}''(t)}{{\bigl \|}{\boldsymbol {\gamma }}''(t){\bigr \|}}}\right)^{2}~}}~~.\\\end{aligned}}}$$

曲率ベクトルKは、 接線ベクトル γ ′ ( t ) に対する γ ′ ′ ( t ) / ‖ γ ′ ( t ) ‖ 2^の垂直 成分です。これは、曲率の 2 番目の式にも反映されています。括弧内の式はcos θであり、θはベクトルTとγ ′ ′ ( t )の間の角度なので、平方根はsin θになります。

γが2回連続微分可能であれば、s(t)と–γも連続微分可能であり、T ( t )は連続微分可能であり、K ( t )とκ ( t )は連続である。

γが閉じた形式で与えられている場合でも、弧長パラメータ化–γ を閉じた形式で表現することは困難または不可能な場合が多い。これは通常、 s ( t )またはその逆t ( s )を閉じた形式で表現することが困難または不可能な場合に起こる。しかし、曲率は –γに直接言及することなく、γの 1 階および 2 階微分のみで表現することができる。

曲率ベクトル（大文字のKで表される）は、単位接線ベクトルTを弧長sで微分したものである。

$${\displaystyle {\boldsymbol {K}}={\frac {\mathrm {d} {\boldsymbol {T}}}{\mathrm {d} s}}.}$$

曲率ベクトルは、曲線が曲がる方向と、曲がる角度の両方を表します。

曲率ベクトルは以下の特性を持つ。

• 曲率ベクトルの大きさは曲率である。$${\displaystyle \kappa =\left\|{\boldsymbol {K}}\right\|.}$$

• 曲率ベクトルは単位接線ベクトルTに垂直であり、内積で表すと次のようになる。$${\displaystyle {\boldsymbol {K}}\cdot {\boldsymbol {T}}=0~.}$$

• 曲率ベクトルは弧長パラメータ化の2階微分である– γ :$${\displaystyle {\boldsymbol {K}}(s)={\boldsymbol {\bar {\gamma }}}''(s).}$$

• 一般パラメータ化γの曲率ベクトルは、接線ベクトルγ ′ ( t )に対するγ ′ ′ ( t ) / ‖γ ′ ( t ) ‖2の垂直成分^である。$${\displaystyle {\boldsymbol {K}}(t)={\frac {{\boldsymbol {\gamma }}''(t)}{\left\|{\boldsymbol {\gamma }}'(t)\right\|^{2}}}-{\boldsymbol {T}}\left({\boldsymbol {T}}\cdot {\frac {{\boldsymbol {\gamma }}''(t)}{\left\|{\boldsymbol {\gamma }}'(t)\right\|^{2}}}\right).}$$曲線が$\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$すると、曲率ベクトルは次のように表すこともできます。$${\displaystyle {\boldsymbol {K}}(t)={\boldsymbol {T}}\times {\frac {{\boldsymbol {\gamma }}''(t)}{\left\|{\boldsymbol {\gamma }}'(t)\right\|^{2}}}\times {\boldsymbol {T}}}$$ここで、×はベクトル積を表す。

• 曲率ベクトルがゼロでない場合：
  • 曲率ベクトルは、曲線上の点Pから、接吻円の中心方向を指している。
  • 曲率ベクトルと接線ベクトルは、接触円を含む平面である接触平面上に張る互いに直交するベクトルである。
  • 曲率ベクトルを単位長さにスケーリングしたものが単位法線ベクトルNである。$${\displaystyle {\boldsymbol {N}}={\frac {K}{\left\|K\right\|}}.}$$

• 曲率ベクトルは、点Pにおける曲線の微分幾何学的性質であり、曲線のパラメータ化方法には依存しない。

歴史的に、微分可能な曲線の曲率は、ある点における曲線を最もよく近似する円である接円によって定義されてきました。より正確には、曲線上の点 P が与えられたとき、曲線上の他のすべての点Qは、 Q を通り、点Pで曲線に接する円（または場合によっては直線）を定義します。接円は、 Q がPに近づくときのこの円の極限（存在する場合）です。このとき、点Pにおける曲線の曲率中心と曲率半径は、接円の中心と半径になります。

曲率半径Rは曲率の逆数である^{[ 6 ]}。ただし、曲率がゼロでない場合に限る。 $${\displaystyle R={\frac {1}{\kappa }}~.}$$

曲線γの場合、非ゼロの曲率ベクトルK ( t )は点P = γ ( t )から曲率中心に向かっていますが、K ( t )の大きさは曲率κ ( t )なので、曲率中心C ( t )は

$${\displaystyle {\boldsymbol {C}}(t)={\boldsymbol {\gamma }}(t)+{\frac {{\boldsymbol {K}}(t)}{\kappa (t)^{2}}}~.}$$

曲率がゼロの場合、例えば直線上や変曲点では、曲率半径は無限大となり、曲率中心は不定、つまり「無限遠」に位置する。

曲線γ上の2点PとQが与えられたとき、s ( P , Q )をPとQの間の曲線の部分の弧長とし、d ( P , Q )をPからQへの線分の長さとする。Pにおけるγの曲率は極限によって与えられる。

$${\displaystyle \kappa ({\boldsymbol {P}})=\lim _{{\boldsymbol {Q}}\to {\boldsymbol {P}}}{\sqrt {\frac {24{\bigl (}s({\boldsymbol {P}},{\boldsymbol {Q}})-d({\boldsymbol {P}},{\boldsymbol {Q}}){\bigr )}}{s({\boldsymbol {P}},{\boldsymbol {Q}}){\vphantom {Q}}^{3}}}}~,}$$

ここで極限は、γ上で点QがPに近づくときと定義される。分母はd ( P , Q ) ³としてもよい。この式は任意の次元で有効である。この式は、接円について検証することで導かれる。

上記の公式の前提条件が満たされない場合でも、曲率の概念を適用することが適切な状況が存在する可能性がある。

曲線γの点P = γ ( t ₀ )において、 γ ′ ( t ₀ )の片側微分が存在するが値が異なる場合、または γ ′ ′ ( t 0 ) についても同様の場合、曲率の概念_を適用すると便利である。このような場合、曲線を両側の曲率で記述すると便利である。これは、区分的に構築された曲線の場合に当てはまる可能性がある。

別の状況として、比率の極限によって曲率が不確定な0 / 0 の値になる場合があります。例えば、導関数が両方とも存在するが、両方ともゼロである場合などです。このような場合、ロピタルの定理を用いて基礎となる極限を評価できる可能性があります。

以下は、関連する概念と公式を適用した曲線の例です。

丸

半径Rの円の任意の点Pにおける曲率が1/ Rとなる理由を幾何学的に説明した図が右図に部分的に示されている。

赤い弧の長さはLで、弧の中心角である角ACBのラジアン値はL / Rです。弧の両端の接線間の角度は角BDEで、これは中心角と同じ大きさです。なぜなら、どちらの角も角BDAの補角だからです。

弧の端点の接線間の角度（ラジアンで測定）を弧の長さLで割った比率は( L / R )/ L = 1/ Rです。

円弧の長さが半円より短い場合、その比率は1/ Rとなるため、円上の任意の点Pを含む円弧については、円弧の長さがゼロに近づくときの比率の極限も1/ Rとなります。したがって、任意の点Pにおける円の曲率は1/ Rです。

半径rの円 の一般的なパラメータ表示はγ ( t ) = ( r cos t , r sin t )です。すると $${\displaystyle {\begin{array}{lll}{\boldsymbol {\gamma }}'(t)=(-r~\mathrm {sin} ~t,r~\mathrm {cos} ~t)&\qquad &\left\|{\boldsymbol {\gamma }}'(t)\right\|=r\\{\boldsymbol {\gamma }}''(t)=(-r~\mathrm {cos} ~t,-r~\mathrm {sin} ~t)&\qquad &\left\|{\boldsymbol {\gamma }}''(t)\right\|=r\\{\boldsymbol {\gamma }}'(t)\cdot {\boldsymbol {\gamma }}''(t)=0~.\\\end{array}}}$$ 曲率の​​一般式は次のようになる。 $${\displaystyle \kappa (t)={\frac {\sqrt {r^{2}\,r^{2}-0^{2}\,}}{r^{3}}}={\frac {1}{r}}~.}$$ 平面曲線の公式は次のようになる。 $${\displaystyle \kappa (t)={\frac {r^{2}\sin ^{2}t+r^{2}\cos ^{2}t}{{\bigl (}r^{2}\cos ^{2}t+r^{2}\sin ^{2}t{\bigr )}{\vphantom {'}}^{3/2}}}={\frac {1}{r}}.}$$

当然のことながら、曲率半径は円の半径であり、曲率中心は円の中心である。

円は弧長パラメータ化が簡単に計算できる稀なケースです。 $${\displaystyle {\boldsymbol {\bar {\gamma }}}(s)=\left(r\cos {\frac {s}{r}},\,r\sin {\frac {s}{r}}\right).}$$ これは弧長パラメータ化です。なぜなら、ノルムは $${\displaystyle {\boldsymbol {\bar {\gamma }}}'(s)=\left(-\sin {\frac {s}{r}},\,\cos {\frac {s}{r}}\right)}$$ は 1 に等しい。 $${\displaystyle \kappa (s)=\left\|{\boldsymbol {\bar {\gamma }}}''(s)\right\|=\left\|\left(-{\frac {1}{r}}\cos {\frac {s}{r}},\,-{\frac {1}{r}}\sin {\frac {s}{r}}\right)\right\|={\frac {1}{r}}}$$ 曲率に対して同じ値を与える。

同じ円は、F(x,y) = x² + y² - r² の陰関数方程式^F ( x , y ) = 0によっても定義^できます。この場合の曲率の式は次のようになります ^。$${\displaystyle {\begin{aligned}\kappa &={\frac {\left|F_{y}^{2}F_{xx}-2F_{x}F_{y}F_{xy}+F_{x}^{2}F_{yy}\right|}{{\bigl (}F_{x}^{2}+F_{y}^{2}{\bigr )}{\vphantom {'}}^{3/2}}}\\&={\frac {8y^{2}+8x^{2}}{{\bigl (}4x^{2}+4y^{2}{\bigr )}{\vphantom {'}}^{3/2}}}\\&={\frac {8r^{2}}{{\bigl (}4r^{2}{\bigr )}{\vphantom {'}}^{3/2}}}={\frac {1}{r}}.\end{aligned}}}$$

放物線

放物線y = ax ² + bx + cを考えます。

これは、導関数が2ax + b、2 階導関数が2aである関数のグラフです。したがって、符号付き曲率は $${\displaystyle k(x)={\frac {2a}{{\bigl (}1+\left(2ax+b\right)^{2}{\bigr )}{\vphantom {)}}^{3/2}}}~.}$$xのすべての値に対して、 その符号はaになります。これは、a > 0の場合、凹みはどこでも上向きであり、a < 0の場合、凹みは下向きであり、a = 0の場合、曲率はどこでもゼロであり、この場合放物線が直線に退化することを確認できます。

（符号なし）曲率は、x = – ⁠ b / 2 a ⁠で最大となり、これは関数の停留点（導関数がゼロとなる点）であり、放物線の頂点です。

パラメータ化γ ( t ) = ( t , at ² + bt + c ) = ( x , y )を考えます。 xの 1 階微分は1であり、2 階微分はゼロです。これを一般的なパラメータ化の式に代入すると、x がtに置き換えられ、プライムがパラメータtに関する微分を表すという点を除けば、上記とまったく同じ結果が得られます。

同じ放物線は、F ( x , y ) = ax 2 + bx + c – y という陰関数方程式 F ( x , y ) = 0 によっても定義できます_{。F y} = –1であり、 F yy ⁼ F xy = 0であるため、(符号なし)曲率の値は全く_同じになり_ます。しかし、符号付き曲率は陰関数方程式では定義されません。なぜなら、符号付き曲率は曲線の向きに依存しますが、陰関数方程式では向きが与えられていないからです。

γ ( t ) = ( x ( t ), y ( t ))を、2 回微分可能な平面曲線の適切な媒介変数表示とする。ここで「適切」とは、媒介変数表示の定義域において、導関数⁠ d γ / d t ⁠が存在し、どこにもゼロベクトルと等しくないことを意味する 。

平面曲線の曲率κは、2次元に特有の方法で表現できます。

$${\displaystyle \kappa ={\frac {\left|x'y''-y'x''\right|}{{\bigl (}{x'}^{2}+{y'}^{2}{\bigr )}{\vphantom {'}}^{3/2}}},}$$

ここでプライム記号はtに関する導関数を表します。

これは座標を用いない形 で次のように表現できる。$${\displaystyle \kappa ={\frac {\left|\det \left({\boldsymbol {\gamma }}',{\boldsymbol {\gamma }}''\right)\right|}{\|{\boldsymbol {\gamma }}'\|^{3}}},}$$

ここで、分子は、 γ ′とγ ′ ′を列とする2×2行列の行列式の絶対値である。

これらの式は、3次元における曲率の外積公式の応用として理解できます。被演算項は3次元目にゼロを持つため、外積の結果は最初の2次元ではゼロとなり、外積の大きさを計算する際には3次元目の値のみが重要になります。したがって、上記の式の分子には3次元目の値を求める式が現れます。

曲率櫛

曲率櫛^{[ 8 ]}は、曲線上の各点の曲率をグラフィカルに表現するために使用できます。γがパラメータ化された曲線tである場合、その櫛は、で定義されるパラメータ化された曲線として定義されます 。$${\displaystyle \mathrm {Comb} (t)={\boldsymbol {\gamma }}(t)-s\,\kappa (t){\boldsymbol {N}}(t),}$$ ここで、 κは曲率、Nは曲率の中心に向かう単位法線ベクトル、sはグラフ表示を強化するために選択されるスケーリング係数である。

曲率コームは、CAD環境で2つの異なる曲線を組み合わせる際に役立ちます。曲線間の連続性を視覚的に表現するもので、連続性は4つのレベルのいずれかで定義できます。

G0  ：2つの曲率櫛は接合部で角度をなしている。

G1  ：2つの櫛の歯は接合部で平行ですが、長さが異なります。

G2  ：歯は平行で長さも同じです。ただし、2つの櫛の接線は同じではありません。

G3  ：歯は平行で同じ長さであり、2つの櫛の接線は同じである。

上記の画像は、2つの接合部におけるG2の連続性を示しています。

平面曲線に対するフレネ・セレの公式

フレネ・セレの第一公式は、弧長パラメータ表示の単位接線ベクトル、曲率、および法線ベクトルを関連付ける。$${\displaystyle \mathbf {T} '(s)=\kappa (s)\mathbf {N} (s),}$$ ここでプライム記号は弧長sに関する導関数を表し、N ( s )はT ′ (s)の方向の法線単位ベクトルである。

平面曲線はねじれがゼロであるため、第2フレネ・セレの公式は次の関係式を与える。 $${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d\mathbf {N} }{ds}}&=-\kappa \mathbf {T} ,\\&=-\kappa {\frac {d{\boldsymbol {\gamma }}}{ds}}.\end{aligned}}}$$

パラメータtによる一般的なパラメータ化では、 tに関する導関数を含む式が必要となる。これらはsに関する導関数にds / dtを乗じることで得られるため、適切なパラメータ化であれば、次 の式が得られる。$${\displaystyle \mathbf {N} '(t)=-\kappa (t){\boldsymbol {\gamma }}'(t).}$$

3次元空間でパラメトリックに定義された曲線γ ( t ) = ( x ( t ), y ( t ), z ( t ))の場合、曲率は

$${\displaystyle \kappa ={\frac {\sqrt {{\bigl (}z''y'-y''z'{\bigr )}{\vphantom {'}}^{2}+{\bigl (}x''z'-z''x'{\bigr )}{\vphantom {'}}^{2}+{\bigl (}y''x'-x''y'{\bigr) )}{\vphantom {'}}^{2}}}{{\bigl (}{x'}^{2}+{y'}^{2}+{z'}^{2}{\bigr )}{\vphantom {'}}^{3/2}}},}$$

ここでプライム記号はパラメータtに関する微分を表します。曲率^{[ 9 ]}と曲率ベクトルはどちらもベクトル外積と単位接線ベクトルTを使用して表現できます。

$${\displaystyle {\boldsymbol {K}}={\boldsymbol {T}}\times {\frac {{\boldsymbol {\gamma }}''}{\left\|{\boldsymbol {\gamma }}'\right\|^{2}}}\times {\boldsymbol {T}}}$$

$${\displaystyle \kappa ={\frac {{\bigl \|}{\boldsymbol {\gamma }}'\times {\boldsymbol {\gamma }}''{\bigr \|}}{{\bigl \|}{\boldsymbol {\gamma }}'{\bigr \|}{\vphantom {'}}^{3}}}~.}$$

これらの式は、曲率と曲率ベクトルの一般式に関連していますが、 γ ′ ′ / ‖ γ ′ ‖ ^2のγ ′に対する垂直成分を表すために、スカラーの内積の代わりにベクトルの外積を使用している点が異なります。

（3次元ユークリッド空間に埋め込まれた）曲面に描かれた曲線に対しては、曲率の方向と曲面の単位法線ベクトルとの関係を示すいくつかの曲率が定義されており、これには以下が含まれる。

• 法線曲率
• 測地曲率
• 測地線ねじれ

滑らかな曲面上の非特異曲線は、その接線ベクトルTが曲面の接平面内に含まれます。法線曲率k _nは、曲線の接線Tと曲面法線uを含む平面に投影された曲線の曲率です。測地曲率k _gは、曲面の接平面に投影された曲線の曲率です。測地ねじれ(または相対ねじれ) τ _rは、曲線の接線周りの曲面法線の変化率を表します。

曲線を弧長パラメータで表し、t = u × Tとすると、 T、t、u はダルブーフレームと呼ばれる正規直交基底を形成する。上記の量は次の関係式で結ばれている。

${\displaystyle {\begin{pmatrix}\mathbf {T} '\\\mathbf {t} '\\\mathbf {u} '\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0&\kappa _{\mathrm {g} }&\kappa _{\mathrm {n} }\\-\kappa _{\mathrm {g} }&0&\tau _{\mathrm {r} }\\-\kappa _{\mathrm {n} }&-\tau _{\mathrm {r} }&0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}\mathbf {T} \\\mathbf {t} \\\mathbf {u} \end{pmatrix}}}$

主曲率

与えられた点において同じ接線ベクトルを持つ曲面上のすべての曲線は、同じ法線曲率を持ちます。これは、曲面をTとuを含む平面と交差させることによって得られる曲線の曲率と同じです。考えられるすべての接線ベクトルを考慮すると、ある点における法線曲率の最大値と最小値は主曲率k1とk2と呼ば_れ、対応する接線_ベクトルの方向は主法線方向と呼ばれます。

曲率は、上記の§曲面上の曲線と同様に、表面法線断面に沿って評価できます（たとえば、地球の曲率半径を参照）。 

滑らかな紙で作られた曲面など、一部の曲面は、その本来の特性を一切歪めることなく平面に平らにすることができます。このような展開可能な曲面はガウス曲率がゼロです（下記参照）。^{[ 10 ]}

曲線は固有の曲率を持たず、外在的な曲率（埋め込みが与えられた場合にのみ曲率を持つ）を持つのに対し、曲面は埋め込みとは無関係に固有の曲率を持つことができる。カール・フリードリヒ・ガウスにちなんで名付けられたガウス曲率は、主曲率k ₁ k ₂の積に等しい。長さの次元は⁻²であり、球面では正、一葉双曲面では負、平面と円柱ではゼロとなる。ガウス曲率は、曲面が局所的に凸である（正の場合）か、局所的に鞍型である（負の場合）かを決定する。

ガウス曲率は表面の固有の性質であり、表面の特定の埋め込み方法に依存しません。直感的に言えば、表面に住むアリがガウス曲率を判断できるということです。例えば、球面上に住むアリは三角形の内角の合計を測定し、それが180度より大きいことを判断できます。これは、アリが住む空間が正の曲率を持っていることを意味します。一方、円筒上に住むアリは、ユークリッド幾何学からのそのような逸脱を検出できません。特に、アリは2つの表面の平均曲率が異なることを検出できません（後述参照）。これは純粋に外在的なタイプの曲率です。

厳密に言えば、ガウス曲率は曲面のリーマン計量のみに依存する。これはガウスの有名な定理であり、彼は地理調査と地図作成に取り組んでいた際にこの定理を発見した。

点Pにおけるガウス曲率の本質的な定義は次のとおりです。長さrの短い糸でPに結び付けられたアリを想像してください。糸が完全に伸びた状態でアリはP の周りを走り、 P の周りを一周したときの長さC ( r )を測定します。表面が平坦であれば、アリはC ( r ) = 2πrを見つけます。曲面では、C ( r )の式は異なり、点Pにおけるガウス曲率K は、ベルトラン・ディゲ・ピュイズーの定理によって次のように計算できます。

${\displaystyle K=\lim _{r\to 0^{+}}3\left({\frac {2\pi rC(r)}{\pi r^{3}}}\right).}$

ガウス曲率の曲面全体にわたる積分は、曲面のオイラー標数と密接に関係しています。ガウス・ボンネの定理を参照してください。

曲率の​​離散的な類似物であり、曲率が一点に集中していることに対応し、特に多面体で有用なのが（角度）欠陥である。ガウス・ボンネの定理の類似物は、全角度欠陥に関するデカルトの定理である。

（ガウス）曲率は埋め込み空間を参照せずに定義できるため、曲面が曲がっているために高次元空間に埋め込まれている必要はありません。このような本質的に曲がった2次元曲面は、リーマン多様体の簡単な例です。

平均曲率は、主曲率の合計の半分、⁠ k ₁ + k ₂ / 2 ⁠に等しい外在的な曲率の尺度です。これは、ソフィー・ジェルマンが弾性理論に関する研究で導入しました。その次元は長さ^{−1です。平均曲率は、}表面積の第一変分と密接に関係しています。特に、石鹸膜のような極小曲面は平均曲率がゼロであり、石鹸の泡は一定の平均曲率を持ちます。ガウス曲率とは異なり、平均曲率は外在的であり、埋め込みに依存します。たとえば、円柱と平面は局所的に等長ですが、平面の平均曲率はゼロであるのに対し、円柱の平均曲率はゼロではありません。

曲面の固有曲率と外因曲率は、第 2 基本形式で組み合わせることができます。これは、曲面上の特定の接ベクトルXにおける値が、曲面上のXに接する曲線の加速度の法線成分となる点における曲面の接平面上の二次形式です。つまり、Xに接する曲線の法線曲率です(上記参照)。記号で表すと、

${\displaystyle \operatorname {I\!I} (\mathbf {X} ,\mathbf {X} )=\mathbf {N} \cdot (\nabla _{\mathbf {X} }\mathbf {X} )}$

ここで、Nは表面に対する単位法線ベクトルです。単位接線ベクトルXに対して、第 2 基本形式は、それぞれ主方向u ₁とu _{2において最大値}k ₁と最小値k ₂をとります。したがって、主軸定理により、第 2 基本形式は次のようになります。

${\displaystyle \operatorname {I\!I} (\mathbf {X} ,\mathbf {X} )=k_{1}\left(\mathbf {X} \cdot \mathbf {u} _{1}\right)^{2}+k_{2}\left(\mathbf {X} \cdot \mathbf {u} _{2}\right)^{2}.}$

したがって、第二の基本形式は、内在的曲率と外在的曲率の両方を符号化している。

表面曲率のカプセル化は、形状演算子Sに見出すことができ、これは接平面からそれ自身への自己共役線形演算子です (具体的には、ガウス写像の微分)。

接線ベクトルXと法線ベクトルNを持つ曲面の場合、形状演算子はインデックス総和表記で簡潔に次のように表すことができます。

${\displaystyle \partial _{a}\mathbf {N} =-S_{ba}\mathbf {X} _{b}.}$

（平面曲線の曲率を表す別の表現と比較してください。）

ワインガルテン方程式は、第1および第2基本形式の係数を用いてSの値を与える。

${\displaystyle S=\left(EG-F^{2}\right)^{-1}{\begin{pmatrix}eG-fF&fG-gF\\fE-eF&gE-fF\end{pmatrix}}.}$

主曲率は形状演算子の固有値であり、主曲率方向はその固有ベクトルであり、ガウス曲率はその行列式であり、平均曲率はそのトレースの半分である。