Loading article…
論理学は正しい推論の研究です。これには形式論理と非形式論理の両方が含まれます。形式論理は演繹的に妥当な推論または論理的真理の研究です。それは、議論の主題や内容とは無関係に、議論の構造のみに基づいて前提から結論がどのように導かれるかを調べます。非形式論理は、非形式的誤謬、批判的思考、および議論理論と関連付けられています。非形式論理は自然言語で表現された議論を調べますが、形式論理は形式言語を使用します。可算名詞として使用される「論理」という用語は、証明体系を明確にする特定の論理形式体系を指します。論理は、哲学、数学、コンピュータ科学、言語学など、多くの分野で中心的な役割を果たしています。
論理学は、結論を導く一連の前提からなる議論を研究します。例えば、「今日は日曜日だ」と「もし今日が日曜日なら、私は働かなくていい」という前提から「私は働かなくていい」という結論に至る議論が挙げられます。[ 1 ]前提と結論は、真偽を判断できる命題または主張を表します。命題の重要な特徴は、その内部構造です。例えば、複雑な命題は、次のような論理語彙によって結び付けられたより単純な命題で構成されています。（そして）または（もし…ならば）。単純な命題にも、「日曜日」や「仕事」といった部分があります。命題の真偽は通常、そのすべての部分の意味に依存します。しかし、論理的に真である命題の場合はそうではありません。論理的に真である命題は、個々の部分の具体的な意味とは無関係に、その論理構造によってのみ真となります。
議論は正しいか間違っているかのどちらかです。議論は、前提が結論を支持している場合に正しいと言えます。演繹的議論は最も強力な支持形式を持ちます。前提が真であれば、結論も真でなければなりません。これは、前提には見られない真に新しい情報に到達する拡張的議論には当てはまりません。日常会話や科学における議論の多くは拡張的議論です。これらは帰納的議論とアブダクション的議論に分けられます。帰納的議論は統計的な一般化であり、例えば、多くの個々の黒いカラスの観察に基づいて、すべてのカラスは黒いと推論することなどが挙げられます。[ 2 ]アブダクション的議論は最良の説明への推論であり、例えば、医師が患者の症状を説明する特定の病気にかかっていると結論付ける場合などが挙げられます。[ 3 ]正しい推論の基準を満たさない議論は、しばしば誤謬を含んでいます。論理体系は、議論の正しさを評価するための理論的枠組みです。
論理学は古代から研究されてきた。初期のアプローチには、アリストテレス論理学、ストア派論理学、ニヤーヤ学派、墨家などがある。アリストテレス論理学は三段論法の形式での推論に焦点を当てている。これは、ゴットロープ・フレーゲなどの19世紀後半の数学者の研究にルーツを持つ現代形式論理学に取って代わられるまで、西洋世界における論理学の主要な体系と考えられていた。今日、最も一般的に使用されている体系は古典論理学である。これは命題論理と一階述語論理から成り立っている。命題論理は完全な命題間の論理的関係のみを考慮する。一階述語論理は述語や量化子などの命題の内部部分も考慮に入れる。拡張論理は、古典論理の根底にある基本的な直観を受け入れ、それを形而上学、倫理学、認識論といった他の分野に適用し、何が可能で何が必要か、何が存在するべきか、何が信じられ、何が知られているかについて推論するための枠組みとして用いる。一方、逸脱論理は、特定の古典的直観を拒否し、論理の基本法則に対する代替的な説明を提供する。
「論理」という言葉は、ギリシャ語のlogosに由来し、論理、談話、言語など、さまざまな訳語があります。[ 4 ]論理は伝統的に思考の法則または正しい推論の研究として定義され、[ 5 ]通常は推論または議論の観点から理解されます。推論とは推論を行う活動です。議論は推論の外的表現です。[ 6 ]議論とは、前提と結論の集合です。論理は議論が正しいかどうか、つまり前提が結論を支持しているかどうかに関心があります。[ 7 ]これらの一般的な特徴は、最も広い意味での論理、つまり形式論理と非形式論理の両方に適用されます。なぜなら、どちらも議論の正しさを評価することに関係しているからです。[ 8 ]形式論理は伝統的に支配的な分野であり、一部の論理学者は論理を形式論理に限定しています。[ 9 ]
形式論理（記号論理とも呼ばれる）は、数理論理学で広く用いられている。形式論理は推論を研究するために形式的なアプローチを採用しており、具体的な表現を抽象的な記号に置き換えることで、具体的な内容とは無関係に議論の論理形式を考察する。この意味で、形式論理は議論の抽象的な構造のみに関心を持ち、具体的な内容には関心を持たないため、主題中立的である。[ 10 ]
形式論理学は、前提の真偽が結論の真偽を保証する演繹的に妥当な議論に関心があります。これは、前提が真であり結論が偽であることは不可能であることを意味します。 [ 11 ]妥当な議論の場合、前提から結論に至る論理構造は、推論規則と呼ばれるパターンに従います。[ 12 ]例えば、モーダス・ポネンスは推論規則であり、それによれば、「(1) p、(2) pならばq、(3)ゆえにq 」の形式のすべての議論は、 pとqが何を表しているかに関係なく妥当です。 [ 13 ]この意味で、形式論理学は妥当な推論の科学と定義できます。別の定義では、論理学は論理的真理の研究とみなされます。[ 14 ]命題の真偽が、その命題で使用される論理的語彙のみに依存する場合、その命題は論理的に真です。これは、あらゆる可能な世界において、また「雨が降っているか降っていないかのどちらかだ」という主張のような非論理的な用語のあらゆる解釈の下で真であることを意味します。 [ 15 ]形式論理のこれら2つの定義は同一ではありませんが、密接に関連しています。たとえば、pからqへの推論が演繹的に妥当であれば、「 pならばq 」という主張は論理的真理です。[ 16 ]
形式論理は、議論を表現、分析、明確化するために形式言語を使用します。 [ 17 ]通常、形式言語は語彙が非常に限られており、厳密な構文規則を持っています。これらの規則は、記号を組み合わせて文、いわゆる整形式式を構成する方法を規定します。[ 18 ]形式論理のこの単純さと厳密さにより、正確な推論規則を定式化することができます。これらの規則は、与えられた議論が妥当であるかどうかを判断します。[ 19 ]形式言語に依存しているため、自然言語の議論を直接研究することはできません。代わりに、妥当性を評価する前に形式言語に翻訳する必要があります。 [ 20 ]
「論理」という用語は、可算名詞として少し異なる意味でも使用できます。この意味では、論理とは論理形式体系のことです。異なる論理は、有効とみなす推論規則と、それらを表現するために使用する形式言語に関して互いに異なります。[ 21 ] 19 世紀後半から、多くの新しい形式体系が提案されてきました。形式体系を論理にするものについては意見の相違があります。[ 22 ]例えば、一階述語論理のような論理的に完全な体系のみが論理として認められると示唆されています。このような理由から、一部の理論家は、高階論理は厳密な意味での論理ではないと主張しています。[ 23 ]
論理学は、広い意味で理解すると、形式論理と非形式論理の両方を含みます。[ 24 ]非形式論理は、非形式的な基準と標準を使用して議論の正しさを分析および評価します。その主な焦点は日常の談話にあります。[ 25 ]その発展は、形式論理の知見を自然言語の議論に適用することの困難さによって促されました。[ 26 ]この点において、形式論理だけでは対処できない問題を考慮に入れています。[ 27 ]どちらも、議論の正しさを評価し、それを誤謬から区別するための基準を提供します。[ 28 ]
非形式論理の特徴付けは数多く提案されているが、その正確な定義については一般的な合意はない。[ 29 ]最も文字通りのアプローチでは、「形式的」と「非形式的」という用語は、議論を表現するために使用される言語に適用されると考える。この見解では、非形式論理は非形式的または自然言語の議論を研究する。[ 30 ]形式論理は、まず形式言語に翻訳することによって間接的にしかそれらを調査できないが、非形式論理は元の形式でそれらを調査する。[ 31 ]この見解では、「鳥は飛ぶ。トゥイーティーは鳥である。したがって、トゥイーティーは飛ぶ。」という議論は自然言語に属し、非形式論理によって調査される。しかし、形式的な翻訳「(1)（２）（３）「は形式論理によって研究される。[ 32 ]自然言語の議論の研究にはさまざまな困難が伴う。たとえば、自然言語の表現はしばしば曖昧で、不明瞭で、文脈に依存する。[ 33 ]別のアプローチでは、非形式論理を広義に、議論の基準、要件、手順の規範的研究として定義している。この意味では、合理性、批判的思考、議論の心理学の役割に関する問題が含まれる。[ 34 ]
別の特徴づけでは、非演繹的論理は非演繹的議論の研究と同一視される。このように、非演繹的論理は形式論理によって研究される演繹的推論とは対照的である。[ 35 ]非演繹的議論は結論を蓋然性のあるものにするが、それが真実であることを保証するものではない。例としては、「私がこれまでに見たカラスはすべて黒い」という経験的観察から「すべてのカラスは黒い」という結論に至る帰納的議論が挙げられる。 [ 36 ]
さらに別のアプローチとして、非形式論理を非形式的誤謬の研究と定義する方法がある。[ 37 ]非形式的誤謬とは、議論の内容と文脈に誤りがある誤った議論のことである。 [ 38 ]例えば、誤った二者択一は、実行可能な選択肢を排除することによって内容の誤りを伴う。これは、「あなたは我々の味方か敵かのどちらかだ。あなたは我々の味方ではない。したがって、あなたは我々の敵だ」という誤謬の場合に当てはまる。[ 39 ]一部の理論家は、形式論理は議論の一般的な形式を研究し、非形式論理は議論の具体的な事例を研究すると述べている。別のアプローチとしては、形式論理は正しい推論のための論理定数の役割のみを考慮するのに対し、非形式論理は実質的な概念の意味も考慮に入れるというものがある。さらに別のアプローチでは、形式的な手段の有無にかかわらず論理的トピックの議論と、議論の評価における認識論の役割に焦点を当てている。[ 40 ]
前提と結論は推論や議論の基本部分であり、論理学において中心的な役割を果たします。妥当な推論または正しい議論の場合、結論は前提から導き出されます。言い換えれば、前提が結論を支持します。[ 41 ]例えば、「火星は赤い」と「火星は惑星である」という前提は、「火星は赤い惑星である」という結論を支持します。ほとんどの種類の論理学では、前提と結論は真理値を持つものでなければならないとされています。[ 41 ] [ a ]これは、前提と結論が真偽値を持つことを意味します。つまり、真か偽かのどちらかです。現代哲学では、一般的に前提と結論は命題または文として見なされます。[ 43 ]命題は文の指示対象であり、通常は抽象的な対象として見なされます。[ 44 ]例えば、英語の文「the tree is green」はドイツ語の文「der Baum ist grün」とは異なりますが、どちらも同じ命題を表しています。[ 45 ]
前提と結論の命題理論は、抽象的な対象に依存しているため、しばしば批判される。例えば、哲学的自然主義者は通常、抽象的な対象の存在を否定する。他の議論は、命題の同一性基準を特定することに伴う困難さに関するものである。[ 43 ]これらの反論は、前提と結論を命題ではなく文、つまり本のページに表示されている記号のような具体的な言語的対象と見なすことで回避される。しかし、このアプローチには独自の新たな問題が伴う。文はしばしば文脈依存的で曖昧であるため、議論の妥当性は、その部分だけでなく、その文脈や解釈方法にも依存することになる。[ 46 ]別のアプローチは、前提と結論を心理学的な用語で思考や判断として理解することである。この立場は心理主義として知られている。20世紀初頭頃に詳しく議論されたが、今日では広く受け入れられていない。[ 47 ]
前提と結論には内部構造があります。命題または文として、それらは単純なものと複雑なものがあります。[ 48 ]複雑な命題は、他の命題を構成要素として持ち、それらは「and」や「if...then」などの命題接続詞によって互いに結び付けられています。一方、単純な命題には命題部分がありません。しかし、それらも内部構造を持つと考えることができます。単数語や述語などの下位命題部分で構成されています。[ 49 ] [ 48 ]例えば、単純な命題「火星は赤い」は、単数語「火星」に述語「赤い」を適用することによって形成できます。対照的に、複雑な命題「火星は赤く、金星は白い」は、命題接続詞「and」によって結び付けられた2つの単純な命題で構成されています。[ 49 ]
命題が真であるかどうかは、少なくとも部分的にはその構成要素に依存します。真理関数的な命題結合子を用いて形成される複雑な命題の場合、その真偽は構成要素の真理値のみに依存します。[ 49 ] [ 50 ]しかし、この関係は単純命題とその下位命題部分の場合、より複雑になります。これらの下位命題部分は、対象や対象のクラスを参照するなど、独自の意味を持ちます。[ 51 ]それらが形成する単純命題が真であるかどうかは、現実との関係、つまりそれらが参照する対象がどのようなものであるかに依存します。このトピックは参照理論によって研究されています。[ 52 ]
複雑な命題の中には、その構成要素の実質的な意味とは無関係に真となるものがある。[ 53 ]例えば、古典論理では、「火星は赤いか、火星は赤くない」という複雑な命題は、単純な命題「火星は赤い」のように、その構成要素が真か偽かとは無関係に真となる。このような場合、その真理は論理的真理と呼ばれる。命題の真理が、その命題で使用される論理的語彙のみに依存する場合、その命題は論理的に真である。[ 54 ]これは、その非論理的用語のすべての解釈の下で真であることを意味する。いくつかの様相論理では、これは、その命題がすべての可能世界で真であることを意味する。[ 55 ]一部の理論家は、論理を論理的真理の研究と定義している。[ 16 ]
真理値表は、論理結合子がどのように機能するか、または複雑な命題の真理値がその構成要素にどのように依存するかを示すために使用できます。真理値表には、各入力変数に対応する列があります。各行は、これらの変数が取り得る真理値の可能な組み合わせの 1 つに対応します。英語文献で提示される真理値表では、真理値「true」と「false」の略語として、記号「T」と「F」または「1」と「0」が一般的に使用されます。[ 56 ]最初の列は、入力変数のすべての可能な真理値の組み合わせを示します。他の列のエントリは、入力値によって決定される対応する式の真理値を示します。たとえば、式「「」は論理結合子を使用する（と）。これは、「昨日は日曜日で天気が良かった」のような文を表すのに使用できます。これは、入力変数の両方が真である場合にのみ真になります。（「昨日は日曜日だった」）（「天気は良かった」）は真である。それ以外の場合、式全体としては偽である。その他の重要な論理結合子は（ない）、（または）、（もし…ならば）、そして（シェファーストローク）。[ 57 ]条件命題が与えられた場合逆の真理値表を作成することができる、その逆（)、およびその対偶(）真理値表は、複数の命題結合子を使用するより複雑な式に対しても定義できます。[ 58 ]
論理学は一般的に、議論や推論の正しさの研究として定義されます。[ 59 ]議論とは、前提と結論の集合です。[ 60 ]推論とは、これらの前提から結論へと推論するプロセスです。[ 43 ]しかし、これらの用語は論理学ではしばしば互換的に使用されます。議論は、前提が結論を支持するかどうかによって、正しいか間違っているかが決まります。一方、前提と結論は、現実と一致するかどうかによって、真か偽かが決まります。形式論理学では、健全な議論とは、正しく、かつ前提が真である議論のことです。[ 61 ]時には、単純な議論と複雑な議論を区別することがあります。複雑な議論は、単純な議論の連鎖で構成されています。これは、ある議論の結論が、後の議論の前提として機能することを意味します。複雑な議論が成功するためには、連鎖の各リンクが成功する必要があります。[ 43 ]
議論と推論は正しいか間違っているかのどちらかです。正しい場合は、前提が結論を支持します。間違っている場合は、この支持が欠けています。これは、さまざまな種類の推論に対応して、さまざまな形をとることができます。[ 62 ]最も強力な支持の形は演繹的推論に対応します。しかし、演繹的に妥当でない議論でも、前提が結論に非演繹的な支持を与えるため、良い議論である可能性があります。そのような場合、拡張的推論または帰納的推論という用語が使用されます。[ 63 ]演繹的議論は形式論理に関連付けられますが、拡張的議論と非形式論理の関係とは対照的です。[ 64 ]
演繹的に妥当な議論とは、前提が結論の真実性を保証する議論のことである。[ 11 ]例えば、「(1) すべてのカエルは両生類である。(2) ネコは両生類ではない。(3) したがってネコはカエルではない」という議論は演繹的に妥当である。演繹的妥当性においては、前提や結論が実際に真実であるかどうかは問題ではない。したがって、「(1) すべてのカエルは哺乳類である。(2) ネコは哺乳類ではない。(3) したがってネコはカエルではない」という議論も、結論が前提から必然的に導かれるため妥当である。[ 65 ]
アルフレッド・タルスキの影響力のある見解によれば、演繹的議論には次の3つの本質的な特徴がある。(1) 形式的である、つまり前提と結論の形式のみに依存する。 (2)アプリオリである、つまりそれが成り立つかどうかを判断するために感覚経験は必要ない。(3) 様相的である、つまり他のいかなる状況にも依存せず、与えられた命題に対して論理的必然性によって成り立つ。 [ 66 ]
最初の特徴である形式性への重点のため、演繹的推論は通常、推論規則と同一視されます。[ 67 ]推論規則は、前提と結論の形式、つまり推論が有効であるためにどのように構成されなければならないかを規定します。推論規則に従わない議論は、演繹的に無効です。[ 68 ]モーダス・ポネンスは、著名な推論規則です。その形式は「p ; pならばq ; ゆえにq」です。[ 69 ]ちょうど雨が降ったことを知っている（）そして雨上がりには道路が濡れている（)モーダス・ポネンスを使用して、道路が濡れていることを推論できます () [ 70 ]
3つ目の特徴は、演繹的に妥当な推論は真理保存的である、つまり前提が真で結論が偽であることはあり得ない、と述べることで表現できます。[ 71 ]この特徴のため、結論は前提に既に含まれていない新しい情報に到達できないので、演繹的推論は無情報であるとよく主張されます。[ 72 ]しかし、この点は、例えば数学の大部分が無情報であることを意味するため、常に受け入れられるわけではありません。別の特徴付けでは、表層情報と深層情報を区別します。文の表面情報は、明示的に提示される情報です。深層情報は、明示的および暗黙的に文に含まれる情報の総体です。この見解によれば、演繹的推論は深層レベルでは無情報です。しかし、暗黙の情報を明示することで、表層レベルでは非常に情報量が多くなります。これは、例えば数学の証明で起こります。[ 73 ]
拡張的議論とは、結論に前提には含まれていない追加情報が含まれる議論のことです。この点において、拡張的議論はより興味深いと言えます。なぜなら、深層レベルの情報を含み、思考者が真に新しいことを学ぶ可能性があるからです。しかし、この特徴には一定の代償が伴います。前提は結論の真実性を高めるという意味で結論を支持しますが、真実性を保証するものではありません。[ 74 ]これは、拡張的議論の前提がすべて真であっても、結論が偽である可能性があることを意味します。この特徴は非単調性と反証可能性に密接に関連しています。新しい情報を受け取ったり、新しい推論に基づいて、以前の結論を撤回する必要が生じる場合があります。[ 75 ]拡張的推論は、日常会話や科学で見られる多くの議論において中心的な役割を果たしています。拡張的議論は自動的に間違っているわけではありません。むしろ、異なる正しさの基準に従っているだけです。結論に対する支持は通常、程度の差があります。つまり、強力な拡張的議論は結論の可能性を非常に高めますが、弱い拡張的議論は確実性が低くなります。その結果、前提が弱いながらも無視できない支持を提供する場合など、正しい議論と間違った議論の境界線は曖昧になることがある。これは、妥当か不当かのどちらかで中間がない演繹的議論とは対照的である。[ 76 ]
拡張的議論を分類するために用いられる用語は一貫していません。ジェームズ・ホーソーンのような著者は、「帰納」という用語を非演繹的議論のあらゆる形態を包括するために用いています。[ 77 ]しかし、より狭義には、帰納はアブダクション議論と並んで拡張的議論の一種にすぎません。[ 78 ]レオ・グロアークのような哲学者の中には、伝導的議論[ b ]を別の種類として認める者もいます。[ 79 ]この狭義では、帰納はしばしば統計的一般化の一形態として定義されます。[ 80 ]この場合、帰納的議論の前提は、ある一定のパターンを示す多くの個々の観察です。そして結論は、このパターンが常に成り立つという一般的な法則です。[ 81 ]この意味では、象の色に関する過去の観察に基づいて、「すべての象は灰色である」と推論することができます。[ 78 ]帰納的推論の密接に関連する形式は、一般的な法則ではなく、より具体的な事例を結論とします。たとえば、まだ見たことのない象も灰色であると推論する場合などです。[ 81 ]イゴール・ドゥーヴェンなどの一部の理論家は、帰納的推論は統計的考察のみに基づいていると規定しています。このようにして、帰納的推論はアブダクション推論と区別できます。[ 78 ]
アブダクション推論では、統計的観察を考慮に入れる場合と入れない場合があります。いずれの場合も、前提は結論を支持する根拠となります。なぜなら、結論は前提が真である理由を最もよく説明するものだからです。 [ 82 ]この意味で、アブダクションは最良の説明への推論とも呼ばれます。[ 83 ]例えば、早朝に台所にパンくずのついた皿があるという前提があれば、同居人が夜食を食べ、疲れていてテーブルを片付けられなかったという結論を推論できます。この結論は、台所の現状を最もよく説明するものであるため正当化されます。[ 78 ]アブダクションでは、結論が前提を説明するだけでは十分ではありません。例えば、昨夜泥棒が家に侵入し、仕事中に空腹になり、夜食を食べたという結論も台所の状態を説明するでしょう。しかし、この結論は最良の説明でも最も可能性の高い説明でもないため正当化されません。[ 82 ] [ 83 ]
すべての議論が正しい推論の基準を満たしているわけではありません。満たしていない議論は、通常、誤謬と呼ばれます。その中心的な側面は、結論が間違っていることではなく、その結論に至る推論に何らかの欠陥があることです。[ 84 ]したがって、「今日は晴れている。したがって、クモには8本の足がある」という議論は、結論が正しいとしても誤謬です。ジョン・スチュアート・ミルなどの一部の理論家は、誤謬が正しいように見えることをさらに要求することで、誤謬の定義をより限定的にしています。[ 85 ]このように、真の誤謬は、不注意による単なる推論の間違いと区別できます。これが、人々が誤謬を犯しやすい理由を説明しています。誤謬には、人々を誘惑して誤謬を犯し、受け入れさせる魅力的な要素があるからです。[ 86 ]しかし、この「見かけ」への言及は、論理学ではなく心理学の分野に属するものであり、また、見かけは人によって異なる可能性があるため、議論の余地があります。[ 87 ]
誤謬は通常、形式的誤謬と非形式的誤謬に分類されます。[ 38 ]形式的誤謬の場合、誤りの原因は議論の形式にあります。たとえば、前件を否定することは形式的誤謬の一種で、「オセロが独身であれば、彼は男性である。オセロは独身ではない。したがって、オセロは男性ではない」というものです。[ 88 ]しかし、ほとんどの誤謬は非形式的誤謬の範疇に属し、学術文献ではその多様性が議論されています。その誤りの原因は通常、議論の内容または文脈にあります。 [ 89 ]非形式的誤謬は、曖昧さの誤謬、前提の誤謬、または関連性の誤謬に分類されることがあります。曖昧さの誤謬の場合、自然言語の曖昧さと不明瞭さがその欠陥の原因であり、「羽は軽い。軽いものは暗くはない。したがって、羽は暗くはない」というものです。[ 90 ]前提の誤謬は、誤った、または正当化されていない前提を持つが、それ以外は妥当である可能性がある。[ 91 ]関連性の誤謬の場合、前提は結論と関連性がないため、結論を支持しない。[ 92 ]
ほとんどの論理学者の主な焦点は、議論が正しいか間違っているかを判断する基準を研究することです。これらの基準が破られると、誤謬が犯されます。形式論理の場合、これらは推論規則として知られています。[ 93 ]これらは定義規則であり、推論が正しいかどうか、またはどの推論が許容されるかを決定します。定義規則は戦略規則とは対照的です。戦略規則は、一連の前提に基づいて特定の結論に到達するために必要な推論の動きを指定します。この区別は論理だけでなくゲームにも適用されます。たとえば、チェスでは、定義規則はビショップが斜めにしか動けないことを規定しています。一方、戦略規則は、たとえば中央を支配し、キングを守ることによって、許容される動きを使用してゲームに勝つ方法を記述します。 [ 94 ]戦略規則は効果的な推論に非常に関連しているため、論理学者は戦略規則にもっと重点を置くべきだと主張されています。[ 93 ]
形式論理体系は、形式言語と公理の集合、およびこれらの公理から推論を行うための証明体系から構成される。 [ 95 ]論理学において、公理は証明なしに受け入れられる命題である。それらは他の命題を正当化するために使用される。[ 96 ]一部の理論家は、形式言語の表現が現実の対象とどのように関連するかを規定する意味論も含める。 [ 97 ] 19世紀後半から、多くの新しい形式体系が提案されてきた。[ 98 ]
形式言語は、アルファベットと構文規則から構成される。アルファベットとは、式で使用される基本記号の集合である。構文規則は、これらの記号をどのように配置すれば整形式の式が得られるかを決定する。[ 99 ]例えば、命題論理の構文規則は、次のことを決定する。「は整った公式だが、「は論理的連言ではない」両辺に条件が必要です。[ 100 ]
証明体系とは、形式的な証明を構築するための規則の集合である。それは、一連の公理から結論を導き出すためのツールである。証明体系における規則は、その具体的な内容とは無関係に、式の構文形式に基づいて定義される。例えば、古典的な連言導入規則は次のように述べている。敷地内から続くそしてこのような規則は順次適用することができ、前提から結論を生成するための機械的な手順となる。証明システムには、自然演繹やシーケント計算など、さまざまな種類がある。[ 101 ]
意味論とは、形式言語の表現をその指示対象にマッピングする体系である。多くの論理体系において、指示対象は真偽値である。例えば、古典命題論理の意味論では、次の式が対応する。「真」という表現は、そしてそれらは真である。意味論的な観点から言えば、前提が真であるときはいつでも結論が真である場合、前提は結論を必然的に導く。[ 102 ]
論理体系は、その証明体系が前提から意味的に必然的に導かれる結論以外を導き出せない場合に健全である。言い換えれば、その証明体系は意味論で定義されるような誤った結論を導くことができない。体系は、その証明体系が前提から意味的に必然的に導かれるすべての結論を導き出せる場合に完全である。言い換えれば、その証明体系は意味論で定義されるようなあらゆる真の結論を導き出すことができる。したがって、健全性と完全性は、妥当性と必然性の概念が完全に一致する体系を共に記述する。 [ 103 ]
論理体系は、推論や議論の正しさを評価するための理論的枠組みである。2000年以上にわたり、アリストテレス論理学は西洋世界における論理学の規範として扱われてきたが、[ 104 ]この分野における現代の発展により、論理体系が爆発的に増加した。[ 105 ]著名な分類の一つとして、現代の形式論理体系は古典論理、拡張論理、および逸脱論理に分けられる。[ 106 ]
アリストテレス論理学は、非常に多様なトピックを包含しています。存在論的カテゴリーに関する形而上学的命題や科学的説明の問題などが含まれます。しかし、より狭義には、項論理または三段論法と同一です。三段論法は、2つの前提と1つの結論という3つの命題を含む議論の形式です。各命題は、主語、述語、および主語と述語を結びつける連結語という3つの本質的な部分から構成されます。 [ 107 ]例えば、「ソクラテスは賢い」という命題は、主語「ソクラテス」、述語「賢い」、連結語「である」から構成されます。[ 108 ]主語と述語は、命題の項です。アリストテレス論理学は、単純な命題から構成される複雑な命題を含みません。この点で、任意の2つの命題を「かつ」のような論理結合子で結び付けて新しい複雑な命題を形成できる命題論理とは異なります。[ 109 ]
アリストテレス論理学では、主語は普遍的、個別的、不定的、または単数的になり得る。例えば、「すべての人間」という語は、「すべての人間は死ぬ」という命題における普遍的主語である。同様の命題は、これを個別的語「何人かの人間」、不定的語「一人の人間」、または単数的語「ソクラテス」に置き換えることによっても形成できる。[ 110 ]
アリストテレス論理学には、実体の単純な性質を表す述語のみが含まれています。しかし、実体間の関係に対応する述語は含まれていません。 [ 111 ]述語は、肯定するか否定するかの 2 つの方法で主語と結び付けることができます。[ 112 ]例えば、「ソクラテスは猫ではない」という命題は、主語「ソクラテス」に対する述語「猫」の否定を含んでいます。主語と述語の組み合わせを使用することで、非常に多様な命題と三段論法を形成できます。三段論法の特徴は、前提がそれぞれ 1 つの項を共有することによって互いに、そして結論と結び付けられていることです。[ 113 ]したがって、これら 3 つの命題には、大項、小項、中項と呼ばれる 3 つの項が含まれています。[ 114 ]アリストテレス論理学の中心的側面は、すべての可能な三段論法を、命題の形成方法に応じて有効な議論と無効な議論に分類することです。[ 112 ] [ 115 ]例えば、「すべての人間は死ぬ。ソクラテスは人間である。したがって、ソクラテスは死ぬ」という三段論法は妥当である。一方、「すべての猫は死ぬ。ソクラテスは死ぬ。したがって、ソクラテスは猫である」という三段論法は妥当ではない。[ 116 ]
古典論理は、伝統的な論理やアリストテレス論理とは異なります。命題論理と一階述語論理を含みます。ほとんどの論理学者が共有する基本的な論理的直観に基づいているという意味で「古典的」です。[ 117 ]これらの直観には、排中律、二重否定の除去、爆発原理、真理の二値性などが含まれます。[ 118 ]元々は数学的議論を分析するために開発され、後に他の分野にも応用されました。数学に重点を置いているため、哲学的に重要な他の多くのトピックに関連する論理語彙は含まれていません。見落とされている概念の例としては、必然性と可能性の対比や倫理的義務と許可の問題などがあります。同様に、過去、現在、未来の関係も扱っていません。[ 119 ]こうした問題は拡張論理によって扱われます。拡張論理は古典論理の基本的な直観に基づいて構築され、新しい論理語彙を導入することによってそれを拡張します。このようにして、数学の範囲を超える倫理学や認識論などの分野に、厳密な論理的アプローチが適用される。 [ 120 ]
命題論理は、論理結合子を用いて原子命題から論理式を構築する形式体系である。例えば、命題論理は2つの原子命題の連言を表す。そして複雑な式として述語論理では項と述語が最小単位であるのに対し、命題論理では真理値を持つ完全な命題が最も基本的な構成要素となる。[ 121 ]したがって、命題論理は、より単純な命題から複雑な命題が構築される方法から生じる論理的関係のみを表現できる。しかし、命題の内部構造から生じる推論は表現できない。[ 122 ]
一階述語論理は命題論理と同じ命題結合子を含みますが、命題の内部構造を明確に表現するという点で異なります。これは、特定の対象を指す単数項、性質や関係を指す述語、そして「いくつか」や「すべて」といった概念を扱う量化子などの手段によって実現されます。[ 123 ]例えば、「このカラスは黒い」という命題を表現するには、述語を用いることができます。プロパティ「black」と単数形の用語カラスに言及して表現を形成する. いくつかの物体が黒であることを表すには、存在量化子変数と組み合わされる命題を形成する一階述語論理には、このように表現された式がどのようにして有効な議論を形成できるかを決定するさまざまな推論規則が含まれています。たとえば、次のように推論できます。から[ 124 ]
拡張論理とは、古典論理の基本原理を受け入れる論理体系である。それらは、形而上学、倫理学、認識論などの分野に適用するために、追加の記号と原理を導入する。[ 125 ]
様相論理は古典論理の拡張である。その本来の形は「真理様相論理」とも呼ばれ、2つの新しい記号を導入する。何かが可能であることを示しています何かが必要であることを表す。[ 126 ]例えば、式がは「ソクラテスは銀行家である」という文を表し、次に式「ソクラテスは銀行家である可能性がある」という文を明確に表現している。[ 127 ]これらの記号を論理形式に含めるために、様相論理は推論においてそれらが果たす役割を規定する新しい推論規則を導入する。推論規則の1つは、何かが必然的であるならば、それは可能であるとも述べている。これは、から続くもう一つの原則は、命題が必然的であればその否定は不可能であり、その逆もまた然りである、というものである。これはつまり、と同等[ 128 ]
他の形式の様相論理では、同様の記号を導入しますが、様相論理を他の分野に適用するために、それらに異なる意味を関連付けます。たとえば、義務論理は倫理の分野に関係し、義務と許可の概念を表現する記号を導入します。つまり、行為者が特定のアクションを実行しなければならないか、または実行することが許可されているかを記述します。[ 129 ]時間様相論理の様相演算子は、時間的関係を明確にします。たとえば、何かが一度だけ起こったこと、または何かが常に起こっていることを表現するために使用できます。[ 129 ]認識論では、認識様相論理は、単にそれが事実であると信じるのとは対照的に、何かを知っているという概念を表現するために使用されます。 [ 130 ]
高階論理は、様相演算子を使用するのではなく、新しい形式の量化を導入することによって古典論理を拡張します。[ 131 ]量化子は、「すべて」や「いくつか」などの用語に対応します。古典的な一階論理では、量化子は個体にのみ適用されます。式「「（リンゴの中には甘いものもある）は存在量化子 の例である」「個々の変数に適用」「。高階論理では、述語に対しても量化が許容されます。これにより表現力が向上します。たとえば、メアリーとジョンがいくつかの性質を共有しているという考えを表現するには、次の式を使用できます。」この場合、存在量化子は述語変数に適用されます。「 . [ 132 ]追加された表現力は、数学理論をより簡潔に定式化できるため、特に数学において有用である。[ 43 ]しかし、メタ論理的特性と存在論的含意に関して欠点があり、そのため一階述語論理が依然としてより一般的に使用されている。[ 133 ]
逸脱論理とは、古典論理の基本的な直観の一部を拒否する論理体系である。そのため、逸脱論理は通常、古典論理の補完ではなく、ライバルと見なされる。逸脱論理体系は、異なる古典的直観を拒否するか、同じ問題に対して異なる代替案を提示するかのいずれかによって互いに異なる。[ 134 ]
直観主義論理は古典論理の制限版である。[ 135 ]同じ記号を使用するが、推論規則の一部を除外する。例えば、二重否定除去法則によれば、文が真でないのではないならば、それは真である。これは、から続くこれは古典論理では有効な推論規則ですが、直観主義論理では無効です。直観主義論理には含まれないもう一つの古典的な原理は、排中律です。これは、すべての文について、その文かその否定のどちらかが真であると述べています。これは、次の形式のすべての命題が真である。[ 135 ]古典論理からのこれらの逸脱は、真理は証明を用いた検証によって確立されるという考えに基づいている。直観主義論理は、特に構成的数学の分野で顕著であり、その存在を証明するために特定の例を見つけるか構築する必要性を強調している。[ 136 ]
多値論理は、すべての命題が真か偽のどちらかでなければならないという二値性の原理を拒否することで、古典論理から逸脱しています。たとえば、ヤン・ルカシェヴィチとスティーブン・コール・クリーネは、命題の真偽値が不確定であることを示す第3の真理値を持つ三値論理を提案しました。 [ 137 ]これらの論理は言語学の分野で応用されています。ファジー論理は、 0から1の間の実数で表される無限の「真理の度合い」を持つ多値論理です。[ 138 ]
矛盾を扱える論理体系は、矛盾を扱える論理体系である。矛盾を扱える論理体系は、爆発原理を回避するように定式化されている。つまり、矛盾から何かが導き出されることはない。[ 139 ]矛盾は実在する、あるいは現実そのものが矛盾しているという見解である二元的神学に動機づけられていることが多い。グラハム・プリーストはこの立場の影響力のある現代の提唱者であり、同様の見解はゲオルク・ヴィルヘルム・フリードリヒ・ヘーゲルにも帰せられている。[ 140 ]
非形式論理は通常、体系的ではない方法で行われます。特定の種類の誤謬を調査したり、議論の特定の側面を研究したりするなど、より具体的な問題に焦点を当てることが多いです。しかしながら、議論の正しさを体系的に特徴づけようとする非形式論理の枠組みもいくつか提示されています。[ 141 ]
非形式論理に対する実用的または対話的アプローチでは、議論は単なる前提と結論の集合ではなく、言語行為として捉えられます。 [ 142 ]言語行為として、議論は対話のような特定の文脈で発生し、それが正しい議論と間違った議論の基準に影響を与えます。[ 143 ]ダグラス・N・ウォルトンによる著名なバージョンでは、対話は2人のプレイヤー間のゲームとして理解されています。各プレイヤーの初期状態は、彼らがコミットしている命題と証明しようとしている結論によって特徴付けられます。対話は説得のゲームです。各プレイヤーは、相手を自分の結論に納得させることを目標としています。[ 144 ]これは議論を行うことによって達成されます。議論はゲームの動きです。[ 145 ]議論は、プレイヤーがコミットしている命題に影響を与えます。勝利の動きは、相手のコミットメントを前提として、そこから自分の結論がどのように導かれるかを示す成功した議論です。これは通常、すぐには不可能です。このため、通常は、相手を自分の意図する結論に少しずつ近づける中間段階として、一連の議論を組み立てる必要がある。勝利に近づくこれらの肯定的な議論の他に、相手の結論を否定することで相手の勝利を阻む否定的な議論もある。[ 144 ]議論が正しいかどうかは、それが対話の進展を促進するかどうかによって決まる。一方、誤謬は、適切な議論規則の基準に違反するものである。[ 146 ]これらの基準は、対話の種類にも依存する。例えば、科学的議論を規定する基準は、ビジネス交渉における基準とは異なる。[ 147 ]
一方、非形式論理に対する認識論的アプローチは、議論の認識論的役割に焦点を当てています。 [ 148 ]これは、議論は私たちの知識を増やすことを目的としているという考えに基づいています。議論は、正当化された信念をまだ正当化されていない信念に結びつけることによってこれを実現します。[ 149 ]正しい議論は知識の拡大に成功しますが、誤謬は認識論的失敗です。誤謬は結論に対する信念を正当化しません。[ 150 ]例えば、循環論法の誤謬は、演繹的に妥当であっても、結論に対する独立した正当化を提供できないため、誤謬です。[ 151 ]この意味で、論理的規範性は認識論的成功または合理性から成ります。[ 149 ]ベイズアプローチは、認識論的アプローチの一例です。[ 152 ]ベイズ主義の中心は、行為者が何かを信じているかどうかだけでなく、それを信じる程度、いわゆる確信度です。信念の度合いは、信じる命題における主観的確率、つまり行為者がその命題が真であるとどれほど確信しているかとして捉えられます。[ 153 ]この見方では、推論は、多くの場合、新たに入ってくる情報に反応して、自分の確信を変えるプロセスとして解釈できます。[ 154 ]正しい推論と、その根拠となる議論は、例えば条件付けの原理など、確率の法則に従います。一方、不適切または非合理的な推論は、これらの法則に違反します。[ 155 ]
論理学はさまざまな分野で研究されています。多くの場合、これは倫理学やコンピュータ科学など、論理学の範囲外の特定のトピックに形式的方法を適用することによって行われます。[ 156 ]また、論理学自体が別の学問分野の研究対象となる場合もあります。これはさまざまな方法で起こり得ます。たとえば、論理学者が使用する基本概念に関連する哲学的仮定を調査することが含まれる場合があります。その他の方法としては、数学的構造を通して論理を解釈および分析したり、形式論理システムの抽象的な特性を研究および比較したりすることが挙げられます。[ 157 ]
論理哲学は、論理の範囲と性質を研究する哲学の一分野です。[ 59 ]論理の基本概念をどのように定義するか、あるいはそれらに関連する形而上学的仮定など、論理に内在する多くの前提を検討します。[ 158 ]また、論理体系をどのように分類するか、そしてそれらが負う存在論的コミットメントについても検討します。[ 159 ]哲学的論理は、論理哲学の分野の一つです。形而上学、倫理学、認識論などの分野における哲学的問題への論理的方法の適用を研究します。[ 160 ]この適用は通常、拡張された論理体系または逸脱した論理体系の形で行われます。[ 161 ]
メタ論理学は、形式論理体系の特性を研究する分野です。例えば、新しい形式体系が開発されると、メタ論理学者はそれを研究して、どの式が証明できるかを判断します。また、各式の証明を見つけるアルゴリズムを開発できるかどうか、また、その体系内の証明可能な式がすべてトートロジーであるかどうかを研究することもあります。最後に、他の論理体系と比較して、その体系の独特な特徴を理解することもあります。メタ論理学における重要な課題は、構文と意味論の関係です。形式体系の構文規則は、前提から結論を推論する方法、つまり証明を定式化する方法を決定します。形式体系の意味論は、どの文が真で、どの文が偽であるかを決定します。これは、議論の妥当性を決定します。なぜなら、妥当な議論では、前提が真で結論が偽であることは不可能だからです。構文と意味論の関係は、すべての妥当な議論が証明可能であるか、すべての証明可能な議論が妥当であるかといった問題に関係します。メタ論理学者はまた、論理体系が完全、健全、かつ一貫性があるかどうかも研究します。彼らは、システムが決定可能であるかどうか、そしてどのような表現力を持っているかに関心を持っている。メタ論理学者は、メタ論理的証明を検討および定式化する際に、抽象的な数学的推論に大きく依存することが多い。このようにして、彼らはこれらのトピックに関して正確で一般的な結論に到達することを目指している。[ 162 ]
「数理論理学」という用語は、「形式論理学」の同義語として使われることもあります。しかし、より限定的な意味では、数学における論理の研究を指します。主な下位分野には、モデル理論、証明論、集合論、計算可能性理論などがあります。[ 164 ]数理論理学の研究は、一般的に形式論理体系の数学的性質を扱います。しかし、数学的推論を分析するために論理を使用したり、数学の論理に基づく基礎を確立しようとする試みも含まれることがあります。[ 165 ]後者は、ゴットロープ・フレーゲ、アルフレッド・ノース・ホワイトヘッド、バートランド・ラッセルなどの哲学者論理学者によって開拓された論理主義のプログラムを追求した20世紀初頭の数理論理学における主要な関心事でした。数学理論は論理的トートロジーであると想定され、彼らのプログラムは、数学を論理に還元することによってこれを示すことでした。この計画を実現しようとする多くの試みは失敗に終わった。フレーゲの『基本法則』における計画がラッセルのパラドックスによって頓挫したことから、ヒルベルトの計画がゲーデルの不完全性定理によって打ち負かされたことまで、様々な失敗があった。[ 166 ]
集合論はゲオルク・カントールによる無限の研究に端を発し、数理論理学における最も難解で重要な問題の多くを生み出してきた。それらには、カントールの定理、選択公理の地位、連続体仮説の独立性の問題、そして現代の大きな基数公理に関する議論などが含まれる。[ 167 ]
計算可能性理論は、計算問題を解決するための効果的な手順を研究する数理論理学の一分野です。その主な目的の一つは、与えられた問題をアルゴリズムを使って解決できるかどうかを理解することです。例えば、正の整数に関するある主張が与えられた場合、その主張が真であるかどうかを判断するアルゴリズムが見つかるかどうかを調べます。計算可能性理論は、チューリングマシンなどのさまざまな理論的ツールやモデルを使用して、この種の問題を探求します。[ 168 ]
計算論理学は、論理学とコンピュータ科学の一分野で、コンピュータを使用して数学的推論と論理形式をどのように実装するかを研究します。これには、例えば、推論規則を使用して、人間の介入なしに前提の集合から意図した結論まで段階的に証明を構築する自動定理証明器が含まれます。 [ 169 ]論理プログラミング言語は、論理式を使用して事実を表現し、これらの事実から推論を行うように特別に設計されています。たとえば、Prologは述語論理に基づく論理プログラミング言語です。[ 170 ]コンピュータ科学者は、論理の概念をコンピューティングの問題にも適用します。この点で、クロード・シャノンの研究は影響力がありました。彼は、ブール論理を使用してコンピュータ回路を理解し、実装する方法を示しました。[ 171 ]これは、電子論理ゲート、つまり 1 つ以上の入力と通常は 1 つの出力を持つ電子回路を使用して実現できます。命題の真偽値は電圧レベルによって表されます。このようにして、回路の入力に適切な電圧を印加し、出力の電圧を測定することによって関数の値を決定することで、論理関数をシミュレートすることができる。[ 172 ]
形式意味論は、論理学、言語学、言語哲学の下位分野です。意味論は言語の意味を研究する学問です。形式意味論は、記号論理学や数学の分野から形式的なツールを用いて、自然言語表現の意味に関する厳密な理論を構築します。意味は通常、真理条件との関連で理解されます。つまり、どのような状況で文が真または偽となるかを調べます。形式意味論の中心的な方法論的仮定の一つは、構成性の原理です。これは、複雑な表現の意味は、その構成要素の意味と、それらがどのように組み合わされるかによって決定されるというものです。例えば、「歩く」という動詞句の意味は、「歩く」と「歌う」という個々の表現の意味に依存します。形式意味論の多くの理論は、モデル理論に基づいています。これは、集合論を用いてモデルを構築し、そのモデルの要素との関連で表現の意味を解釈することを意味します。例えば、「歩く」という用語は、モデル内で歩くという性質を共有するすべての個体の集合として解釈できます。この分野における初期の有力な理論家は、英語に焦点を当てて分析を行ったリチャード・モンタギューとバーバラ・パーティーであった。 [ 173 ]
論理の認識論は、議論が妥当であることや命題が論理的に真であることをどのように知るかを研究する。[ 174 ]これには、モーダス・ポネンスが妥当な推論規則であることや矛盾が偽であることをどのように正当化するかといった問題が含まれる。 [ 175 ]伝統的に支配的な見解は、この形式の論理的理解はアプリオリな知識に属するというものである。[ 176 ]この点に関して、心には純粋な観念間の関係を調べる特別な能力があり、この能力は論理的真理を把握する役割も担っているとよく主張される。 [ 177 ]同様のアプローチでは、論理の規則を言語的慣習の観点から理解する。この見解では、論理法則は定義上真であるため自明であり、論理語彙の意味を表現しているにすぎない。[ 178 ]
ヒラリー・パトナムやペネロペ・マディといった一部の理論家は、論理がアプリオリに認識可能であるという見解に異議を唱えている。彼らは、論理的真理は経験的世界に依存すると主張する。これは通常、論理法則が世界の構造的特徴に見られる普遍的な規則性を表現しているという主張と結びついている。この見解によれば、論理法則は基礎科学の一般的なパターンを研究することによって探求できる。例えば、量子力学の特定の知見は、古典論理における分配原理（式が成り立つ）を否定すると主張されている。と同等この主張は、量子論理が正しい論理体系であり、古典論理に取って代わるべきであるというテーゼの経験的論拠として使用できる。[ 179 ]
論理学は古代において複数の文化で独自に発展した。初期の主要貢献者の一人はアリストテレスであり、彼は『オルガノン』と『分析論前書』で項論理を発展させた。[ 183 ] 彼は仮言三段論法[ 184 ]と時間様相論理[185]の導入に貢献した。さらに、帰納論理[186]や、項、述語、三段論法、命題といった新しい論理概念の議論も革新として挙げられる。アリストテレス論理は、ヨーロッパと中東の両方で古典時代と中世に高く評価された。西洋では19世紀初頭まで広く使われ続けた。[ 187 ]現在では後世の研究に取って代わられているが、その重要な洞察の多くは現代の論理体系にも残っている。[ 188 ]
イブン・シーナー（アヴィセンナ）は、イスラム世界で支配的な論理体系としてアリストテレス論理に取って代わったアヴィセンナ論理の創始者である。[ 189 ]それは、アルベルトゥス・マグヌスやウィリアム・オブ・オッカムなどの西洋中世の著述家に影響を与えた。[ 190 ]イブン・シーナーは仮言三段論法[ 191 ]と命題論理[ 192 ]について書いた。彼は時間論理と様相論理を含む独自の「時間的に様相化された」三段論法理論を開発した。[ 193 ]彼はまた、科学的方法に不可欠な一致、差異、付随的変化の方法などの帰納的論理も利用した。[ 191 ]ファクル・アルディン・アルラジは、影響力のあるもう一人のイスラム論理学者である。彼はアリストテレスの三段論法を批判し、初期の帰納論理体系を定式化し、ジョン・スチュアート・ミルによって発展した帰納論理体系を予見した。[ 194 ]
中世には、アリストテレス論理学の多くの翻訳と解釈が行われた。特にボエティウスの著作は大きな影響力を持っていた。彼はアリストテレスの著作をラテン語に翻訳しただけでなく、論理学の教科書も著した。[ 195 ]その後、イブン・シーナーやイブン・ルシュド（アヴェロエス）などのイスラム哲学者の著作が活用された。これにより、ラテン語の注釈書に保存されていたギリシャ語の著作がイスラム教徒の学者にも利用可能になったため、中世のキリスト教徒の学者が利用できる古代の著作の範囲が広がった。1323年には、ウィリアム・オブ・オッカムの影響力のある『論理学大全』が出版された。これは論理学に関する包括的な論文であり、論理学の多くの基本概念を論じ、命題の種類とその真理条件を体系的に解説している。[ 196 ]
中国哲学において、名学と墨家は特に大きな影響力を持っていた。名学は言語の使用と逆説に焦点を当てた。例えば、公孫隆は白馬の逆説を提唱し、白馬は馬ではないというテーゼを擁護した。墨家もまた、論理における言語の重要性を認め、これらの分野の思想を倫理の領域と結びつけようとした。[ 197 ]
インドでは、論理学の研究は主にニヤーヤ学派、仏教、ジャイナ教によって行われていました。独立した学問分野として扱われることはなく、そのトピックに関する議論は通常、認識論や対話または議論の理論の文脈で行われていました。[ 198 ]ニヤーヤ学派では、推論は知識の源（プラマーナ）として理解されています。推論は対象の知覚に続き、例えばその対象の原因についての結論に到達しようとします。[ 199 ]認識論との関係に対する同様の強調は、仏教とジャイナ教の論理学派にも見られ、推論は他の情報源から得られた知識を拡張するために使用されます。[ 200 ]ニヤーヤ学派に属するニヤーヤ学派の後期の理論のいくつかは、ゴットロープ・フレーゲの意味と指示の区別や数の定義など、現代の論理学の形式に似ています。 [ 201 ]
アリストテレスによって発展した三段論法は、19 世紀半ばに数学の基礎への関心が高まり、近代記号論理学の発展を促した時まで、西洋で主流でした。[ 202 ]多くの人が、ゴットロープ・フレーゲの『概念書』を近代論理学の発祥地と見ています。ゴットフリート・ヴィルヘルム・ライプニッツの普遍形式言語の考え方は、しばしばその先駆けと考えられています。他の先駆者としては、数学的論理体系としてブール代数を発明したジョージ・ブールと、関係論理を発展させたチャールズ・パースがいます。アルフレッド・ノース・ホワイトヘッドとバートランド・ラッセルは、彼らの著作『プリンキピア・マテマティカ』の中で、これらの洞察の多くをまとめました。近代論理学は、関数、量化子、関係述語などの新しい概念を導入しました。近代記号論理学の特徴は、形式言語を使用して洞察を正確にコード化することです。この点において、主に自然言語に頼っていた以前の論理学者とは異なっている。[ 203 ]特に影響力があったのは、現代論理の標準体系として一般的に扱われる一階述語論理の発展である。[ 204 ]その分析的一般性により、数学の形式化が可能になり、集合論の研究が進められた。また、アルフレッド・タルスキのモデル理論へのアプローチを可能にし、現代数理論理学の基礎を築いた。[ 205 ]
論理計算の最も重要な 2 つのタイプは、命題計算 (または文計算) と関数計算 (または述語計算) です。命題計算は、命題変数と命題結合子 (命題定数も含むものもある) を含むシステムですが、個々の変数や関数変数、定数は含みません。拡張命題計算では、演算子変数が命題変数である量化子が追加されます。
{{cite book}}: CS1メンテナンス: パブリッシャーの場所 (リンク){{cite book}}: CS1メンテナンス: パブリッシャーの場所 (リンク){{cite book}}: CS1メンテナンス: ISBNエラーを無視しました (リンク)... ニャーヤ学派にとって、すべての推論は究極的には知覚に根ざしている... ニャーヤ学派は通常、知覚、推論、比較、証言という 4 つの知識手段を受け入れている。