オイラー・ベルヌーイ梁理論

オイラー・ベルヌーイ梁理論（エンジニア梁理論または古典梁理論としても知られる）^[1]は、線形弾性理論を簡略化したもので、梁の荷重伝達およびたわみ特性を計算する手段を提供する。横方向の荷重のみを受ける梁の小さなたわみに対応するケースをカバーする。せん断変形と回転慣性の影響を無視することで、これはティモシェンコ・エーレンフェスト梁理論の特殊なケースとなる。この理論は1750年頃に初めて発表されたが^{[2] 、19世紀後半の}エッフェル塔と観覧車の開発まで大規模には適用されなかった。これらの成功した実証の後、この理論はすぐに工学の基礎となり、第二次産業革命の実現要因となった。

プレート理論などの追加の数学モデルも開発されていますが、梁理論は単純であるため、科学、特に構造工学や機械工学において重要なツールとなっています。

一般的には、ガリレオ・ガリレイが最初に梁の理論を発展させようとしたと考えられていますが、最近の研究では、レオナルド・ダ・ヴィンチが最初に重要な観察を行ったと主張しています。ダ・ヴィンチにはフックの法則と微積分が欠けており、理論を完成させることができませんでしたが、ガリレオは誤った仮定によって妨げられました。^[3]

ベルヌーイ梁は、重要な発見をした ヤコブ・ベルヌーイにちなんで名付けられました。レオンハルト・オイラーとダニエル・ベルヌーイは、1750年頃に初めて有用な理論をまとめました。^[4]

オイラー・ベルヌーイの式は梁のたわみと加えられた荷重 の関係を記述する： ^[5]

曲線は、ある位置での 方向の梁のたわみを表します(梁は 1 次元オブジェクトとしてモデル化されていることに注意してください)。は分布荷重、つまり単位長さあたりの力 (圧力が面積あたりの力であるのと同様) であり、 、 、またはその他の変数の関数になる場合があります。は弾性係数で、 は梁の断面の2 次モーメントです。は、適用される荷重に垂直な軸に対して計算する必要があります。^{[N 1]}明示的に、に沿った荷重で軸が に向いている梁の場合、梁の断面は平面にあり、関連する 2 次モーメントは次のようになります。 ${\displaystyle w(x)}$${\displaystyle z}$${\displaystyle x}$${\displaystyle q}$${\displaystyle x}$${\displaystyle w}$${\displaystyle E}$${\displaystyle I}$${\displaystyle I}$${\displaystyle x}$${\displaystyle z}$${\displaystyle yz}$

${\displaystyle I=\iint z^{2}\;dy\;dz,}$

ここで、断面の重心は にあると仮定します。 ${\displaystyle y=z=0}$

多くの場合、積（曲げ剛性として知られる）は定数であり、 ${\displaystyle EI}$

${\displaystyle EI{\frac {\mathrm {d} ^{4}w}{\mathrm {d} x^{4}}}=q(x).\,}$

この方程式は、均一で静的な梁のたわみを記述するもので、工学の実務で広く使用されています。一般的な梁構成のたわみを表す表式は、工学ハンドブックに記載されています。より複雑な状況では、「直接積分」、「マコーレー法」、「モーメント面積法」 、「共役梁法」、「仮想仕事の原理」、「カスティリアーノ法」、「柔軟性法」、「傾斜たわみ法」、「モーメント分布法」、 「直接剛性法」などの手法を使用してオイラー・ベルヌーイ方程式を解くことで、たわみを決定できます。 ${\displaystyle w}$

文献には異なる規則が見られるため、ここで符号規則を定義します。^[5] この記事では、軸が右側、軸が上向き、軸が図の内側を指す右手座標系を使用します。曲げモーメントの符号は、セクションの右側の曲げモーメントに関連付けられたトルクベクトルが正の方向にある場合、つまり の正の値が底面で圧縮応力を生成する場合に正とされます。曲げモーメントの符号規則をこのように選択すると、 を得るためには、モーメントの静的平衡を達成できるように、セクションの右側に作用するせん断力が 方向で正であることが必要です。荷重強度が正の方向で正とされる場合、 力の平衡には が必要です。 ${\displaystyle x}$${\displaystyle z}$${\displaystyle y}$${\displaystyle M}$${\displaystyle y}$${\displaystyle M}$${\displaystyle dM=Qdx}$${\displaystyle Q}$${\displaystyle z}$${\displaystyle q}$${\displaystyle z}$${\displaystyle dQ=-qdx}$

たわみの連続的な導関数には重要な物理的意味があります。は梁の傾斜であり、これは小さな変位の限界における軸 を中心とした反時計回りの回転角度です。${\displaystyle w}$${\displaystyle dw/dx}$${\displaystyle y}$

${\displaystyle M=-EI{\frac {d^{2}w}{dx^{2}}}}$

梁の 曲げモーメントであり、

${\displaystyle Q=-{\frac {d}{dx}}\left(EI{\frac {d^{2}w}{dx^{2}}}\right)}$

梁の せん断力です。

与えられた荷重によるたわみが決定された後、梁の応力は上記の式から計算できます。

工学における曲げモーメント方程式の基本的な重要性のため、簡単な導出を示します。極座標に変更します。図の中立軸の長さは、中立軸の下の半径距離にある繊維の長さです。したがって、この繊維のひずみは、 ${\displaystyle \rho d\theta .}$${\displaystyle z}$${\displaystyle (\rho +z)d\theta .}$

${\displaystyle {\frac {\left(\rho +z-\rho \right)\ d\theta }{\rho \ d\theta }}={\frac {z}{\rho }}.}$

この繊維の応力は、フックの法則に従った弾性係数である。この応力から生じる差動力ベクトルは、次のように表される。 ${\displaystyle E{\dfrac {z}{\rho }}}$${\displaystyle E}$${\displaystyle d\mathbf {F} ,}$

${\displaystyle d\mathbf {F} =E{\frac {z}{\rho }}dA\mathbf {e_{x}} .}$

これは、図に示されている断面の右側に働く差動力ベクトルです。図から下半分の繊維が張力を受けていることがはっきりわかるので、この方向にあることがわかります。は、繊維の位置における面積の微分要素です。に関連する差動曲げモーメントベクトルは、次のように表されます。 ${\displaystyle \mathbf {e_{x}} }$${\displaystyle dA}$${\displaystyle d\mathbf {M} }$${\displaystyle d\mathbf {F} }$

${\displaystyle d\mathbf {M} =-z\mathbf {e_{z}} \times d\mathbf {F} =-\mathbf {e_{y}} E{\frac {z^{2}}{\rho }}dA.}$

この式は梁の下半分の繊維に有効です。梁の上半分の繊維の式も同様ですが、モーメントアームベクトルは正の方向で、力ベクトルは上側の繊維が圧縮されているため 方向になります。しかし、結果として生じる曲げモーメントベクトルは方向のままです。 したがって、梁の断面全体にわたって積分し、梁の右断面に作用する曲げモーメントベクトルについて次の式 を得ます。${\displaystyle z}$${\displaystyle -x}$${\displaystyle -y}$${\displaystyle \mathbf {e_{z}} \times -\mathbf {e_{x}} =-\mathbf {e_{y}} .}$${\displaystyle \mathbf {M} }$

${\displaystyle \mathbf {M} =\int d\mathbf {M} =-\mathbf {e_{y}} {\frac {E}{\rho }}\int {z^{2}}\ dA=-\mathbf {e_{y}} {\frac {EI}{\rho }},}$

ここで、 は面積の2次モーメントです。微積分から、が小さいとき（オイラー・ベルヌーイ梁の場合）、（ は曲率半径）と近似できることが分かっています。したがって、 ${\displaystyle I}$${\displaystyle {\dfrac {dw}{dx}}}$${\displaystyle {\dfrac {1}{\rho }}\simeq {\dfrac {d^{2}w}{dx^{2}}}}$${\displaystyle \rho }$

${\displaystyle \mathbf {M} =-\mathbf {e_{y}} EI{d^{2}w \over dx^{2}}.}$

このベクトル方程式は、曲げ単位ベクトルの定義（は として方向付けられる）と曲げ方程式で 分離できます。${\displaystyle M}$${\displaystyle \mathbf {e_{y}} }$

${\displaystyle M=-EI{d^{2}w \over dx^{2}}.}$

動的梁方程式は、次の作用に対する オイラー・ラグランジュ方程式である。

${\displaystyle S=\int _{t_{1}}^{t_{2}}\int _{0}^{L}\left[{\frac {1}{2}}\mu \left({\frac {\partial w}{\partial t}}\right)^{2}-{\frac {1}{2}}EI\left({\frac {\partial ^{2}w}{\partial x^{2}}}\right)^{2}+q(x)w(x,t)\right]dxdt.}$

最初の項は運動エネルギーを表し、 は単位長さあたりの質量、2番目の項は内部力による位置エネルギー（負の符号で考える場合）、3番目の項は外部荷重による位置エネルギーを表します。オイラー・ラグランジュ方程式は、関数 を最小化する関数を決定するために使用されます。動的なオイラー・ベルヌーイ梁の場合、オイラー・ラグランジュ方程式は次のようになります。${\displaystyle \mu }$${\displaystyle q(x)}$${\displaystyle S}$

ビームが均質で、およびが から独立している場合、ビーム方程式はより単純になります。 ${\displaystyle E}$${\displaystyle I}$${\displaystyle x}$

${\displaystyle EI{\cfrac {\partial ^{4}w}{\partial x^{4}}}=-\mu {\cfrac {\partial ^{2}w}{\partial t^{2}}}+q\,.}$

横方向の荷重がない場合、自由振動方程式が得られます。この方程式は、変位を次の形式の調和振動の和にフーリエ分解して解くことができます。 ${\displaystyle q}$

${\displaystyle w(x,t)={\text{Re}}[{\hat {w}}(x)~e^{-i\omega t}]}$

ここで、振動の周波数です。周波数の各値に対して、常微分方程式を解くことができます。 ${\displaystyle \omega }$

${\displaystyle EI~{\cfrac {\mathrm {d} ^{4}{\hat {w}}}{\mathrm {d} x^{4}}}-\mu \omega ^{2}{\hat {w}}=0\,.}$

上記の式の一般解は

${\displaystyle {\hat {w}}=A_{1}\cosh(\beta x)+A_{2}\sinh(\beta x)+A_{3}\cos(\beta x)+A_{4}\sin(\beta x)\quad {\text{with}}\quad \beta :=\left({\frac {\mu \omega ^{2}}{EI}}\right)^{1/4}}$

ここで、定数は与えられた境界条件に対して一意である。しかし、変位の解は一意ではなく、周波数に依存する。これらの解は通常次のように記述される。 ${\displaystyle A_{1},A_{2},A_{3},A_{4}}$

${\displaystyle {\hat {w}}_{n}=A_{1}\cosh(\beta _{n}x)+A_{2}\sinh(\beta _{n}x)+A_{3}\cos(\beta _{n}x)+A_{4}\sin(\beta _{n}x)\quad {\text{with}}\quad \beta _{n}:=\left({\frac {\mu \omega _{n}^{2}}{EI}}\right)^{1/4}\,.}$

これらの量は梁の固有振動数と呼ばれます。各変位解はモードと呼ばれ、変位曲線の形状はモード形状と呼ばれます。 ${\displaystyle \omega _{n}}$

長さ（ に固定） の片持ち梁の境界条件は、${\displaystyle L}$${\displaystyle x=0}$

${\displaystyle {\begin{aligned}&{\hat {w}}_{n}=0~,~~{\frac {d{\hat {w}}_{n}}{dx}}=0\quad {\text{at}}~~x=0\\&{\frac {d^{2}{\hat {w}}_{n}}{dx^{2}}}=0~,~~{\frac {d^{3}{\hat {w}}_{n}}{dx^{3}}}=0\quad {\text{at}}~~x=L\,.\end{aligned}}}$

これらの条件を適用すると、次の場合にのみ非自明な解が存在することがわかります 。この非線形方程式は数値的に解くことができます。最初の 4 つの根は、、、、およびです。 ${\displaystyle \cosh(\beta _{n}L)\,\cos(\beta _{n}L)+1=0\,.}$${\displaystyle \beta _{1}L=0.596864\pi }$${\displaystyle \beta _{2}L=1.49418\pi }$${\displaystyle \beta _{3}L=2.50025\pi }$${\displaystyle \beta _{4}L=3.49999\pi }$

対応する振動の固有周波数は

${\displaystyle \omega _{1}=\beta _{1}^{2}{\sqrt {\frac {EI}{\mu }}}={\frac {3.5160}{L^{2}}}{\sqrt {\frac {EI}{\mu }}}~,~~\dots }$

境界条件は、変位の解からモード形状を決定するためにも使用できます。

${\displaystyle {\hat {w}}_{n}=A_{1}\left[(\cosh \beta _{n}x-\cos \beta _{n}x)+{\frac {\cos \beta _{n}L+\cosh \beta _{n}L}{\sin \beta _{n}L+\sinh \beta _{n}L}}(\sin \beta _{n}x-\sinh \beta _{n}x)\right]}$

一般に複素数である未知の定数 （実際には各 に 1 つずつ存在する定数） は、梁の速度と変位に関する における初期条件によって決まります。通常、 の値はモード形状をプロットするときに使用されます。非減衰強制問題の解は、駆動周波数が固有周波数 と一致する場合、つまり梁が で共振できる場合、無制限の変位を持ちます。したがって、梁の固有周波数は、共振が発生する周波数に対応します。 ${\displaystyle n}$${\displaystyle A_{1}}$${\displaystyle t=0}$${\displaystyle A_{1}=1}$${\displaystyle \omega _{n}}$

自由梁とは支持部のない梁のことである。^[6]長さがからまでの自由梁の境界条件は次のように与えられる。 ${\displaystyle L}$${\displaystyle x=0}$${\displaystyle x=L}$

${\displaystyle {\frac {d^{2}{\hat {w}}_{n}}{dx^{2}}}=0~,~~{\frac {d^{3}{\hat {w}}_{n}}{dx^{3}}}=0\quad {\text{at}}~~x=0\,{\text{and}}\,x=L\,.}$

これらの条件を適用すると、非自明な解が存在するのは、

${\displaystyle \cosh(\beta _{n}L)\,\cos(\beta _{n}L)-1=0\,.}$

この非線形方程式は数値的に解くことができます。最初の 4 つの根は、、、、およびです。 ${\displaystyle \beta _{1}L=1.50562\pi }$${\displaystyle \beta _{2}L=2.49975\pi }$${\displaystyle \beta _{3}L=3.50001\pi }$${\displaystyle \beta _{4}L=4.50000\pi }$

対応する振動の固有周波数は次のとおりです。

${\displaystyle \omega _{1}=\beta _{1}^{2}{\sqrt {\frac {EI}{\mu }}}={\frac {22.3733}{L^{2}}}{\sqrt {\frac {EI}{\mu }}}~,~~\dots }$

境界条件は、変位の解からモード形状を決定するためにも使用できます。

${\displaystyle {\hat {w}}_{n}=A_{1}{\Bigl [}(\cos \beta _{n}x+\cosh \beta _{n}x)-{\frac {\cos \beta _{n}L-\cosh \beta _{n}L}{\sin \beta _{n}L-\sinh \beta _{n}L}}(\sin \beta _{n}x+\sinh \beta _{n}x){\Bigr ]}}$

片持ち梁の場合と同様に、未知の定数は梁の速度と変位の初期条件によって決まります。また、駆動周波数が固有周波数と一致する場合、減衰のない強制問題の解は無制限の変位を持ちます。 ${\displaystyle t=0}$${\displaystyle \omega _{n}}$

長さ（およびに固定） の二重固定梁^{[7]の境界条件は、}${\displaystyle L}$${\displaystyle x=0}$${\displaystyle x=L}$

${\displaystyle {\hat {w}}_{n}=0~,~~{\frac {d{\hat {w}}_{n}}{dx}}=0\quad {\text{at}}~~x=0\,{\text{and}}\,x=L\,.}$

これは、解が存在することを意味しており、 設定はこの条件を強制する。固有振動数について整理すると、 ${\displaystyle \sin(\beta _{n}L)\,\sinh(\beta _{n}L)=0\,.}$${\displaystyle \beta _{n}:={\frac {n\pi }{L}}}$

${\displaystyle \omega _{n}={\frac {n^{2}\pi ^{2}}{L^{2}}}{\sqrt {\frac {EI}{\mu }}}}$

たわみの他に、梁方程式は力とモーメントを記述するため、応力の記述にも使用できます。このため、オイラー・ベルヌーイの梁方程式は、曲げを受ける梁の強度（およびたわみ）を決定するために、特に土木および機械工学の 分野で広く使用されています。

曲げモーメントとせん断力は両方とも梁に応力を引き起こします。せん断力による応力は梁の中立軸に沿って最大になります(梁の幅 t が梁の断面に沿って一定の場合。そうでない場合は、特定の断面について第 1 モーメントと梁の幅を含む積分を評価する必要があります)。また、最大引張応力は上部または下部の表面にあります。したがって、梁の最大主応力は表面でも中央でもなく、ある一般的な領域にある可能性があります。ただし、せん断力の応力は、最も頑丈な梁を除いて曲げモーメントの応力と比較して無視できるほど小さく、また応力集中は一般に表面で発生するため、梁の最大応力は表面にあると考えられます。

中立面に対して垂直な平面を中心に対称な梁の断面の場合、梁が受ける引張応力は次のように表すことができます。

${\displaystyle \sigma ={\frac {Mz}{I}}=-zE~{\frac {\mathrm {d} ^{2}w}{\mathrm {d} x^{2}}}.\,}$

ここで、は中立軸から関心のある点までの距離、 は曲げモーメントです。この式は、純粋な曲げ(正の符号) によって中立軸にゼロの応力が生じ、梁の「上部」に正 (引張) の応力が生じ、梁の下部に負 (圧縮) の応力が生じること、また、最大応力が上部表面に生じ、最小応力が下部表面に生じることを示していることに注意してください。この曲げ応力は軸方向に作用する応力と重なり合う可能性があり、中立 (ゼロ応力) 軸にずれが生じます。 ${\displaystyle z}$${\displaystyle M}$

断面における最大引張応力は の位置にあり、最大圧縮応力は断面の高さが の位置にあります。これらの応力は ${\displaystyle z=c_{1}}$${\displaystyle z=-c_{2}}$${\displaystyle h=c_{1}+c_{2}}$

${\displaystyle \sigma _{1}={\cfrac {Mc_{1}}{I}}={\cfrac {M}{S_{1}}}~;~~\sigma _{2}=-{\cfrac {Mc_{2}}{I}}=-{\cfrac {M}{S_{2}}}}$

これらの量は断面係数^[5]であり、次のように定義される。 ${\displaystyle S_{1},S_{2}}$

${\displaystyle S_{1}={\cfrac {I}{c_{1}}}~;~~S_{2}={\cfrac {I}{c_{2}}}}$

断面係数は、梁の断面に関するすべての重要な幾何学的情報を 1 つの量にまとめたものです。梁が二重対称である場合、断面係数は 1 つになります。 ${\displaystyle c_{1}=c_{2}}$${\displaystyle S=I/c}$

オイラー・ベルヌーイ梁の応力をたわみに関連付けるには、中立面のたわみに関するひずみの表現が必要です。この表現を得るために、中立面の法線は変形中でも垂直のままであり、たわみは小さいという仮定を使用します。これらの仮定は、梁が半径の円弧に曲がること（図1を参照）、および中立面の長さが変形中に変化しないことを意味します。^[5]${\displaystyle \rho }$

を変形されていない状態の中立面の要素の長さとします。小さなたわみの場合、要素は曲げた後も長さは変わりませんが、半径 の円弧に変形します。この円弧によって囲まれる角度が である場合、 となります。 ${\displaystyle \mathrm {d} x}$${\displaystyle \rho }$${\displaystyle \mathrm {d} \theta }$${\displaystyle \mathrm {d} x=\rho ~\mathrm {d} \theta }$

ここで、中立面から離れた位置にある要素の別のセグメントを考えてみましょう。この要素の初期の長さは です。しかし、曲げた後、要素の長さは になります。梁のそのセグメントのひずみは次のように表されます。 ${\displaystyle z}$${\displaystyle \mathrm {d} x}$${\displaystyle \mathrm {d} x'=(\rho -z)~\mathrm {d} \theta =\mathrm {d} x-z~\mathrm {d} \theta }$

${\displaystyle \varepsilon _{x}={\cfrac {\mathrm {d} x'-\mathrm {d} x}{\mathrm {d} x}}=-{\cfrac {z}{\rho }}=-\kappa ~z}$

ここで、 は梁の曲率です。これにより、梁の軸方向のひずみが中立面からの距離の関数として得られます。ただし、曲率半径と梁のたわみの関係を見つける必要があります。 ${\displaystyle \kappa }$${\displaystyle w}$

Pを座標系の原点からある距離にある梁の中立面上の点とします。梁の傾きは、梁理論で遭遇する小さな角度の場合、中立面と軸がなす角度にほぼ等しくなります。したがって、この近似では、 ${\displaystyle x}$${\displaystyle (x,z)}$${\displaystyle x}$

${\displaystyle \theta (x)={\cfrac {\mathrm {d} w}{\mathrm {d} x}}}$

したがって、無限小要素の場合、関係は次のように表される。 ${\displaystyle \mathrm {d} x}$${\displaystyle \mathrm {d} x=\rho ~\mathrm {d} \theta }$

${\displaystyle {\cfrac {1}{\rho }}={\cfrac {\mathrm {d} \theta }{\mathrm {d} x}}={\cfrac {\mathrm {d} ^{2}w}{\mathrm {d} x^{2}}}=\kappa }$

したがって梁のひずみは次のように表される。

${\displaystyle \varepsilon _{x}=-z\kappa }$

均質等方性 線形弾性材料の場合、応力はひずみと （はヤング率 ）で関係付けられます。したがって、オイラー・ベルヌーイ梁の応力は次のように表されます。 ${\displaystyle \sigma =E\varepsilon }$${\displaystyle E}$

${\displaystyle \sigma _{x}=-zE{\cfrac {\mathrm {d} ^{2}w}{\mathrm {d} x^{2}}}}$

上記の関係を軸応力と曲げモーメントの関係と比較すると、次のようになることに留意されたい。

${\displaystyle M=-EI{\cfrac {\mathrm {d} ^{2}w}{\mathrm {d} x^{2}}}}$

せん断力は で与えられるので、 ${\displaystyle Q=\mathrm {d} M/\mathrm {d} x}$

${\displaystyle Q=-EI{\cfrac {\mathrm {d} ^{3}w}{\mathrm {d} x^{3}}}}$

梁方程式には、 の 4 次導関数が含まれています。一意の解を見つけるには、4 つの境界条件が必要です。境界条件は通常、サポート をモデル化しますが、点荷重、分布荷重、モーメントをモデル化することもできます。サポート境界条件または変位境界条件は、境界上の変位 ( ) と回転 ( )の値を固定するために使用されます。このような境界条件は、ディリクレ境界条件とも呼ばれます。荷重境界条件とモーメント境界条件には、 の高次導関数が含まれ、 は運動量フラックスを表します。フラックス境界条件は、ノイマン境界条件とも呼ばれます。 ${\displaystyle x}$${\displaystyle w(x,t)}$${\displaystyle w}$${\displaystyle \mathrm {d} w/\mathrm {d} x}$${\displaystyle w}$

例として、隣の図に示すように、片端がビルトインされ、他端がフリーになっている片持ち梁を考えてみましょう。梁のビルトイン端では、梁の変位や回転は起こりません。つまり、左端ではたわみと傾斜はどちらもゼロです。梁の自由端には外部曲げモーメントが適用されないため、その位置での曲げモーメントはゼロです。さらに、梁に外部力が加わらない場合は、自由端でのせん断力もゼロになります。

左端の座標を、右端の座標を(梁の長さ)とすると、これらのステートメントは次の境界条件のセットに変換されます (は定数であると仮定します)。 ${\displaystyle x}$${\displaystyle 0}$${\displaystyle L}$${\displaystyle EI}$

${\displaystyle w|_{x=0}=0\quad ;\quad {\frac {\partial w}{\partial x}}{\bigg |}_{x=0}=0\qquad {\mbox{(fixed end)}}\,}$

${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}w}{\partial x^{2}}}{\bigg |}_{x=L}=0\quad ;\quad {\frac {\partial ^{3}w}{\partial x^{3}}}{\bigg |}_{x=L}=0\qquad {\mbox{(free end)}}\,}$

単純なサポート (ピンまたはローラー) は、ビームの位置をその点で固定するように調整されたビーム上の点力に相当します。固定サポートまたはクランプは、ビームの位置と傾斜の両方をその点で固定するように調整された点力と点トルクの組み合わせに相当します。サポートからの点力と点トルク、または直接適用される点力と点トルクは、ビームをセグメントのセットに分割します。セグメントの両端に 2 つずつ、合計 4 つの境界条件が与えられている場合、その間でビーム方程式は連続解を生成します。積EIが定数であると仮定し、Fが点力の大きさ、M が点トルクの大きさであると定義すると、一般的なケースに適した境界条件が以下の表に示されています。境界を横切るwの特定の導関数のx の増加に伴う変化は、その導関数が後に続く で示されます。たとえば、は上部セグメントの下限境界での の値であり、 は下部セグメントの上限境界でのの値です。特定の導関数の値が境界を越えて連続しているだけでなく、固定されている場合、境界条件は eg と記述されます。これは実際には 2 つの別々の方程式を構成します (例: = 固定)。 ${\displaystyle \lambda =F/EI}$${\displaystyle \tau =M/EI}$${\displaystyle \Delta }$${\displaystyle \Delta w''=w''(x+)-w''(x-)}$${\displaystyle w''(x+)}$${\displaystyle w''}$${\displaystyle w''(x-)}$${\displaystyle w''}$${\displaystyle \Delta w''=0^{*}}$${\displaystyle w''(x-)=w''(x+)}$

点力とトルクが 2 つのセグメント間にある最初のケースでは、境界条件が 4 つあり、下側のセグメントに 2 つ、上側のセグメントに 2 つあることに注意してください。梁の一方の端に力とトルクが適用されると、その端に適用される境界条件が 2 つ与えられます。端の点力とトルクの符号は、下端では正、上端では負になります。

適用される荷重は、境界条件または外部分布荷重を表す関数のいずれかによって表すことができます。分布荷重を使用すると、単純化のために有利になることがよくあります。ただし、境界条件は状況に応じて荷重をモデル化するためによく使用されます。この方法は、特に振動解析でよく使用されます。 ${\displaystyle q(x,t)}$

分布荷重は、実際には通常連続関数ではないため、性質上、区分的に表現されることがよくあります。点荷重は、ディラックのデルタ関数を使用してモデル化できます。たとえば、自由端に上向きの点荷重が適用された長さの静的均一片持ち梁を考えてみましょう。境界条件を使用すると、2 つの方法でモデル化できます。最初の方法では、適用された点荷重は、自由端に適用されたせん断力によって近似されます。その場合、支配方程式と境界条件は次のようになります。 ${\displaystyle L}$${\displaystyle F}$

${\displaystyle {\begin{aligned}&EI{\frac {\mathrm {d} ^{4}w}{\mathrm {d} x^{4}}}=0\\&w|_{x=0}=0\quad ;\quad {\frac {\mathrm {d} w}{\mathrm {d} x}}{\bigg |}_{x=0}=0\quad ;\quad {\frac {\mathrm {d} ^{2}w}{\mathrm {d} x^{2}}}{\bigg |}_{x=L}=0\quad ;\quad -EI{\frac {\mathrm {d} ^{3}w}{\mathrm {d} x^{3}}}{\bigg |}_{x=L}=F\,\end{aligned}}}$

あるいは、ディラック関数を使用して点荷重を分布として表すこともできます。その場合、方程式と境界条件は次のようになります。

${\displaystyle {\begin{aligned}&EI{\frac {\mathrm {d} ^{4}w}{\mathrm {d} x^{4}}}=F\delta (x-L)\\&w|_{x=0}=0\quad ;\quad {\frac {\mathrm {d} w}{\mathrm {d} x}}{\bigg |}_{x=0}=0\quad ;\quad {\frac {\mathrm {d} ^{2}w}{\mathrm {d} x^{2}}}{\bigg |}_{x=L}=0\,\end{aligned}}}$

せん断力境界条件（3次導関数）が削除されていることに注意してください。そうしないと矛盾が生じます。これらは同等の境界値問題であり、どちらも次の解をもたらします。

${\displaystyle w={\frac {F}{6EI}}(3Lx^{2}-x^{3})\,~.}$

異なる場所に複数の点荷重を適用すると、区分関数になります。ディラック関数を使用すると、このような状況が大幅に簡素化されます。ディラック関数を使用しない場合は、梁をセクションに分割し、それぞれに 4 つの境界条件を個別に解決する必要があります。特異点関数と呼ばれるよく整理された関数のファミリは、ディラック関数、その導関数、およびその不定導関数の省略形としてよく使用されます。 ${\displaystyle w(x)}$

適切な荷重分布形式を選択することで、静的梁方程式を使用して動的現象をモデル化することもできます。たとえば、梁の自由振動は荷重関数を使用して説明できます。

${\displaystyle q(x,t)=\mu {\frac {\partial ^{2}w}{\partial t^{2}}}\,}$

ここで、は梁の線質量密度であり、必ずしも定数ではありません。この時間依存の荷重では、梁方程式は偏微分方程式になります。 ${\displaystyle \mu }$

${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}\left(EI{\frac {\partial ^{2}w}{\partial x^{2}}}\right)=-\mu {\frac {\partial ^{2}w}{\partial t^{2}}}.}$

もう1つの興味深い例は、一定の角周波数で回転する梁の偏向を説明しています。 ${\displaystyle \omega }$

${\displaystyle q(x)=\mu \omega ^{2}w(x)\,}$

これは求心力の分布です。この場合、は変位（従属変数）の関数であり、梁方程式は自律常微分方程式になることに注意してください。 ${\displaystyle q}$

3 点曲げ試験は、力学における古典的な実験です。これは、2 つのローラー サポート上に置かれた梁の中央に集中荷重が加わるケースを表しています。せん断力は絶対値が一定で、中央荷重の半分、P / 2 です。せん断力は梁の中央で符号が変わります。曲げモーメントは、0 の一方の端から直線的に変化し、絶対値が PL / 4 である中央で、破断のリスクが最も高くなります。梁の変形は、半分の梁 (もう半分は対称) の 3 次多項式で表されます。中央の点荷重と非対称の点荷重が加わった梁の曲げモーメント ( )、せん断力 ( )、たわみ ( ) は、次の表に示されています。^[5]${\displaystyle M}$${\displaystyle Q}$${\displaystyle w}$

もう一つの重要な問題として、片持ち梁があります。自由端に点荷重がかかり、均一に分布した荷重を受ける片持ち梁の曲げモーメント（）、せん断力（）、たわみ（）を下の表に示します。^[5]${\displaystyle M}$${\displaystyle Q}$${\displaystyle w}$

一般的に遭遇するその他のいくつかの構成のソリューションは、材料力学の教科書や工学ハンドブックで簡単に入手できます。

オイラー・ベルヌーイ梁の曲げモーメントとせん断力は、多くの場合、力とモーメントの静的バランスを使用して直接決定できます。ただし、特定の境界条件では、反応の数が独立した平衡方程式の数を超える場合があります。^{[5]このような梁は}不静定と 呼ばれます。

下の図に示す組み込み梁は、静的に不確定です。このような梁の応力とたわみを決定する最も直接的な方法は、適切な境界条件を使用してオイラー・ベルヌーイ梁方程式を解くことです。ただし、梁方程式の直接解析解は、最も単純なケースでのみ可能です。したがって、静的に不確定な梁の問題を解決するには、線形重ね合わせなどの追加の手法がよく使用されます。

重ね合わせ法では、個々の問題の合計の境界条件が元の問題の境界条件と一致するように選択された、静的に決定的な多数の問題の解を追加します。

もう一つのよく見られる不静定梁の問題は、自由端がローラーで支えられた片持ち梁である。 ^[5] このような梁の曲げモーメント、せん断力、たわみは以下のとおりである。

オイラー・ベルヌーイ梁理論の基礎となる運動学的仮定により、より高度な解析に拡張できます。単純な重ね合わせにより、3 次元の横方向荷重が可能になります。代替構成方程式を使用すると、粘弾性または塑性梁の変形が可能になります。オイラー・ベルヌーイ梁理論は、曲がった梁、梁の座屈、複合梁、および幾何学的に非線形な梁のたわみ の解析にも拡張できます。

オイラー・ベルヌーイの梁理論では、横方向のせん断ひずみの影響は考慮されていません。その結果、たわみは過小に予測され、固有振動数は過大に予測されます。薄い梁（梁の長さと厚さの比が 20 以上のもの）の場合、これらの影響はそれほど重要ではありません。ただし、厚い梁の場合、これらの影響は重大になる可能性があります。これらの影響を考慮するために、ティモシェンコ梁理論（ロシア生まれの科学者スティーブン・ティモシェンコによって開発）などのより高度な梁理論が開発されました。

元々のオイラー・ベルヌーイ理論は、微小なひずみと小さな回転に対してのみ有効です。この理論は、フォン・カルマンひずみを使用することで、ひずみが小さいままである限り、中程度の大きさの回転を伴う問題に簡単に拡張できます。^[8]

平面断面は平面のままであり、梁の軸に対して垂直であるというオイラー・ベルヌーイの仮説は、次の形の変位をもたらす。

${\displaystyle u_{1}=u_{0}(x)-z{\cfrac {\mathrm {d} w_{0}}{\mathrm {d} x}}~;~~u_{2}=0~;~~u_{3}=w_{0}(x)}$

有限ひずみ理論のラグランジアン グリーンひずみの定義を使用すると、次の式を除くすべての高次項 (2 つ以上のフィールドを含む) を破棄することで、大きな回転に対して有効だが小さなひずみに対して有効な梁のフォン カルマン ひずみを見つけることができます。 結果として得られるひずみは次の形式になります。 ${\displaystyle {\frac {\partial {w}}{\partial {x^{i}}}}{\frac {\partial {w}}{\partial {x^{j}}}}.}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\varepsilon _{11}&={\cfrac {\mathrm {d} {u_{0}}}{\mathrm {d} {x}}}-z{\cfrac {\mathrm {d} ^{2}{w_{0}}}{\mathrm {d} {x^{2}}}}+{\frac {1}{2}}\left[\left({\cfrac {\mathrm {d} u_{0}}{\mathrm {d} x}}-z{\cfrac {\mathrm {d} ^{2}w_{0}}{\mathrm {d} x^{2}}}\right)^{2}+\left({\cfrac {\mathrm {d} w_{0}}{\mathrm {d} x}}\right)^{2}\right]\approx {\cfrac {\mathrm {d} {u_{0}}}{\mathrm {d} {x}}}-z{\cfrac {\mathrm {d} ^{2}{w_{0}}}{\mathrm {d} {x^{2}}}}+{\frac {1}{2}}\left({\frac {\mathrm {d} {w_{0}}}{\mathrm {d} {x}}}\right)^{2}\\[0.25em]\varepsilon _{22}&=0\\[0.25em]\varepsilon _{33}&={\frac {1}{2}}\left({\frac {\mathrm {d} {w_{0}}}{\mathrm {d} {x}}}\right)^{2}\\[0.25em]\varepsilon _{23}&=0\\[0.25em]\varepsilon _{31}&=-{\frac {1}{2}}\left[\left({\cfrac {\mathrm {d} u_{0}}{\mathrm {d} x}}-z{\cfrac {\mathrm {d} ^{2}w_{0}}{\mathrm {d} x^{2}}}\right)\left({\cfrac {\mathrm {d} w_{0}}{\mathrm {d} x}}\right)\right]\approx 0\\[0.25em]\varepsilon _{12}&=0.\end{aligned}}}$

仮想仕事の原理から、梁の力とモーメントのバランスから、平衡方程式が得られる。

${\displaystyle {\begin{aligned}{\cfrac {\mathrm {d} N_{xx}}{\mathrm {d} x}}+f(x)&=0\\{\cfrac {\mathrm {d} ^{2}M_{xx}}{\mathrm {d} x^{2}}}+q(x)+{\cfrac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\left(N_{xx}{\cfrac {\mathrm {d} w_{0}}{\mathrm {d} x}}\right)&=0\end{aligned}}}$

ここで、は軸方向荷重、は横方向荷重、そして ${\displaystyle f(x)}$${\displaystyle q(x)}$

${\displaystyle N_{xx}=\int _{A}\sigma _{xx}~\mathrm {d} A~;~~M_{xx}=\int _{A}z\sigma _{xx}~\mathrm {d} A}$

方程式系を閉じるには、応力とひずみ（ひいては応力と変位）を関連付ける 構成方程式が必要です。回転が大きくひずみが小さい場合、これらの関係は次のようになります。

${\displaystyle {\begin{aligned}N_{xx}&=A_{xx}\left[{\cfrac {\mathrm {d} u_{0}}{\mathrm {d} x}}+{\frac {1}{2}}\left({\cfrac {\mathrm {d} w_{0}}{\mathrm {d} x}}\right)^{2}\right]-B_{xx}{\cfrac {\mathrm {d} ^{2}w_{0}}{\mathrm {d} x^{2}}}\\M_{xx}&=B_{xx}\left[{\cfrac {\mathrm {d} u_{0}}{\mathrm {d} x}}+{\frac {1}{2}}\left({\cfrac {\mathrm {d} w_{0}}{\mathrm {d} x}}\right)^{2}\right]-D_{xx}{\cfrac {\mathrm {d} ^{2}w_{0}}{\mathrm {d} x^{2}}}\end{aligned}}}$

どこ

${\displaystyle A_{xx}=\int _{A}E~\mathrm {d} A~;~~B_{xx}=\int _{A}zE~\mathrm {d} A~;~~D_{xx}=\int _{A}z^{2}E~\mathrm {d} A~.}$

量は伸長剛性、は伸長と曲げの結合剛性、は曲げ剛性です。 ${\displaystyle A_{xx}}$${\displaystyle B_{xx}}$${\displaystyle D_{xx}}$

梁が均一な断面を持ち、軸方向荷重がない場合、大回転オイラー・ベルヌーイ梁の支配方程式は次のようになる。

${\displaystyle EI~{\cfrac {\mathrm {d} ^{4}w}{\mathrm {d} x^{4}}}-{\frac {3}{2}}~EA~\left({\cfrac {\mathrm {d} w}{\mathrm {d} x}}\right)^{2}\left({\cfrac {\mathrm {d} ^{2}w}{\mathrm {d} x^{2}}}\right)=q(x)}$

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