座標フリー

科学理論または数学のテーマを座標フリーまたは成分フリーで扱うことで、特定の座標系を参照せずに、あらゆる形式の多様体上で概念を展開します。

座標フリー処理では、一般に、より単純な方程式系が可能になり、特定の種類の矛盾が本質的に制限されるため、特定の座標系内でこれらの方程式を評価するために必要な詳細な数式をある程度 抽象化することで、数学的な優雅さが向上します。

座標フリーの扱いは、簡潔さに加えて、特定のアプリケーションでは、与えられた定義が適切に定式化されていることを証明するために重要です。たとえば、基底 を持つベクトル空間の場合、括弧を持つ記号の形式的な範囲として双対空間を構築したくなるかもしれませんが、この構築が最初に選択した座標系に依存しないことはすぐにはわかりません。代わりに、括弧 を持つ線形関数の空間として構築し、この構築から座標ベースの式を導出するのが 最善です。${\displaystyle V}$${\displaystyle v_{1},...,v_{n}}$ ${\displaystyle V^{*}}$${\displaystyle v_{1}^{*},...,v_{n}^{*}}$ ${\displaystyle \langle \sum \alpha _{i}v_{i},\sum \beta _{i}v_{i}^{*}\rangle :=\sum \alpha _{i}\beta _{i}}$${\displaystyle V^{*}}$${\displaystyle \langle v,\varphi \rangle =\varphi (v)}$

それでも、座標フリー処理から進めるには複雑すぎる場合や、座標フリー処理では記述されたオブジェクトの一意性は保証されるものの、存在は保証されない場合、あるいは座標フリー処理がそもそも存在しない場合があります。最後の状況の例として、マッピングは有限次元ベクトル空間とその双対との間の一般的な同型性を示しますが、この同型性は座標フリー定義によって証明されていません。2 番目の状況の例として、スキームのファイバー積を構築する一般的な方法は、アフィン パッチに沿った接着です。^[1]この構築の簡潔さを軽減するために、ファイバー積は便利な普遍的な特性によって特徴付けられ、選択された最初のアフィン パッチに依存しないことが証明されます。 ${\displaystyle v_{i}\mapsto v_{i}^{*}}$

デカルトによる解析幾何学の発展以前は、座標を使用しない処理が幾何学に対する唯一のアプローチでした（現在では総合幾何学として知られています） 。数世紀にわたって一般的に座標ベースの説明が行われてきましたが、現代の傾向としては、学生に早い段階で座標を使用しない処理を紹介し、その後、座標を使用しない処理から座標ベースの処理を導き出すこと（その逆ではない）が一般的です。

現在、座標フリーの扱いが導入されることが多い分野としては、ベクトル計算、テンソル、微分幾何学、コンピュータグラフィックスなどがある。^[2]

物理学において、物理理論の座標フリーな扱いの存在は、一般共変性の原理の帰結である。

• 一般共分散
• 幾何学の基礎
• 基準の変更
• 座標条件
• テンソルの成分フリー処理
• 背景の独立性
• 無意味なトポロジー