尺度の曲率

数学において、ユークリッド平面R ²上で定義される測度の曲率は、測度の「質量の分布」がどの程度「曲がっている」かを定量化したものです。これは、幾何学における曲率の概念に関連しています。以下に示す形式で、この概念は 1995 年に数学者Mark S. Melnikov によって導入されました。したがって、メルニコフ曲率またはメンガー-メルニコフ曲率と呼ばれることもあります。Melnikov と Verdera (1995) は、測度の曲率とコーシー核との強力な関係を確立しました。

μ をユークリッド平面R ^2上のボレル測度とする。R ²上の3 つの (異なる) 点x、y、z が与えられ、R ( x、  y、  z ) をこれら 3 つの点を結ぶユークリッド円の半径、またはこれらが同一直線上にある場合は +∞ とする。メンガー曲率c ( x、  y、  z ) は次のように定義される。

${\displaystyle c(x,y,z)={\frac {1}{R(x,y,z)}},}$

自然な慣例により、x、  y、zが同一線上にある場合、 c ( x 、 y、  z ) = 0 となります。この定義を拡張して、点x、y、zのいずれかが一致する場合、 c ( x、  y、  z ) = 0とすることも慣例です。μのメンガー・メルニコフ曲率c ² ( μ )は次のように定義されます 。

${\displaystyle c^{2}(\mu )=\iiint _{\mathbb {R} ^{2}}c(x,y,z)^{2}\,\mathrm {d} \mu (x)\mathrm {d} \mu (y)\mathrm {d} \mu (z).}$

より一般的には、α  ≥ 0 の場合、c ^{2 α} ( μ ) を次のように 定義します。

${\displaystyle c^{2\alpha }(\mu )=\iiint _{\mathbb {R} ^{2}}c(x,y,z)^{2\alpha }\,\mathrm {d} \mu (x)\mathrm {d} \mu (y)\mathrm {d} \mu (z).}$

与えられた点xにおけるμの曲率を参照することもできます。

${\displaystyle c^{2}(\mu ;x)=\iint _{\mathbb {R} ^{2}}c(x,y,z)^{2}\,\mathrm {d} \mu (y)\mathrm {d} \mu (z),}$

その場合

${\displaystyle c^{2}(\mu )=\int _{\mathbb {R} ^{2}}c^{2}(\mu ;x)\,\mathrm {d} \mu (x).}$

• 自明な測度は曲率がゼロです。
• 任意の点 a でサポートされるディラック測度 δ aは曲 率_がゼロです。
• μ がユークリッド直線L内に台が含まれる測度である場合、μ の曲率はゼロになります。たとえば、任意の直線 (または線分) 上の1 次元ルベーグ測度の曲率はゼロです。
• R ²全体にわたって定義されたルベーグ測度は無限の曲率を持ちます。
• μ が円C _rまたは半径r上の均一な 1 次元ハウスドルフ測度である場合、μ の曲率は 1/ rになります。

この節では、R ^{2 は}複素平面 Cとして考えられている。メルニコフとヴェルデラ (1995) は、コーシー核の有界性と測度の曲率との正確な関係を示した。彼らは、ある定数C ₀が存在し、

${\displaystyle \mu (B_{r}(x))\leq C_{0}r}$

すべてのx がCに属し、すべてのr > 0 である場合、 C ₀のみに依存する別の定数C が存在し、

${\displaystyle \left|6\int _{\mathbb {C} }|{\mathcal {C}}_{\varepsilon }(\mu )(z)|^{2}\,\mathrm {d} \mu (z)-c_{\varepsilon }^{2}(\mu )\right|\leq C\|\mu \|}$

ε  > 0 のすべてについてである。ここでc _{ε は}メンガー・メルニコフ曲率の切断版を表し、積分はx、y、z の点のみで行われ、

${\displaystyle |x-y|>\varepsilon ;}$

${\displaystyle |y-z|>\varepsilon ;}$

${\displaystyle |z-x|>\varepsilon .}$

同様に、は切断されたコーシー積分作用素を表す。C上の測度μとC内の点zに対して、次のように定義する。 ${\displaystyle {\mathcal {C}}_{\varepsilon }}$

${\displaystyle {\mathcal {C}}_{\varepsilon }(\mu )(z)=\int {\frac {1}{\xi -z}}\,\mathrm {d} \mu (\xi ),}$

ここで積分はCの点ξで行われ、

${\displaystyle |\xi -z|>\varepsilon .}$

• Mel'nikov, Mark S. (1995). 「解析能力: 離散的アプローチと測定の曲率」Matematicheskii Sbornik . 186 (6): 57–76. ISSN  0368-8666.
• Melnikov, Mark S.; Verdera, Joan (1995). 「リプシッツグラフ上のコーシー積分の L2 有界性の幾何学的証明」International Mathematics Research Notices . 1995 (7): 325–331. doi : 10.1155/S1073792895000249 .
• Tolsa, Xavier (2000). 「コーシー積分の主値と整流可能性」アメリカ数学会紀要. 128 (7): 2111–2119. doi : 10.1090/S0002-9939-00-05264-3 .