法線（ジオメトリ）

幾何学において、法線とは、特定のオブジェクトに対して垂直なオブジェクト(線、光線、ベクトルなど)のことです。たとえば、特定の点における平面曲線の法線は、その点における曲線の接線に対して垂直な線です。

長さ1の法線ベクトルは単位法線ベクトルと呼ばれます。曲率ベクトルは、長さが物体の曲率である法線ベクトルです。法線ベクトルに−1 の場合は反対のベクトルとなり、側面（内側や外側など）を示すために使用できます。

3 次元空間では、点Pにおける面の法線、または単に法線は、点Pにおける面の接平面に対して垂直なベクトルです。法線という語は形容詞としても使用され、平面に対して垂直な線、力の法線成分、法線ベクトルなどです。法線性の概念は、直交性(直角) に一般化されます。

この概念は、ユークリッド空間に埋め込まれた任意次元の微分可能多様体に一般化されています。点 における多様体の法ベクトル空間または法空間は、における接空間に直交するベクトルの集合です。法ベクトルは、滑らかな曲線や滑らかな表面 の場合に特に重要です。 ${\displaystyle P}$${\displaystyle P.}$

法線は、3D コンピュータ グラフィックスでよく使用され(法線は 1 つしか定義されないため、単数形であることに注意してください) 、フラット シェーディングの光源に対するサーフェスの方向を決定したり、フォン シェーディングで曲面を模倣するためにサーフェスの各コーナー (頂点) の方向を決定したりします。

関心のある点Qにおける法線の足(垂線の足に類似)は、法線ベクトルがQ を含む表面上の点Pで定義できます。点Qから曲線または表面までの法線距離は、 Qとその足P間のユークリッド距離です。

空間曲線の法線方向は次のとおりです。

${\displaystyle \mathbf {N} =R{\frac {\mathrm {d} \mathbf {T} }{\mathrm {d} s}}}$

ここで、は曲率半径（逆曲率） であり、 は曲線の位置と弧の長さに関する接線ベクトルです。 ${\displaystyle R=\kappa ^{-1}}$${\displaystyle \mathbf {T} }$${\displaystyle \mathbf {r} }$${\displaystyle s}$

${\displaystyle \mathbf {T} ={\frac {\mathrm {d} \mathbf {r} }{\mathrm {d} s}}}$

凸 多角形(三角形など)の場合、表面法線は多角形の 2 つの (平行でない) エッジの ベクトル外積として計算できます。

一般的な平面方程式によって与えられた平面の場合、ベクトルは法線です。 ${\displaystyle ax+by+cz+d=0,}$${\displaystyle \mathbf {n} =(a,b,c)}$

平面の方程式がパラメトリック形式で与えられ 、平面上の点と平面に沿う非平行ベクトルである 場合、平面の法線は両方に垂直なベクトルであり、外積として求められる。$${\displaystyle \mathbf {r} (s,t)=\mathbf {r} _{0}+s\mathbf {p} +t\mathbf {q} ,}$$${\displaystyle \mathbf {r} _{0}}$${\displaystyle \mathbf {p} ,\mathbf {q} }$${\displaystyle \mathbf {p} }$${\displaystyle \mathbf {q} ,}$ ${\displaystyle \mathbf {n} =\mathbf {p} \times \mathbf {q} .}$

3次元空間の（平坦でない可能性のある）表面が、実変数と曲線座標系によってパラメータ化されている場合、 Sの法線は定義により接平面の法線であり、偏微分の外積で与えられる。${\displaystyle S}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ ${\displaystyle \mathbf {r} (s,t)=(x(s,t),y(s,t),z(s,t)),}$${\displaystyle s}$${\displaystyle t}$ $${\displaystyle \mathbf {n} ={\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial s}}\times {\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial t}}.}$$

面が暗黙的に点の集合として与えられている場合、 面上の点における法線は勾配によって与えられる。なぜなら、任意の点における勾配はレベル集合に垂直だ からである。${\displaystyle S}$${\displaystyle (x,y,z)}$${\displaystyle F(x,y,z)=0,}$${\displaystyle (x,y,z)}$ $${\displaystyle \mathbf {n} =\nabla F(x,y,z).}$$ ${\displaystyle S.}$

関数のグラフとして与えられたの曲面では、上向きの法線は、を与える パラメータ化から 、またはより単純にを与えるその暗黙的な形式から見つけることができます。曲面は特異点 に接平面を持たないため、その点には明確に定義された法線はありません。たとえば、円錐 の頂点などです。一般に、リプシッツ連続である曲面では、ほぼどこでも法線を定義することができます。 ${\displaystyle S}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$${\displaystyle z=f(x,y),}$${\displaystyle \mathbf {r} (x,y)=(x,y,f(x,y)),}$$${\displaystyle \mathbf {n} ={\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial x}}\times {\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial y}}=\left(1,0,{\tfrac {\partial f}{\partial x}}\right)\times \left(0,1,{\tfrac {\partial f}{\partial y}}\right)=\left(-{\tfrac {\partial f}{\partial x}},-{\tfrac {\partial f}{\partial y}},1\right);}$$${\displaystyle F(x,y,z)=zf(x,y)=0,}$${\displaystyle \mathbf {n} =\nabla F(x,y,z)=\left(-{\tfrac {\partial f}{\partial x}},-{\tfrac {\partial f}{\partial y}},1\right).}$

（超）曲面の法線は通常、単位長さ にスケールされますが、その反対も単位法線であるため、一意の方向はありません。3次元の集合の位相境界である曲面の場合、内向き法線と外向き法線の 2 つの法線方向を区別できます。方向付けられた曲面の場合、法線は通常、右手の法則または高次元でのその類似法則 によって決定されます。

法線が接線ベクトルの外積として構築される場合（上記のテキストで説明されているように）、それは疑似ベクトルです。

サーフェスに変換を適用する場合、元の法線から結果のサーフェスの法線を導出すると便利なことがよくあります。

具体的には、3×3 変換行列が与えられた場合、次のロジックによって、 接線平面に垂直なベクトルを変換された接線平面に垂直なベクトルに変換する行列を決定できます。${\displaystyle \mathbf {M} ,}$${\displaystyle \mathbf {W} }$${\displaystyle \mathbf {n} }$${\displaystyle \mathbf {t} }$${\displaystyle \mathbf {n} ^{\prime }}$${\displaystyle \mathbf {Mt} ,}$

n′を次のように書きます。${\displaystyle \mathbf {Wn} .}$${\displaystyle \mathbf {W} .}$ $${\displaystyle {\begin{alignedat}{5}W\mathbb {n} {\text{ is perpendicular to }}M\mathbb {t} \quad \,&{\text{ if and only if }}\quad 0=(W\mathbb {n} )\cdot (M\mathbb {t} )\\&{\text{ if and only if }}\quad 0=(W\mathbb {n} )^{\mathrm {T} }(M\mathbb {t} )\\&{\text{ if and only if }}\quad 0=\left(\mathbb {n} ^{\mathrm {T} }W^{\mathrm {T} }\right)(M\mathbb {t} )\\&{\text{ if and only if }}\quad 0=\mathbb {n} ^{\mathrm {T} }\left(W^{\mathrm {T} }M\right)\mathbb {t} \\\end{alignedat}}}$$

または を選択すると、上記の 式が満たされ、必要に応じて に垂直になるかに垂直になります。 ${\displaystyle \mathbf {W} }$${\displaystyle W^{\mathrm {T} }M=I,}$${\displaystyle W=(M^{-1})^{\mathrm {T} },}$${\displaystyle W\mathbb {n} }$${\displaystyle M\mathbb {t} ,}$${\displaystyle \mathbf {n} ^{\prime }}$${\displaystyle \mathbf {t} ^{\prime },}$

したがって、表面法線を変換するときは、線形変換の逆転置を使用する必要があります。行列が正規直交の場合、つまりスケーリングやシアーのない純粋な回転の場合、逆転置は元の行列と等しくなります。

次元空間の次元超平面は、そのパラメトリック表現によって与えられ 、ここで は超平面上の点であり、は超平面に沿う線形独立ベクトルである場合、超平面の法線は、行列のヌル空間内の任意のベクトルであり、つまり、すべての平面内ベクトルに直交する任意のベクトルは、定義により表面法線です。あるいは、超平面が単一の線形方程式の解集合として定義されている場合、ベクトルは法線です。 ${\displaystyle (n-1)}$${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$$${\displaystyle \mathbf {r} \left(t_{1},\ldots ,t_{n-1}\right)=\mathbf {p} _{0}+t_{1}\mathbf {p} _{1}+\cdots +t_{n-1}\mathbf {p} _{n-1},}$$${\displaystyle \mathbf {p} _{0}}$${\displaystyle \mathbf {p} _{i}}$${\displaystyle i=1,\ldots ,n-1}$${\displaystyle \mathbf {n} }$${\displaystyle P={\begin{bmatrix}\mathbf {p} _{1}&\cdots &\mathbf {p} _{n-1}\end{bmatrix}},}$${\displaystyle P\mathbf {n} =\mathbf {0} .}$${\displaystyle a_{1}x_{1}+\cdots +a_{n}x_{n}=c,}$${\displaystyle \mathbb {n} =\left(a_{1},\ldots ,a_{n}\right)}$

3 次元空間の面に対する法線の定義は、の次元超曲面に拡張できます。 超曲面は、が与えられたスカラー関数である方程式を満たす点の集合として局所的に暗黙的に定義できます。 が連続的に微分可能である場合、超曲面は勾配が 0 でない点の近傍で微分可能な多様体です。 これらの点では、法線ベクトルは勾配によって与えられます。 ${\displaystyle (n-1)}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}.}$${\displaystyle (x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})}$${\displaystyle F(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})=0,}$${\displaystyle F}$${\displaystyle F}$$${\displaystyle \mathbb {n} =\nabla F\left(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}\right)=\left({\tfrac {\partial F}{\partial x_{1}}},{\tfrac {\partial F}{\partial x_{2}}},\ldots ,{\tfrac {\partial F}{\partial x_{n}}}\right)\,.}$$

法線は基底を持つ1次元部分空間である${\displaystyle \{\mathbf {n} \}.}$

次元空間の暗黙の方程式によって定義される微分多様体は、変数 の微分可能関数の有限集合の共通零点の集合である。多様体のヤコビ行列は 、第行が の勾配である行列である。暗黙の関数定理により、多様体は、ヤコビ行列が階数を持つ点の近傍の多様体である。そのような点において、法線ベクトル空間は、 の勾配ベクトルの における値によって生成されるベクトル空間である。${\displaystyle n}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle n}$$${\displaystyle f_{1}\left(x_{1},\ldots ,x_{n}\right),\ldots ,f_{k}\left(x_{1},\ldots ,x_{n}\right).}$$${\displaystyle k\times n}$${\displaystyle i}$${\displaystyle f_{i}.}$${\displaystyle k.}$${\displaystyle P,}$${\displaystyle P}$${\displaystyle f_{i}.}$

言い換えれば、多様体は超曲面の交差として定義され、ある点における法線ベクトル空間は、その点における超曲面の法線ベクトルによって生成されるベクトル空間です。 ${\displaystyle k}$

多様体の点における正規（アフィン）空間は、その点の正規ベクトル空間を通過し、その点の正規ベクトル空間によって生成されるアフィン部分空間である。${\displaystyle P}$${\displaystyle P}$${\displaystyle P.}$

これらの定義は、多様体が多様体ではない点まで 逐語的に拡張される可能性があります。

V を3 次元空間で次の方程式によって定義される多様体とし ます。この多様体は- 軸と- 軸 の和集合です。 $${\displaystyle x\,y=0,\quad z=0.}$$${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$

ヤコビ行列の行がであり、したがって法アフィン空間は方程式の平面である。同様に、における法平面が方程式の平面である場合、${\displaystyle (a,0,0),}$${\displaystyle a\neq 0,}$${\displaystyle (0,0,1)}$${\displaystyle (0,a,0).}$${\displaystyle x=a.}$${\displaystyle b\neq 0,}$${\displaystyle (0,b,0)}$${\displaystyle y=b.}$

点では、ヤコビ行列の行は、したがって、法線ベクトル空間と法線アフィン空間は次元 1 を持ち、法線アフィン空間は-軸です。 ${\displaystyle (0,0,0)}$${\displaystyle (0,0,1)}$${\displaystyle (0,0,0).}$${\displaystyle z}$

• 表面法線はベクトル場の表面積分を定義するのに役立ちます。
• 表面法線は、3D コンピュータ グラフィックスで照明計算によく使用され(ランバートの余弦法則を参照)、法線マッピングによって調整されることがよくあります。
• 表面法線情報を含むレンダリング レイヤーは、デジタル合成でレンダリングされた要素の見かけの照明を変更するために使用される場合があります。 ^{[引用が必要]}
• コンピュータビジョンでは、フォトメトリックステレオ法を用いて表面法線から3Dオブジェクトの形状を推定します。^[1]
• 法線ベクトルは、符号付き距離関数の勾配として取得できます。

の法光線は、与えられた点における光学媒体の表面に対して垂直に外向きに向く光線である^[2]光の反射において、入射角と反射角はそれぞれ法線と入射光線（入射面上）との間の角度、および法線と反射光線。

• 双対空間 – 数学では、線型形式のベクトル空間
• 楕円体法線ベクトル
• 正規束 – 接線束の補完的なベクトル束で、埋め込みに関連付けられているPages displaying wikidata descriptions as a fallback
• 擬似ベクトル – 不適切な回転によって符号が変わる物理量
• 接線成分と法線成分
• 頂点法線 - 頂点に関連付けられた方向ベクトル。表面の真の幾何学的法線の代わりとして意図されています。Pages displaying wikidata descriptions as a fallback

• Weisstein、Eric W.「法線ベクトル」。MathWorld。
• Microsoft の MSDN からの法線ベクトルの説明
• 三角形または多角形から表面法線を計算するための明確な疑似コード。