微分的観点からの曲線の研究
曲線の微分幾何学は、 微分積分法 と 積分法 によって 平面 と ユークリッド空間 内の 滑らかな 曲線 を扱う 幾何学 の分野です 。
多くの 特定の曲線は、 合成アプローチ を使用して徹底的に調査されてきました 。 微分幾何学は別の道をたどります。曲線は パラメーター化された形式 で表現され 、曲線の幾何学的特性と、 曲率 や 弧の長さなどの曲線に関連するさまざまな量は、 ベクトル計算 を使用した 微分 と 積分 によって表現されます 。曲線を分析するために使用される最も重要なツールの1つは、 フレネフレーム です。これは、曲線の各ポイントで、そのポイント近くの曲線に「最も適合した」座標系を提供する移動フレームです。
曲線の理論は、 曲面の理論 やその高次元の一般化よりもはるかに単純で、範囲も狭い。これは、ユークリッド空間内の正則曲線には固有の幾何学がないからである。正則曲線はどれも、弧の長さによってパラメータ化できる（ 自然なパラメータ化 ）。周囲の空間について何も知らない曲線上の 理論上の点粒子 の観点からは、すべての曲線が同じに見える。異なる空間曲線は、どのように曲がり、ねじれるかによってのみ区別される。定量的には、これは 曲線の 曲率 と ねじれと 呼ばれる微分幾何学的不変量によって測定される。曲線の基本定理は、 これらの不変量の知識によって曲線が完全に決定されると主張している。
定義 パラメトリック C r 曲線 または C r パラメータ 化は
、 r 回 連続的に微分可能な （ つまり、 γの成分関数が連続的 に微分可能な） ベクトル値関数 です 。ここで 、、、 および I は 実数の 空でない区間です 。 パラメトリック曲線の 像 は です。パラメトリック曲線 γ とその像 γ [ I ] は 区別する必要があります。これは、 の特定のサブセットが多くの異なるパラメトリック曲線の像になる可能性があるためです。γ ( t ) の パラメータ t は時間を表し、 γ は 空間内の移動点の軌跡を表すものと考えることができます。I が閉区間 [ a , b ] の場合 、 γ ( a ) は 開始 点 、 γ ( b ) は γ の終点と呼ばれます 。 開始 点 と 終点 が 一致 する場合（つまり、 γ ( a ) = γ ( b ) ）、 γは 閉曲線 または ループ です 。 C r ループであるためには 、関数 γ は r 回連続微分可能 で、 0 ≤ k ≤ r に対して γ ( k ) ( a ) = γ ( k ) ( b ) を満たす必要があります。
γ : 私 →
R
ん
{\displaystyle \gamma :I\to \mathbb {R} ^{n}}
ん ∈
いいえ
{\displaystyle n\in \mathbb {N} }
r ∈
いいえ
∪ { ∞ }
{\displaystyle r\in \mathbb {N} \cup \{\infty \}}
γ [ 私 ] ⊆
R
ん
{\displaystyle \gamma [I]\subseteq \mathbb {R} ^{n}}
R
ん
{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}
パラメトリック曲線は、
が 単射で ある場合に
単純です。 γ の各成分関数が 解析関数 である場合 、つまり C ω クラスである場合に解析的 です 。
γ
|
（ 1つの 、 b ）
: （ 1つの 、 b ） →
R
ん
{\displaystyle \gamma |_{(a,b)}:(a,b)\to \mathbb {R} ^{n}}
曲線 γ が m 次（ただし m ≤ r ） の正則曲線で あるためには、任意の t ∈ I に対して が の線形独立な 部分集合である必要
があります 。特に、パラメトリック C 1 曲線 γが 正則曲線 であるためには、 任意
の t ∈ I に対して γ ′ ( t ) ≠ 0 である必要があります 。
{
γ ′
（ t ） 、
γ ″
（ t ） 、 … 、
γ
（ メートル ）
（ t ）
}
{\displaystyle \left\{\gamma '(t),\gamma ''(t),\ldots ,{\gamma ^{(m)}}(t)\right\}}
R
ん
{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}
再パラメータ化と同値関係 パラメトリック曲線のイメージを考えると、パラメトリック曲線にはいくつかの異なるパラメータ化があります。微分幾何学は、特定の再パラメータ化に対して不変であるパラメトリック曲線の特性を記述することを目的としています。すべてのパラメトリック曲線の集合に対して適切な 同値関係 を定義する必要があります。パラメトリック曲線の微分幾何学特性 (長さ、フレネ フレーム、一般化曲率など) は再パラメータ化に対して不変であり、したがって 同値類 自体の特性です。同値類は C r 曲線と呼ばれ、曲線の微分幾何学で研究される中心的な対象です。
2つの パラメトリック C r 曲線 とが 同等 である とは、C r 写像 φ : I 1 → I 2 が存在して 、 かつ γ 2 が γ 1 の 再 パラメトリック 化
で
ある と 言わ れる 場合 のみ である 。
γ
1
:
私
1
→
R
ん
{\displaystyle \gamma _{1}:I_{1}\to \mathbb {R} ^{n}}
γ
2
:
私
2
→
R
ん
{\displaystyle \gamma _{2}:I_{2}\to \mathbb {R} ^{n}}
∀ t ∈
私
1
:
φ ′
（ t ） ≠ 0
{\displaystyle \forall t\in I_{1}:\quad \varphi '(t)\neq 0}
∀ t ∈
私
1
:
γ
2
（
φ （ t ）
）
=
γ
1
（ t ） 。
{\displaystyle \forall t\in I_{1}:\quad \gamma _{2}{\bigl (}\varphi (t){\bigr )}=\gamma _{1}(t).}
再パラメータ化は、クラスC r のすべてのパラメトリックC r 曲線 の集合に同値関係を定義します 。この関係の同値クラスは、単に C r 曲線です。
方向付けられたパラメトリックC r 曲線のさらに 細かい 同値関係は、 φ が φ ′ ( t ) > 0 を 満たすことを 要求することによって定義できます 。
同等のパラメトリック C r 曲線は同じイメージを持ち、同等の方向付けされたパラメトリック C r 曲線は同じ方向にイメージを横断します。
長さと自然なパラメータ化 パラメトリック C 1 曲線の 長さ l は次のように定義されます。
パラメトリック曲線の長さは再パラメータ化に対して不変であるため、パラメトリック曲線の微分幾何学的特性です。
γ : [ 1つの 、 b ] →
R
ん
{\displaystyle \gamma :[a,b]\to \mathbb {R} ^{n}}
l
=
定義
∫
1つの
b
‖
γ ′
（ t ）
‖
d
t
。
{\displaystyle l~{\stackrel {\text{def}}{=}}~\int _{a}^{b}\left\|\gamma '(t)\right\|\,\mathrm {d} {t}.}
r ≥ 1 である 各正規パラメトリック C r 曲線に対して 、関数は
γ (s) = γ ( t ( s ))
と書き表され 、ここで t ( s )は s ( t ) の逆関数である。これは γ の 再パラメタ化 γ であり、
γ : [ 1つの 、 b ] →
R
ん
{\displaystyle \gamma :[a,b]\to \mathbb {R} ^{n}}
∀ t ∈ [ 1つの 、 b ] : s （ t ）
=
定義
∫
1つの
t
‖
γ ′
（ x ）
‖
d
x
。
{\displaystyle \forall t\in [a,b]:\quad s(t)~{\stackrel {\text{def}}{=}}~\int _{a}^{t}\left\|\gamma '(x)\right\|\,\mathrm {d} {x}.}
弧長パラメータ化 、 自然パラメータ化 、 単位速度パラメータ化 。パラメータ s ( t ) γ の 自然パラメータ と呼ばれます 。
このパラメータ化が好まれるのは、自然パラメータ s ( t ) が 単位速度で
γ の像を横切るため、
実際にはパラメトリック曲線の自然パラメータ化を計算するのは非常に難しいことが多いのですが、理論的な議論には役立ちます。
∀ t ∈ 私 :
‖
γ ¯
′
（
s （ t ）
）
‖
= 1.
{\displaystyle \forall t\in I:\quad \left\|{\overline {\gamma }}'{\bigl (}s(t){\bigr )}\right\|=1.}
与えられたパラメトリック曲線 γ に対して、自然なパラメータ化はパラメータのシフトまで一意です。
この量は
曲線の エネルギー または 作用
と呼ばれることもあります。 測地線 方程式がこの作用の オイラー・ラグランジュ の運動方程式であるため、この名前は正当です。
え （ γ ）
=
定義
1 2
∫
1つの
b
‖
γ ′
（ t ）
‖
2
d
t
{\displaystyle E(\gamma )~{\stackrel {\text{def}}{=}}~{\frac {1}{2}}\int _{a}^{b}\left\|\gamma '(t)\right\|^{2}~\mathrm {d} {t}}
フレネフレーム 空間曲線上の点のフレネ フレームの図。T は 単位接線、 P は 単位法線、 B は 単位従法線です。 フレネフレームは、各点 γ ( t ) で曲線を局所的に記述するために使用される n 個 の正規直交 ベクトル e i ( t ) の 移動参照フレーム です。これは、曲線の微分幾何学的処理における主要なツールです。これは、ユークリッド座標などのグローバル参照システムを使用するよりも、ローカル参照システムでローカル特性 (曲率、ねじれなど) を記述する方がはるかに簡単で自然であるためです。
がn 次の正規曲線 である C n + 1 曲線 γ が与えられたとき、その曲線のフレネフレームは フレネベクトル と
呼ばれる 正規直交ベクトルの集合である
。これらは 、グラム・シュミット直交化アルゴリズム を
用いて γ ( t ) の導関数から構築される。
R
ん
{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}
e
1
（ t ） 、 … 、
e
ん
（ t ）
{\displaystyle \mathbf {e} _{1}(t),\ldots ,\mathbf {e} _{n}(t)}
e
1
（ t ）
=
γ
′
（ t ）
‖
γ
′
（ t ）
‖
e
じ
（ t ）
=
e
じ
¯
（ t ）
‖
e
じ
¯
（ t ）
‖
、
e
じ
¯
（ t ）
=
γ
（ じ ）
（ t ） −
∑
私 = 1
じ − 1
⟨
γ
（ じ ）
（ t ） 、
e
私
（ t ）
⟩
e
私
（ t ）
⟨
{\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {e} _{1}(t)&={\frac {{\boldsymbol {\gamma }}'(t)}{\left\|{\boldsymbol {\gamma }}'(t)\right\|}}\\[1ex]\mathbf {e} _{j}(t)&={\frac {{\overline {\mathbf {e} _{j}}}(t)}{\left\|{\overline {\mathbf {e} _{j}}}(t)\right\|}},&{\overline {\mathbf {e} _{j}}}(t)&={\boldsymbol {\gamma }}^{(j)}(t)-\sum _{i=1}^{j-1}\left\langle {\boldsymbol {\gamma }}^{(j)}(t),\,\mathbf {e} _{i}(t)\right\rangle \,\mathbf {e} _{i}(t){\vphantom {\Bigg \langle }}\end{aligned}}}
実数値関数 χ i ( t ) は一般化曲率と呼ばれ、次のように定義される。
χ
i
(
t
)
=
⟨
e
i
′
(
t
)
,
e
i
+
1
(
t
)
⟩
‖
γ
′
(
t
)
‖
{\displaystyle \chi _{i}(t)={\frac {{\bigl \langle }\mathbf {e} _{i}'(t),\mathbf {e} _{i+1}(t){\bigr \rangle }}{\left\|{\boldsymbol {\gamma }}^{'}(t)\right\|}}}
フレネ フレームと一般化曲率は再パラメータ化に対して不変であり、したがって曲線の微分幾何学的特性です。 内の曲線の場合、 は曲率、 はねじれです。
R
3
{\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}
χ
1
(
t
)
{\displaystyle \chi _{1}(t)}
χ
2
(
t
)
{\displaystyle \chi _{2}(t)}
ベルトラン曲線 ベルトラン曲線は 、 の正則曲線であり、 に 2 番目の曲線が存在し、この 2 つの曲線への主法線ベクトルが各対応する点で同一であるという追加の特性があります 。言い換えると、 の 2 つの曲線 γ 1 ( t ) と γ 2 ( t ) で、任意の t に対して2 つの主法線 N 1 ( t )、 N 2 (t) が等しい場合、 γ 1 と γ 2 は ベルトラン曲線であり、 γ 2 は γ 1 のベルトランメイトと呼ばれます。 定数 rに対して、 γ 2 ( t ) = γ 1 ( t ) + r N 1 ( t ) と書くことができます 。 [1]
R
3
{\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}
R
3
{\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}
R
3
{\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}
キューネルの「微分幾何学 曲線 – 曲面 – 多様体」の問題 25 によれば、同じ 2 次元平面上にない 2 つのベルトラン曲線は、線形関係 a κ ( t ) + b τ ( t ) = 1 が存在するという特徴があります。ここで、 κ ( t ) と τ ( t )は γ 1 ( t ) の曲率とねじれであり 、 a と b は a ≠ 0 の実定数です 。 [2] さらに、ベルトラン曲線のペアのねじれの積は定数です。 [3] γ 1 に複数のベルトラン メイトがある
場合、その数は無限にあります。これは、 γ 1 が円形らせんの 場合にのみ発生します。 [1]
特殊フレネベクトルと一般化曲率 最初の 3 つのフレネ ベクトルと一般化曲率は、3 次元空間で視覚化できます。これらには、追加の名前と、より多くの意味情報が付加されています。
接線ベクトル 曲線 γ が 粒子の経路を表す場合、与えられた点 P における粒子の瞬間 速度は ベクトル で表され 、 P における曲線の 接線ベクトル と呼ばれます。数学的には、パラメータ化された C 1 曲線 γ = γ ( t ) が与えられた場合、パラメータの
すべての値 t = t 0 に対して、ベクトル
は点 P = γ ( t 0 )における接線ベクトルです。一般的に、接線ベクトルは ゼロ になる場合があります 。接線ベクトルの大きさは
、時刻 t 0 における速度です。
γ
′
(
t
0
)
=
d
d
t
γ
(
t
)
|
t
=
t
0
{\displaystyle \gamma '(t_{0})=\left.{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}{\boldsymbol {\gamma }}(t)\right|_{t=t_{0}}}
‖
γ
′
(
t
0
)
‖
{\displaystyle \left\|{\boldsymbol {\gamma }}'(t_{0})\right\|}
最初のフレネベクトル e 1 ( t )は、 γ の各正規点で定義される、同じ方向の単位接線ベクトルです 。
t = s が自然パラメータである
場合 、接線ベクトルの長さは単位になります。 式は次のように簡略化されます。
単位接線ベクトルは、パラメータの増加する値に対応する曲線の方向、つまり順方向を決定します。 曲線としてとらえられた単位接線ベクトルは、元の曲線の 球面像 をトレースします。
e
1
(
t
)
=
γ
′
(
t
)
‖
γ
′
(
t
)
‖
.
{\displaystyle \mathbf {e} _{1}(t)={\frac {{\boldsymbol {\gamma }}'(t)}{\left\|{\boldsymbol {\gamma }}'(t)\right\|}}.}
e
1
(
s
)
=
γ
′
(
s
)
.
{\displaystyle \mathbf {e} _{1}(s)={\boldsymbol {\gamma }}'(s).}
法線ベクトルまたは曲率ベクトル 曲線 法線ベクトルは 、 曲率ベクトル とも呼ばれ、曲線が直線からどれだけ離れているかを示します。次のように定義されます。
e
2
¯
(
t
)
=
γ
″
(
t
)
−
⟨
γ
″
(
t
)
,
e
1
(
t
)
⟩
e
1
(
t
)
.
{\displaystyle {\overline {\mathbf {e} _{2}}}(t)={\boldsymbol {\gamma }}''(t)-{\bigl \langle }{\boldsymbol {\gamma }}''(t),\mathbf {e} _{1}(t){\bigr \rangle }\,\mathbf {e} _{1}(t).}
その正規化された形式である単位法線ベクトルは第2フレネベクトル e 2 ( t ) であり、次のように定義される。
e
2
(
t
)
=
e
2
¯
(
t
)
‖
e
2
¯
(
t
)
‖
.
{\displaystyle \mathbf {e} _{2}(t)={\frac {{\overline {\mathbf {e} _{2}}}(t)}{\left\|{\overline {\mathbf {e} _{2}}}(t)\right\|}}.}
点t における接線と法線ベクトルは、 点 t における接触面を 定義します 。
ē 2 ( t ) ∝ e ′ 1 ( t ) であることが示される 。したがって、
e
2
(
t
)
=
e
1
′
(
t
)
‖
e
1
′
(
t
)
‖
.
{\displaystyle \mathbf {e} _{2}(t)={\frac {\mathbf {e} _{1}'(t)}{\left\|\mathbf {e} _{1}'(t)\right\|}}.}
曲率 最初の一般化曲率 χ 1 ( t )は曲率と呼ばれ、接触面に対する γ の直線から
の偏差を測る。これは と定義され、 点 tにおける γ の 曲率
と呼ばれる 。
κ
(
t
)
=
χ
1
(
t
)
=
⟨
e
1
′
(
t
)
,
e
2
(
t
)
⟩
‖
γ
′
(
t
)
‖
{\displaystyle \kappa (t)=\chi _{1}(t)={\frac {{\bigl \langle }\mathbf {e} _{1}'(t),\mathbf {e} _{2}(t){\bigr \rangle }}{\left\|{\boldsymbol {\gamma }}'(t)\right\|}}}
κ
(
t
)
=
‖
e
1
′
(
t
)
‖
‖
γ
′
(
t
)
‖
.
{\displaystyle \kappa (t)={\frac {\left\|\mathbf {e} _{1}'(t)\right\|}{\left\|{\boldsymbol {\gamma }}'(t)\right\|}}.}
曲率の
逆数 は 曲率半径
と呼ばれます 。
1
κ
(
t
)
{\displaystyle {\frac {1}{\kappa (t)}}}
半径r の円は 一定の曲率を持ちます
が、直線の曲率は 0 です。
κ
(
t
)
=
1
r
{\displaystyle \kappa (t)={\frac {1}{r}}}
従法線ベクトル 単位従法線ベクトルは第3のフレネベクトル e 3 ( t )である。これは常に t における単位接線ベクトルおよび法線ベクトルと直交する 。次のように定義される。
e
3
(
t
)
=
e
3
¯
(
t
)
‖
e
3
¯
(
t
)
‖
,
e
3
¯
(
t
)
=
γ
‴
(
t
)
−
⟨
γ
‴
(
t
)
,
e
1
(
t
)
⟩
e
1
(
t
)
−
⟨
γ
‴
(
t
)
,
e
2
(
t
)
⟩
e
2
(
t
)
{\displaystyle \mathbf {e} _{3}(t)={\frac {{\overline {\mathbf {e} _{3}}}(t)}{\left\|{\overline {\mathbf {e} _{3}}}(t)\right\|}},\quad {\overline {\mathbf {e} _{3}}}(t)={\boldsymbol {\gamma }}'''(t)-{\bigr \langle }{\boldsymbol {\gamma }}'''(t),\mathbf {e} _{1}(t){\bigr \rangle }\,\mathbf {e} _{1}(t)-{\bigl \langle }{\boldsymbol {\gamma }}'''(t),\mathbf {e} _{2}(t){\bigr \rangle }\,\mathbf {e} _{2}(t)}
3 次元空間では、この式は
または に
簡略化されます
。どちらの符号も発生する可能性があることは、右巻きのらせんと左巻きのらせんの例で説明されます。
e
3
(
t
)
=
e
1
(
t
)
×
e
2
(
t
)
{\displaystyle \mathbf {e} _{3}(t)=\mathbf {e} _{1}(t)\times \mathbf {e} _{2}(t)}
e
3
(
t
)
=
−
e
1
(
t
)
×
e
2
(
t
)
,
{\displaystyle \mathbf {e} _{3}(t)=-\mathbf {e} _{1}(t)\times \mathbf {e} _{2}(t),}
ねじれ 2 番目の一般化曲率 χ 2 ( t )は ねじれ と呼ばれ 、 γ が平面曲線 であることからの逸脱を測定します。言い換えると、ねじれがゼロの場合、曲線は完全に同じ接触平面上にあります (すべての点 t に対して接触平面は 1 つしかありません )。これは と定義され
、点 t における γ の ねじれ
と呼ばれます 。
τ
(
t
)
=
χ
2
(
t
)
=
⟨
e
2
′
(
t
)
,
e
3
(
t
)
⟩
‖
γ
′
(
t
)
‖
{\displaystyle \tau (t)=\chi _{2}(t)={\frac {{\bigl \langle }\mathbf {e} _{2}'(t),\mathbf {e} _{3}(t){\bigr \rangle }}{\left\|{\boldsymbol {\gamma }}'(t)\right\|}}}
異常性 3次導関数は 、 曲線の 非円形度 の指標である 異常性 を定義するために使用できます。 [4] [5] [6]
曲線理論の主定理 n − 1 個の 関数
が与えられたとき、次数 n の正則で 次の特性を持つ
唯一の ( ユークリッド群
を使用した変換を除く ) C n + 1 曲線 γ が存在する:
ここで、集合は
曲線のフレネフレームである。
χ
i
∈
C
n
−
i
(
[
a
,
b
]
,
R
n
)
,
χ
i
(
t
)
>
0
,
1
≤
i
≤
n
−
1
{\displaystyle \chi _{i}\in C^{n-i}([a,b],\mathbb {R} ^{n}),\quad \chi _{i}(t)>0,\quad 1\leq i\leq n-1}
‖
γ
′
(
t
)
‖
=
1
t
∈
[
a
,
b
]
χ
i
(
t
)
=
⟨
e
i
′
(
t
)
,
e
i
+
1
(
t
)
⟩
‖
γ
′
(
t
)
‖
{\displaystyle {\begin{aligned}\|\gamma '(t)\|&=1&t\in [a,b]\\\chi _{i}(t)&={\frac {\langle \mathbf {e} _{i}'(t),\mathbf {e} _{i+1}(t)\rangle }{\|{\boldsymbol {\gamma }}'(t)\|}}\end{aligned}}}
e
1
(
t
)
,
…
,
e
n
(
t
)
{\displaystyle \mathbf {e} _{1}(t),\ldots ,\mathbf {e} _{n}(t)}
さらに、 I の 開始 t 0 、開始点 p 0 、 および初期の正の正規直交フレネフレーム { e 1 , ..., e n − 1 } を与えると、
ユークリッド変換が除去され、一意の曲線 γ
が得られます 。
R
n
{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}
γ
(
t
0
)
=
p
0
e
i
(
t
0
)
=
e
i
,
1
≤
i
≤
n
−
1
{\displaystyle {\begin{aligned}{\boldsymbol {\gamma }}(t_{0})&=\mathbf {p} _{0}\\\mathbf {e} _{i}(t_{0})&=\mathbf {e} _{i},\quad 1\leq i\leq n-1\end{aligned}}}
フレネ・セレの公式は、一階の 常微分方程式の集合です。解は、一般化曲率関数 χ i によって指定される曲線を記述するフレネ ベクトルの集合です 。
2次元
[
e
1
′
(
t
)
e
2
′
(
t
)
]
=
‖
γ
′
(
t
)
‖
[
0
κ
(
t
)
−
κ
(
t
)
0
]
[
e
1
(
t
)
e
2
(
t
)
]
{\displaystyle {\begin{bmatrix}\mathbf {e} _{1}'(t)\\\mathbf {e} _{2}'(t)\end{bmatrix}}=\left\Vert \gamma '(t)\right\Vert {\begin{bmatrix}0&\kappa (t)\\-\kappa (t)&0\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\mathbf {e} _{1}(t)\\\mathbf {e} _{2}(t)\end{bmatrix}}}
3次元
[
e
1
′
(
t
)
e
2
′
(
t
)
e
3
′
(
t
)
]
=
‖
γ
′
(
t
)
‖
[
0
κ
(
t
)
0
−
κ
(
t
)
0
τ
(
t
)
0
−
τ
(
t
)
0
]
[
e
1
(
t
)
e
2
(
t
)
e
3
(
t
)
]
{\displaystyle {\begin{bmatrix}\mathbf {e} _{1}'(t)\\[0.75ex]\mathbf {e} _{2}'(t)\\[0.75ex]\mathbf {e} _{3}'(t)\end{bmatrix}}=\left\Vert \gamma '(t)\right\Vert {\begin{bmatrix}0&\kappa (t)&0\\[1ex]-\kappa (t)&0&\tau (t)\\[1ex]0&-\tau (t)&0\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\mathbf {e} _{1}(t)\\[1ex]\mathbf {e} _{2}(t)\\[1ex]\mathbf {e} _{3}(t)\end{bmatrix}}}
[
e
1
′
(
t
)
e
2
′
(
t
)
⋮
e
n
−
1
′
(
t
)
e
n
′
(
t
)
]
=
‖
γ
′
(
t
)
‖
[
0
χ
1
(
t
)
⋯
0
0
−
χ
1
(
t
)
0
⋯
0
0
⋮
⋮
⋱
⋮
⋮
0
0
⋯
0
χ
n
−
1
(
t
)
0
0
⋯
−
χ
n
−
1
(
t
)
0
]
[
e
1
(
t
)
e
2
(
t
)
⋮
e
n
−
1
(
t
)
e
n
(
t
)
]
{\displaystyle {\begin{bmatrix}\mathbf {e} _{1}'(t)\\[1ex]\mathbf {e} _{2}'(t)\\[1ex]\vdots \\[1ex]\mathbf {e} _{n-1}'(t)\\[1ex]\mathbf {e} _{n}'(t)\\[1ex]\end{bmatrix}}=\left\Vert \gamma '(t)\right\Vert {\begin{bmatrix}0&\chi _{1}(t)&\cdots &0&0\\[1ex]-\chi _{1}(t)&0&\cdots &0&0\\[1ex]\vdots &\vdots &\ddots &\vdots &\vdots \\[1ex]0&0&\cdots &0&\chi _{n-1}(t)\\[1ex]0&0&\cdots &-\chi _{n-1}(t)&0\\[1ex]\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\mathbf {e} _{1}(t)\\[1ex]\mathbf {e} _{2}(t)\\[1ex]\vdots \\[1ex]\mathbf {e} _{n-1}(t)\\[1ex]\mathbf {e} _{n}(t)\\[1ex]\end{bmatrix}}}
参照
参考文献
^ ab do Carmo, Manfredo P. (2016). 曲線と曲面の微分幾何学 （改訂第2版）. ミネオラ、ニューヨーク州：Dover Publications、Inc. pp. 27–28. ISBN 978-0-486-80699-0 。 ^ キューネル、ヴォルフガング (2005)。 微分幾何学: 曲線、曲面、多様体。プロビデンス: AMS。p. 53。ISBN 0-8218-3988-8 。 ^ ワイスタイン、エリック・W.「ベルトラン・カーブス」。 mathworld.wolfram.com 。 ^ Schot, Stephen (1978年11月). 「異常性: 3次導関数の幾何学」. 数学雑誌 . 5. 51 (5): 259–275. doi :10.2307/2690245. JSTOR 2690245. ^ Cameron Byerley、Russell a. Gordon (2007)。「異常性の尺度」。Real Analysis Exchange。32 ( 1 )。ミシガン州立大学出版局：233。doi ： 10.14321/ realanalexch.32.1.0233。ISSN 0147-1937 。 ^ Gordon, Russell A. (2004). 「平面曲線の異常性」. The Mathematical Gazette . 89 (516). Cambridge University Press (CUP): 424–436. doi :10.1017/s0025557200178271. ISSN 0025-5572. S2CID 118533002.
さらに読む クレイシグ、アーウィン（1991）。 微分幾何学 。ニューヨーク：ドーバー出版 。ISBN 0-486-66721-9 。 第 2 章は、3 次元の 曲線理論 の古典的な扱いです。
![{\displaystyle \gamma [I]\subseteq \mathbb {R} ^{n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/27a675bd019e880d10ce7c4e1f744884fa8afab8)
![{\displaystyle \gamma :[a,b]\to \mathbb {R} ^{n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cac70dec799b73a718bdc3431587a65f829bf03b)
![{\displaystyle \forall t\in [a,b]:\quad s(t)~{\stackrel {\text{def}}{=}}~\int _{a}^{t}\left\|\gamma '(x)\right\|\,\mathrm {d} {x}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/213ccdcd8b5a360dfd7b10af5ec2acb0d2af44eb)
![{\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {e} _{1}(t)&={\frac {{\boldsymbol {\gamma }}'(t)}{\left\|{\boldsymbol {\gamma }}'(t)\right\|}}\\[1ex]\mathbf {e} _{j}(t)&={\frac {{\overline {\mathbf {e} _{j}}}(t)}{\left\|{\overline {\mathbf {e} _{j}}}(t)\right\|}},&{\overline {\mathbf {e} _{j}}}(t)&={\boldsymbol {\gamma }}^{(j)}(t)-\sum _{i=1}^{j-1}\left\langle {\boldsymbol {\gamma }}^{(j)}(t),\,\mathbf {e} _{i}(t)\right\rangle \,\mathbf {e} _{i}(t){\vphantom {\Bigg \langle }}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e7a438a21715348108d363a47e7decbe61ca55c9)
![{\displaystyle \chi _{i}\in C^{ni}([a,b],\mathbb {R} ^{n}),\quad \chi _{i}(t)>0,\quad 1\leq i\leq n-1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b7182200998b9129906844a4064319c58db58284)
![{\displaystyle {\begin{aligned}\|\gamma '(t)\|&=1&t\in [a,b]\\\chi _{i}(t)&={\frac {\langle \mathbf {e} _{i}'(t),\mathbf {e} _{i+1}(t)\rangle }{\|{\boldsymbol {\gamma }}'(t)\|}}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dea14cc28063056837a1e8fcc22afbdcc9de4b49)
![{\displaystyle {\begin{bmatrix}\mathbf {e} _{1}'(t)\\[0.75ex]\mathbf {e} _{2}'(t)\\[0.75ex]\mathbf { e} _{3}'(t)\end{bmatrix}}=\left\Vert \gamma '(t)\right\Vert {\begin{bmatrix}0&\kappa (t)&0\\[1ex]-\kappa (t)&0&\tau (t)\\[1ex]0&-\tau (t)&0\end{bmatrix}}{ \begin{bmatrix}\mathbf {e} _{1}(t)\\[1ex]\mathbf {e} _{2}(t)\\[1ex]\mathbf {e} _{3}(t)\end{bmatrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6b2b3f14415be28c04fe7791330e1a80312da4c0)
![{\displaystyle {\begin{bmatrix}\mathbf {e} _{1}'(t)\\[1ex]\mathbf {e} _{2}'(t)\\[1ex]\vdots \\[ 1ex]\mathbf {e} _{n-1}'(t)\\[1ex]\mathbf {e} _{n}'(t)\\[1ex]\end{bmatrix}}=\left\Vert \gamma '(t)\right\Vert {\begin{bmatrix}0&\chi _{1}(t) &\cdots &0&0\\[1ex]-\chi _{1}(t)&0&\cdots &0&0\\[1ex]\vdots &\vdots &\ddots &\vdots &\vdots \\[1ex]0&0&\cdots &0&\chi _{n-1}(t)\\[1ex]0&0&\cdots &-\chi _{n-1}(t)&0\\[1ex]\end{ bmatrix}}{\begin{bmatrix}\mathbf {e} _{1}(t)\\[1ex]\mathbf {e} _{2}(t)\\[1ex]\vdots \\[1ex]\mathbf {e} _{n-1}(t)\\[1ex]\mathbf {e} _{n}(t) \\[1ex]\end{bmatrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/57257de520512a5d4eeb5260f888646942fa5d89)