曲線のねじれ

3 次元の曲線の微分幾何学では、曲線のねじれは、曲線が接触面からどれだけ鋭くねじれているかを測定します。総合すると、空間曲線の曲率とねじれは、平面曲線の曲率に類似しています。たとえば、これらはフレネ・セレ公式によって与えられるフレネ フレームの微分方程式系の係数です。

r を弧長sでパラメータ化され、単位接線ベクトルTを持つ空間曲線とする。ある点におけるrの曲率κがゼロでない場合、その点における主法線ベクトルと従法線ベクトルは単位ベクトルである。

${\displaystyle \mathbf {N} ={\frac {\mathbf {T} '}{\kappa }},\quad \mathbf {B} =\mathbf {T} \times \mathbf {N} }$

それぞれ、プライムはベクトルのパラメータsに関する微分を表します。ねじれ τは、与えられた点における従法線ベクトルの回転速度を測定します。これは次の式から求められます。

${\displaystyle \mathbf {B} '=-\tau \mathbf {N} .}$

つまり

${\displaystyle \tau =-\mathbf {N} \cdot \mathbf {B} '.}$

なので、これは と同等です。 ${\displaystyle \mathbf {N} \cdot \mathbf {B} =0}$${\displaystyle \tau =\mathbf {N} '\cdot \mathbf {B} }$

注意: 従法線ベクトルの導関数は従法線と接線の両方に垂直なので、主法線ベクトルに比例する必要があります。負の符号は単に慣例の問題であり、この主題の歴史的発展の副産物です。

幾何学的関連性:ねじれτ ( s )は従法線ベクトルの方向転換を測定します。ねじれが大きいほど、従法線ベクトルは接線ベクトルによって指定された軸の周りを速く回転します (図を参照)。アニメーション図では、従法線ベクトルの回転がねじれ関数のピークで明確に確認できます。

• 曲率がゼロでない平面曲線は、すべての点でねじれがゼロです。逆に、曲率がゼロでない正則曲線のねじれが常にゼロである場合、この曲線は固定平面に属します。
• らせんの曲率とねじれは一定です。逆に、曲率とねじれがともに一定でゼロでない空間曲線はらせんとなります。ねじれは右巻き^[1]のらせんの場合は正で、左巻きのらせんの場合は負です。

r = r ( t )を空間曲線の媒介変数方程式とする。これは正規の媒介変数化であり、曲線の曲率はゼロではないと仮定する。解析的には、 r ( t )はtの3 回微分可能な関数であり、 R ³に値を持ち、ベクトルは

${\displaystyle \mathbf {r'} (t),\mathbf {r''} (t)}$

線形独立です。

ねじれは次の式から計算できます。

${\displaystyle \tau ={\frac {\det \left({\mathbf {r} ',\mathbf {r} '',\mathbf {r} '''}\right)}{\left\|{\mathbf {r} '\times \mathbf {r} ''}\right\|^{2}}}={\frac {\left({\mathbf {r} '\times \mathbf {r} ''}\right)\cdot \mathbf {r} '''}{\left\|{\mathbf {r} '\times \mathbf {r} ''}\right\|^{2}}}.}$

ここで、プライムはtに関する微分を表し、クロスは外積を表します。r = ( x , y , z )の場合、成分の式は次のようになります 。

${\displaystyle \tau ={\frac {x'''\left(y'z''-y''z'\right)+y'''\left(x''z'-x'z''\right)+z'''\left(x'y''-x''y'\right)}{\left(y'z''-y''z'\right)^{2}+\left(x''z'-x'z''\right)^{2}+\left(x'y''-x''y'\right)^{2}}}.}$

• プレスリー、アンドリュー（2001）、初等微分幾何学、シュプリンガー学部数学シリーズ、シュプリンガー出版社、ISBN 1-85233-152-6

ウィキメディア・コモンズには、空間曲線のねじれのグラフィカルな説明に関連するメディアがあります。