角度欠陥

幾何学において、（角度の）欠陥（または欠損、不足）とは、ユークリッド平面上の角度の合計が予想される 360° または 180° に達するのに、いくつかの角度の合計が予想どおりにならないことを意味します。反対の概念は過剰です。

典型的には、欠陥は次の 2 つの方法で発生します。

• 多面体の頂点の欠陥。
• 双曲三角形の欠陥。

そして、過剰は次の 2 つの方法で発生します。

• 環状多面体の過剰。
• 球面三角形の余剰。

ユークリッド平面では、点の周りの角度は合計 360° になりますが、三角形の内角は合計 180° になります (同様に、外角は合計 360° になります)。ただし、凸多面体では頂点の角度の合計は 360° 未満になり、球面三角形では内角の合計は常に 180° 以上になり (外角の合計は360°未満になります)、双曲三角形の角度は常に 180° 未満になります (外角の合計は 360° を超えます)。

現代の用語で言えば、頂点の欠陥は、その点に集中した多面体表面の曲率の離散バージョンであり、ガウス・ボネの定理により、全体の曲率はオイラー特性の積として与えられるため、欠陥の合計は です。負の欠陥は、頂点が鞍点に似ていること(負の曲率) を示し、正の欠陥は、頂点が局所的最大値または最小値に似ていること (正の曲率) を示します。 ${\displaystyle 2\pi }$ ${\displaystyle \chi =2}$${\displaystyle 4\pi }$

多面体の場合、頂点の欠陥は 2π から頂点のすべての角度の合計を引いた値に等しくなります (頂点のすべての面が含まれます)。多面体が凸型の場合、各頂点の欠陥は常に正になります。多くの非凸型多面体の一部の頂点で発生するように、角度の合計が 1回転を超える場合、欠陥は負になります。

欠陥の概念は、頂点のセルの二面角の合計が完全な円に満たない 量として、高次元にまで拡張されます。

正十二面体（3 つの正五角形が各頂点で交わる）の頂点の欠陥は36°、つまり π/5 ラジアン、つまり円の 1/10 です。各角度は 108° で、各頂点で 3 つの角度が交わるため、欠陥は 360° − (108° + 108° + 108°) = 36° となります。

他のプラトン立体についても同じ手順で行うことができます。

デカルトの多面体の「全欠陥」に関する定理は、多面体が球と同相である場合（つまり、球と位相的に等価であるため、引き裂くことなく引き伸ばすことで球に変形できる場合）、すべての頂点の欠陥の合計である「全欠陥」は2つの完全な円（または720°または4πラジアン）であると述べています。多面体は凸状である必要はありません。^[1]

一般化して言えば、欠陥全体の円の数は多面体のオイラー特性に等しい。これは、ガウス曲率の積分をオイラー特性に関連付けるガウス・ボネ定理の特殊なケースである。ここで、ガウス曲率は頂点に集中している。面と辺では曲率はゼロであり、頂点での曲率の積分はそこの欠陥に等しい（定義により）。

これを使用して、すべての面の角度を合計し、合計の誤差を加えることで、多面体の頂点の数Vを計算できます。この合計では、多面体の各頂点に対して 1 つの完全な円が存在します。多面体に対して正しいオイラー特性を使用するように注意する必要があります。

この定理の逆はアレクサンドロフの一意性定理によって与えられ、これによれば、正の角度欠陥の有限個の点（加えて 4 π ）を除いて局所ユークリッド（したがって曲率ゼロ）である距離空間は、凸多面体の表面として一意に実現できます。

すべての非凸多面体には負の欠陥を持つ頂点がいくつかあるはずだと考えたくなりますが、オイラー特性が正（位相球）であれば必ずしもそうではありません。これに対する反例として、それぞれ正の欠陥を持つ凸点が 12 個ある小星型十二面体と大星型十二面体があります。

交差しない反例として、立方体の 1 つの面を四角錐に置き換えたものがあります。この細長い四角錐は凸型で、各頂点の欠陥はそれぞれ正です。次に、同じ立方体の四角錐が立方体の中に入っているものを考えます。これは凹型ですが、欠陥は同じままなので、すべて正です。

• Richeson, D. ; Euler's Gem: The Polyhedron Formula and the Birth of Topology、プリンストン (2008)、220～225 ページ。

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• Weisstein、Eric W.「角度欠陥」。MathWorld。