ダルブーフレーム

曲面の微分幾何学において、ダルブー フレームは、曲面上に構築される自然な移動フレームです。これは、曲面幾何学に適用されたフレネ-セレ フレームの類似物です。ダルブー フレームは、ユークリッド空間に埋め込まれた曲面の任意の非臍点に存在します。これは、フランスの数学者ジャン ガストン ダルブーにちなんで名付けられました。

S を3次元ユークリッド空間E ³内の有向面とします。 S上のダルブーフレームの構成では、まずS内の曲線に沿って動くフレームを考慮し、次に曲線が主曲率の方向に動く場合を特殊化します。

向き付けられた表面の各点pにおいて、特定の固定点における法線の向きが決まれば、一意の方法で単位 法線ベクトル u ( p )を付加することができる。 γ ( s )がS内の曲線で、弧の長さでパラメータ化されている場合、γのダルブーフレームは次のように定義される。

${\displaystyle \mathbf {T} (s)=\gamma '(s),}$    （単位正接）

${\displaystyle \mathbf {u} (s)=\mathbf {u} (\gamma (s)),}$    （単位は標準）

${\displaystyle \mathbf {t} (s)=\mathbf {u} (s)\times \mathbf {T} (s),}$    （接線法線）

3 つのT、t、u は、曲線の各点に付加された 正の方向の 正規直交基底、つまり埋め込まれた曲線に沿った自然な移動フレームを定義します。

曲線のダルブーフレームは、接線ベクトルの初期選択に依存するため、表面上の自然な移動フレームを生成しないことに注意してください。表面上の移動フレームを得るには、まずγのダルブーフレームをそのフレネ・セレフレームと比較します。

• ${\displaystyle \mathbf {T} (s)=\gamma '(s),}$    （単位は正接、上記と同じ）
• ${\displaystyle \mathbf {N} (s)={\frac {\mathbf {T} '(s)}{\|\mathbf {T} '(s)\|}},}$    （フレネ法線ベクトル）
• ${\displaystyle \mathbf {B} (s)=\mathbf {T} (s)\times \mathbf {N} (s),}$    (フレネ従属法線ベクトル)。

どちらの場合も接線ベクトルは同じなので、 NとBの平面で回転するとtとuのペアが生成される一意の角度αが存在します。

${\displaystyle {\begin{bmatrix}\mathbf {T} \\\mathbf {t} \\\mathbf {u} \end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&0&0\\0&\cos \alpha & \sin \alpha \\0&-\sin \alpha &\cos \alpha \end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\mathbf {T} \\\mathbf {N} \\\mathbf {B} \end{bmatrix}}.}$

微分をとり、フレネ・セレの公式を適用すると、次の式が得られる。

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {d} {\begin{bmatrix}\mathbf {T} \\\mathbf {t} \\\mathbf {u} \end{bmatrix}}&={\begin {bmatrix}0&\kappa \cos \alpha \,\mathrm {d} s&-\kappa \sin \alpha \,\mathrm {d} s\\-\kappa \cos \alpha \,\mathrm {d} s&0&\tau \,\mathrm {d} s+\mathrm {d} \alpha \\\kappa \sin \alpha \,\mathrm {d} s&-\tau \,\mathrm {d} s-\mathrm {d} \alpha &0\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\mathbf {T} \\\mathbf {t} \\\mathbf {u} \end{bmatrix}}\\&={\begin{bmatrix}0&\カッパ _{g}\,\mathrm {d} s&\kappa _{n}\,\mathrm {d} s\\-\kappa _{g}\,\mathrm {d} s&0&\tau _{r}\,\mathrm {d} s\\-\kappa _{n}\,\mathrm {d} s&-\tau _{r} \,\mathrm {d} s&0\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\mathbf {T} \\\mathbf {t} \\\数学{u} \end{bmatrix}}\end{aligned}}}$

どこ：

• κ _{g は}曲線の測地曲率であり、
• κ _{n は}曲線の法線曲率であり、
• τ _{r は}曲線の相対的なねじれ（測地線ねじれとも呼ばれる）です。

このセクションでは、曲線上の Darboux フレームの場合を、曲線が曲面 (曲率直線) の主曲線である場合に特化します。その場合、主曲線はすべての非臍点で曲面に標準的に関連付けられているため、Darboux フレームは標準移動フレームです。

ダルブーの発明である三面体 (またはトリエードル) の導入により、曲線上の点の座標とフレーム ベクトルを統一的に扱うことで、曲線および曲面上の移動フレームの問題を概念的に簡略化できるようになりました。三面体は、ユークリッド空間内の点Pと、点Pを基準とする 3 つの正規直交ベクトルe ₁、e ₂、e ₃で構成されます。移動三面体とは、その構成要素が 1 つ以上のパラメータに依存する三面体のことです。たとえば、点P が単一のパラメータsに依存し、P ( s ) が曲線をトレースする場合、三面体は曲線に沿って移動します。同様に、P ( s、t ) が 1 組のパラメータに依存する場合、これは曲面をトレースします。

三面体は、 P が常に表面上にあり、e _{3 が}Pにおける表面の方向付けられた単位法線である場合に、表面に適合していると言われる。埋め込み曲線に沿ったダルブーフレームの場合、四重項

( P ( s ) = γ ( s )、e ₁ ( s ) = T ( s )、e ₂ ( s ) = t ( s )、e ₃ ( s ) = u ( s ))

曲線が埋め込まれる表面に適合した四面体を定義します。

この三面体に関して、構造方程式は次のようになる。

${\displaystyle \mathrm {d} {\begin{bmatrix}\mathbf {P} \\\mathbf {T} \\\mathbf {t} \\\mathbf {u} \end{bmatrix}}={\begin {bmatrix}0&\mathrm {d} s&0&0\\0&0&\kappa _{g}\,\mathrm {d} s&\kappa _{n}\,\mathrm {d} s\\0&-\kappa _{g}\,\mathrm {d} s&0&\tau _{r}\,\mathrm {d} s\\0& -\kappa _{n}\,\mathrm {d} s&-\tau _{r}\,\mathrm {d} s&0\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\mathbf {P} \\\mathbf {T} \\\mathbf {t} \\\mathbf {u} \end{bmatrix}}.}$

他の適応三面体

( P、e ₁、e ₂、e ₃ )

は埋め込まれた曲線に対して与えられている。定義により、Pはダルブー三面体の場合と同じ曲線上の点のままであり、e ₃ = uは単位法線であるため、この新しい三面体はダルブー三面体に対して次の形式の回転によって関連付けられる。

${\displaystyle {\begin{bmatrix}\mathbf {P} \\\mathbf {e} _{1}\\\mathbf {e} _{2}\\\mathbf {e} _{3}\end{ bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&0&0&0\\0&\cos \theta &\sin \theta &0\\0&-\sin \theta &\cos \theta &0\\0&0&0&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\mathbf {P} \\\mathbf {T} \\\mathbf {t} \ \\mathbf {u} \end{bmatrix}}}$

ここでθ = θ( s )はsの関数である。微分をとってダルブー方程式を適用すると次の式が得られる。

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {d} \mathbf {P} &=\mathbf {T} \mathrm {d} s=\omega ^{1}\mathbf {e} _{1}+\オメガ ^{2}\mathbf {e} _{2}\\\mathrm {d} \mathbf {e} _{i}&=\sum _{j}\omega _{i}^{j}\mathbf {e} _{j}\end{aligned}}}$

ここで (ω ⁱ ,ω _i ^{j ) は}sの関数であり、

${\displaystyle {\begin{aligned}\omega ^{1}&=\cos \theta \,\mathrm {d} s,\quad \omega ^{2}=-\sin \theta \,\mathrm {d} s\\\omega _{i}^{j}&=-\omega _{j}^{i}\\\omega _{1}^{2}&=\kappa _{g}\,\mathrm {d} s+\mathrm {d} \theta \\\omega _{1}^{3}&=(\kappa _{n}\cos \theta +\tau _{r}\sin \theta )\,\mathrm {d} s\\\omega _{2}^{3}&=-(\kappa _{n}\sin \theta +\tau _{r}\cos \theta )\,\mathrm {d} s\end{aligned}}}$

ポアンカレの補題を各二重微分dd P、dd e _iに適用すると、次のカルタン構造方程式が得られる。dd P = 0 より、

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {d} \omega ^{1}&=\omega ^{2}\wedge \omega _{2}^{1}\\\mathrm {d} \omega ^{2}&=\omega ^{1}\wedge \omega _{1}^{2}\\0&=\omega ^{1}\wedge \omega _{1}^{3}+\omega ^{2}\wedge \omega _{2}^{3}\end{aligned}}}$

dd e _i = 0より、

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {d} \omega _{1}^{2}&=\omega _{1}^{3}\wedge \omega _{3}^{2}\\\mathrm {d} \omega _{1}^{3}&=\omega _{1}^{2}\wedge \omega _{2}^{3}\\\mathrm {d} \omega _{2}^{3}&=\omega _{2}^{1}\wedge \omega _{1}^{3}\end{aligned}}}$

後者は、微分形式の言語で表現された表面の ガウス-コダッツィ方程式です。

Sの2番目の基本形式を考えます。これはS上の対称2形式であり、

${\displaystyle \mathrm {I\!I} =-\mathrm {d} \mathbf {N} \cdot \mathrm {d} \mathbf {P} =\omega _{1}^{3}\odot \omega ^{1}+\omega _{2}^{3}\odot \omega ^{2}={\begin{pmatrix}\omega ^{1}&\omega ^{2}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}ii_{11}&ii_{12}\\ii_{21}&ii_{22}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}\omega ^{1}\\\omega ^{2}\end{pmatrix}}.}$

スペクトル定理により、 ( ii _ij ) が対角行列であるフレーム ( e _i )がいくつか選択されます。固有値は、表面の主曲率です。対角化フレームa ₁、a ₂、a _{3 は}、法線ベクトルa ₃と、2 つの主方向a ₁とa ₂で構成されます。これは、表面上の Darboux フレームと呼ばれます。フレームは、表面の 臍から離れて標準的に定義されます (たとえば、固有値の順序付けによって) 。

ダルブー フレームは、曲面上に定義された自然な移動フレームの例です。 わずかな変更を加えると、移動フレームの概念は、 n次元ユークリッド空間内の超曲面、または任意の埋め込み部分多様体へと一般化できます。 この一般化は、移動フレーム法に対する エリー カルタンの多くの貢献の 1 つです。

ユークリッド空間E ⁿ上の(ユークリッド)フレームは、三面体の高次元版です。これは、 E ⁿ、( v ; f ₁、...、f _n ) から抽出されたベクトルの ( n  + 1) 組として定義されます。ここで、

• vはE ⁿの起源の選択であり、
• ( f ₁ , ..., f _n ) は、 vを基点とするベクトル空間の正規直交基底です。

F ( n ) をすべてのユークリッドフレームの集合とする。ユークリッド群はF ( n )に対して次のように作用する。φ ∈ Euc( n ) を次のように分解するユークリッド群の元とする。

${\displaystyle \phi (x)=Ax+x_{0}}$

ここでAは直交変換、x _0は平行移動である。すると、フレーム上では、

${\displaystyle \phi (v;f_{1},\dots ,f_{n}):=(\phi (v);Af_{1},\dots ,Af_{n}).}$

幾何学的には、アフィン群は通常の方法で原点を移動し、直交基底ベクトルが特定の原点の選択に「添付」されているため、それらの回転を介して作用します。これは有効かつ推移的な群作用であるため、F ( n ) はEuc( n )の主同次空間になります。

次の関数系F ( n )→ En^を定義する: ^[1]

${\displaystyle {\begin{aligned}P(v;f_{1},\dots ,f_{n})&=v\\e_{i}(v;f_{1},\dots ,f_{n})&=f_{i},\qquad i=1,2,\dots ,n.\end{aligned}}}$

射影演算子P は特別な意味を持ちます。点P ⁻¹ ( v )の逆像は、v を基点とするすべての正規直交基底から構成されます。特に、P  : F ( n ) → E ^{n は}、構造群が直交群O( n ) である主バンドルとしてF ( n ) を表します。(実際、この主バンドルは、同次空間F ( n ) → F ( n )/O( n ) = E ⁿのトートロジーバンドルです。)

Pの外微分（ベクトル値微分形式とみなされる）は次のように一意に分解される。

${\displaystyle \mathrm {d} P=\sum _{i}\omega ^{i}e_{i},\,}$

スカラー値の1形式ω ⁱの何らかのシステムに対して。同様に、 1形式 (ω _i ^j ) のn × n 行列が存在し、

${\displaystyle \mathrm {d} e_{i}=\sum _{j}\omega _{i}^{j}e_{j}.}$

e _{i はユークリッド空間の}内積に関して正規直交なので、1 形式 ω _i ^jの行列は歪対称です。特に、その上三角部分 (ω _j ⁱ | i  <  j ) によって一意に決定されます。n ( n  + 1)/2 1 形式 (ω ⁱ、ω _j ⁱ ( i < j ))のシステムでは、座標微分がそれぞれそれらで表せるため、 F ( n )の絶対平行性が与えられます。ユークリッド群の作用により、これらの形式は次のように変換されます。 φ を、平行移動v ⁱと回転行列 ( A _j ⁱ )からなるユークリッド変換とします。次に、プルバックによる外微分の不変性によって、次のことが簡単に確認できます。

${\displaystyle \phi ^{*}(\omega ^{i})=(A^{-1})_{j}^{i}\omega ^{j}}$

${\displaystyle \phi ^{*}(\omega _{j}^{i})=(A^{-1})_{p}^{i}\,\omega _{q}^{p}\,A_{j}^{q}.}$

さらに、ポアンカレの補題により、次の構造方程式が得られる。

${\displaystyle \mathrm {d} \omega ^{i}=-\omega _{j}^{i}\wedge \omega ^{j}}$

${\displaystyle \mathrm {d} \omega _{j}^{i}=-\omega _{k}^{i}\wedge \omega _{j}^{k}.}$

φ : M → E ^{n を}p次元の滑らかな多様体のユークリッド空間への埋め込みとする。ここでF _φ ( M ) と表記されるM上の適応フレームの空間は、組 ( x ; f ₁ ,..., f _n )の集合であり、 x ∈ Mであり、f _{i は}E ⁿの正規直交基底を形成し、f ₁ ,..., f _{p は}φ( x )でφ( M )に接する。^[2]

適応フレームの例がいくつかすでに検討されています。フレネ・セレフレーム ( T、N、B ) の最初のベクトルT は曲線に接しており、3 つのベクトルはすべて相互に正規直交しています。同様に、曲面上のダルブーフレームは、最初の 2 つのベクトルが曲面に接している正規直交フレームです。適応フレームが便利なのは、不変形式 (ω ⁱ、ω _j ⁱ ) が φ に沿って引き戻され、この引き戻しの下で構造方程式が保存されるためです。その結果、結果として得られる形式のシステムから、M がユークリッド空間内でどのように位置しているかについての構造情報が得られます。フレネ・セレフレームの場合、構造方程式はまさにフレネ・セレの公式であり、これらはユークリッド運動に至るまで曲線を完全に分類するのに役立ちます。一般的なケースも同様です。つまり、適応フレームのシステムの構造方程式は、ユークリッド運動に至るまで任意の埋め込み部分多様体を分類します。

詳細には、 π( x ; f _i ) = xで与えられる射影 π : F ( M ) → Mは、 M上の主バンドルの構造をF ( M )に与えます(バンドルの構造群は O( p ) × O( n  −  p ) です)。この主バンドルは、 φ( v ; f _i ) := (φ( v ); f _i ) ∈ F ( n )によってユークリッドフレームのバンドルF ( n ) に埋め込まれます。したがって、 F ( n )から不変形式のプルバックを定義することができます。

${\displaystyle \theta ^{i}=\phi ^{*}\omega ^{i},\quad \theta _{j}^{i}=\phi ^{*}\omega _{j}^{i}.}$

外微分はプルバックに対して同変なので、次の構造方程式が成り立つ。

${\displaystyle \mathrm {d} \theta ^{i}=-\theta _{j}^{i}\wedge \theta ^{j},\quad \mathrm {d} \theta _{j}^{i}=-\theta _{k}^{i}\wedge \theta _{j}^{k}.}$

さらに、フレームベクトルf ₁ ... f _{pの一部は}Mに接しており、他のフレームベクトルは正規であるため、構造方程式は自然に接線方向と法線方向の寄与に分割されます。^[3] 小文字のラテンインデックスa、b、c の範囲は1からp（つまり接線インデックス）で、ギリシャインデックス μ、 γ の範囲はp +1からn（つまり法線インデックス）です。最初の観察は、

${\displaystyle \theta ^{\mu }=0,\quad \mu =p+1,\dots ,n}$

これらの形式は部分多様体 φ( M ) を生成する（フロベニウスの積分定理の意味で）。

最初の構造方程式は次のようになります。

${\displaystyle \left.{\begin{array}{l}\mathrm {d} \theta ^{a}=-\sum _{b=1}^{p}\theta _{b}^{a}\wedge \theta ^{b}\\\\0=\mathrm {d} \theta ^{\mu }=-\sum _{b=1}^{p}\theta _{b}^{\mu }\wedge \theta ^{b}\end{array}}\right\}\,\,\,(1)}$

このうち後者はカルタンの補題から次のことが分かる。

${\displaystyle \theta _{b}^{\mu }=s_{ab}^{\mu }\theta ^{a}}$

ここで、 s ^μ _abはaとb（φ( M )の2番目の基本形式）に関して対称である。したがって、式（1）はガウスの公式である（ガウス-コダッツィ方程式を参照）。特に、θ _b ^aはM上のレヴィ-チヴィタ接続の接続形式である。

2番目の構造方程式も次のように分割されます。

${\displaystyle \left.{\begin{array}{l}\mathrm {d} \theta _{b}^{a}+\sum _{c=1}^{p}\theta _{c}^{a}\wedge \theta _{b}^{c}=\Omega _{b}^{a}=-\sum _{\mu =p+1}^{n}\theta _{\mu }^{a}\wedge \theta _{b}^{\mu }\\\\\mathrm {d} \theta _{b}^{\gamma }=-\sum _{c=1}^{p}\theta _{c}^{\gamma }\wedge \theta _{b}^{c}-\sum _{\mu =p+1}^{n}\theta _{\mu }^{\gamma }\wedge \theta _{b}^{\mu }\\\\\mathrm {d} \theta _{\mu }^{\gamma }=-\sum _{c=1}^{p}\theta _{c}^{\gamma }\wedge \theta _{\mu }^{c}-\sum _{\delta =p+1}^{n}\theta _{\delta }^{\gamma }\wedge \theta _{\mu }^{\delta }\end{array}}\right\}\,\,\,(2)}$

最初の方程式は、Mの曲率形式Ω を第 2 基本形式に関して表すガウス方程式です。2 番目は、第 2 基本形式の共変微分を通常の接続に関して表すコダッツィ-マイナルディ方程式です。3 番目はリッチ方程式です。

• ダルブー導関数
• マウラー・カルタン形式

• カルタン、エリー (1937)。グループの最終的な継続性と、モバイルでの再現方法の異なる特徴の評価。ゴーティエ・ヴィラール。
• Cartan, É; Hermann, R. (1983).リーマン空間の幾何学. Math Sci Press, マサチューセッツ.
• ダルブー、ガストン(1896) [1887]。 Leçons sur la théorie génerale des surfaces (フランス語)。 Vol. Ⅰ～Ⅳ．ゴーティエ・ヴィラール。
  • ——（1887年）。 Leçons sur la théorie génerale des surfaces (フランス語)。 Vol. I. パリ: Gauthier-Villars – ミシガン大学歴史数学コレクションより。
  • ——（1915年）。 Leçons sur la théorie génerale des surfaces (フランス語)。 Vol. II.パリ: Gauthier-Villars – ミシガン大学歴史数学コレクション経由。
  • ——（1894年）。 Leçons sur la théorie génerale des surfaces (フランス語)。 Vol. Ⅲ．パリ: Gauthier-Villars – ミシガン大学歴史数学コレクション経由。
  • ——（1896年）。 Leçons sur la théorie génerale des surfaces (フランス語)。 Vol. IV.パリ: Gauthier-Villars – ミシガン大学歴史数学コレクション経由。
• グッゲンハイマー、ハインリッヒ (1977)。「第 10 章 表面」。微分幾何学。ドーバー。ISBN 0-486-63433-7。
• スピヴァック、マイケル (1999)。微分幾何学の包括的入門 (第 3 巻)。Publish or Perish。ISBN 0-914098-72-1。
• スピヴァック、マイケル (1999)。微分幾何学の包括的入門 (第 4 巻)。Publish or Perish。ISBN 0-914098-73-X。
• シュロモ・スターンバーグ（1964年）。微分幾何学の講義。プレンティス・ホール。