ベクターロジック

モナド演算子は適用によって得られる。${\displaystyle 月:V_{2}\to V_{2}}$、そして関連する行列はq行q列を持ちます。この 2 値ベクトル論理の 2 つの基本的な単項演算子は、恒等演算子と否定演算子です。

• アイデンティティ：論理的なアイデンティティID( p )は行列で表されます${\displaystyle I=ss^{T}+nn^{T}}$この行列は次のように動作します: Ip  = p、p ∈ V _{2 ;} sとnの直交性により、次のようになります。   ${\displaystyle Is=ss^{T}s+nn^{T}s=s\langle s,s\rangle +n\langle n,s\rangle =s}$、同様に${\displaystyle In=n}$重要な点として、このベクトル論理の単位行列は、一般的には行列代数の意味での単位行列ではないことに注意する必要がある。
• 否定：論理否定 ¬ pは行列で表されます${\displaystyle N=ns^{T}+sn^{T}}$したがって、Ns  = nおよびNn = s となります。論理否定の対合的性質、すなわち ¬(¬ p )がpに等しいという事実は、 N ² = Iであるという事実に対応します。     

16個の2値二進演算子は、次のタイプの関数に対応します。${\displaystyle Dyad:V_{2}\時々 V_{2}\to V_{2}}$二項行列はq ²行q列を持ちます。これらの二項演算を実行する行列は、クロネッカー積の性質に基づいています。この積の 2 つの性質は、ベクトル論理の形式体系にとって不可欠です。

これらの性質を利用することで、二項論理関数の式を導出できる。

• 論理積。論理積（ p ∧ q）は、2つのベクトル真理値に作用する行列によって実行されます。${\displaystyle C(u\otimes v)}$この行列は、その定式化において古典的な論理積真理値表の特徴を再現している。

${\displaystyle C=s(s\otimes s)^{T}+n(s\otimes n)^{T}+n(n\otimes s)^{T}+n(n\otimes n)^{T}}$

検証する

${\displaystyle C(s\otimes s)=s,}$そして

${\displaystyle C(s\otimes n)=C(n\otimes s)=C(n\otimes n)=n.}$

• 選言。選言（ p ∨ q）は行列によって実行されます。

${\displaystyle D=s(s\otimes s)^{T}+s(s\otimes n)^{T}+s(n\otimes s)^{T}+n(n\otimes n)^{T},}$その結果

${\displaystyle D(s\otimes s)=D(s\otimes n)=D(n\otimes s)=s}$そして

${\displaystyle D(n\otimes n)=n.}$

• 含意。古典論理では、含意は式p  → q ≡¬ p ∨ qに対応します。この等価性のベクトル論理バージョンは、この含意をベクトル論理で表す行列になります。     ${\displaystyle L=D(N\otimes I)}$この含意を明示的に表現すると次のようになります。

${\displaystyle L=s(s\otimes s)^{T}+n(s\otimes n)^{T}+s(n\otimes s)^{T}+s(n\otimes n)^{T},}$

そして、古典的な含意の性質が満たされる。

${\displaystyle L(s\otimes s)=L(n\otimes s)=L(n\otimes n)=s}$そして

${\displaystyle L(s\otimes n)=n.}$

• 同値性と排他的論理和。ベクトル論理では、同値性p ≡ qは次の行列で表されます。

${\displaystyle E=s(s\otimes s)^{T}+n(s\otimes n)^{T}+n(n\otimes s)^{T}+s(n\otimes n)^{T}}$と

${\displaystyle E(s\otimes s)=E(n\otimes n)=s}$そして

${\displaystyle E(s\otimes n)=E(n\otimes s)=n.}$

排他的論理和は同値関係の否定、¬( p ≡ q ) であり、行列に対応します。${\displaystyle X=NE}$によって与えられた

${\displaystyle X=n(s\otimes s)^{T}+s(s\otimes n)^{T}+s(n\otimes s)^{T}+n(n\otimes n)^{T},}$

と${\displaystyle X(s\otimes s)=X(n\otimes n)=n}$そして

${\displaystyle X(s\otimes n)=X(n\otimes s)=s.}$

• NANDとNOR

行列SとPは、それぞれシェファー（NAND）演算とピアース（NOR）演算に対応する。

${\displaystyle S=NC}$

${\displaystyle P=ND}$

以下に、 sとnの2つの異なる2次元直交ベクトルセットに対して行列として実装されたいくつかの基本的な論理ゲートの数値例を示します。

セット1：$${\displaystyle s={\begin{bmatrix}1\\0\end{bmatrix}}\quad n={\begin{bmatrix}0\\1\end{bmatrix}}}$$

この場合、恒等演算子と否定演算子は、恒等行列と反対角単位行列です。

$${\displaystyle I={\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}},\quad N={\begin{bmatrix}0&1\\1&0\end{bmatrix}}}$$

論理積、論理和、含意の行列は次のようになる。

$${\displaystyle C={\begin{bmatrix}1&0&0&0\\0&1&1&1\end{bmatrix}},\quad D={\begin{bmatrix}1&1&1&0\\0&0&0&1\end{bmatrix}},\quad L={\begin{bmatrix}1&0&1&1\\0&1&0&0\end{bmatrix}}}$$それぞれ。

セット2：$${\displaystyle s={\frac {1}{\sqrt {2}}}{\begin{bmatrix}1\\1\end{bmatrix}}\quad n={\frac {1}{\sqrt {2}}}{\begin{bmatrix}1\\-1\end{bmatrix}}}$$

ここで恒等演算子は単位行列ですが、否定演算子はもはや反対角単位行列ではありません 。

$${\displaystyle I={\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}},\quad N={\begin{bmatrix}1&0\\0&-1\end{bmatrix}}}$$

論理積、論理和、含意の行列は以下のとおりです。

$${\displaystyle C={\frac {1}{\sqrt {2}}}{\begin{bmatrix}2&0&0&0\\-1&1&1&1\end{bmatrix}},\quad D={\frac {1}{\sqrt {2}}}{\begin{bmatrix}2&0&0&0\\1&1&1&-1\end{bmatrix}},\quad L={\begin{bmatrix}2&0&0&0\\1&1&-1&1\end{bmatrix}}}$$それぞれ。

2値論理では、論理積と論理和の演算はド・モルガンの法則を満たします。p ∧ q ≡¬ ( ¬ p ∨¬ q )、およびその双対であるp ∨ q ≡¬(¬ p ∧¬ q ))。2値ベクトル論理でもこの法則が成り立ちます。

${\displaystyle C(u\otimes v)=ND(Nu\otimes Nv)}$ここで、uとvは2つの論理ベクトルである。

クロネッカー積は、以下の因数分解を意味する。

${\displaystyle C(u\otimes v)=ND(N\otimes N)(u\otimes v).}$

すると、2次元ベクトル論理ではド・モルガンの法則は演算子に関する法則であるだけでなく、演算子に関する法則でもあることが証明できる。^{[ 6 ]}

${\displaystyle C=ND(N\otimes N)}$

古典的な命題論理では、対偶法則p  → q ≡ ¬ q → ¬ pは、 pとqの真理値のすべての可能な組み合わせに対して同値性が成り立つため証明されます。^{[ 7 ]}一方、ベクトル論理では、対偶法則は、以下に示すように、行列代数とクロネッカー積の規則内の等式の連鎖から生じます。     

${\displaystyle L(u\otimes v)=D(N\otimes I)(u\otimes v)=D(Nu\otimes v)=D(Nu\otimes NNv)=}$

${\displaystyle D(NNv\otimes Nu)=D(N\otimes I)(Nv\otimes Nu)=L(Nv\otimes Nu)}$

この結果は、選言行列Dが可換演算を表すという事実に基づいている。

この多値論理の出力はスカラー関数に射影することができ、ライヘンバッハの多値論理と類似した特定のクラスの確率論理を生成する。 ^{[ 9 ] [ 10 ] [ 11 ]} 2つのベクトルが与えられた場合${\displaystyle u=\alpha s+\beta n}$そして${\displaystyle v=\alpha 's+\beta 'n}$および二項論理行列${\displaystyle G}$スカラー確率論理は、ベクトルsへの射影によって提供される。 

${\displaystyle Val(\mathrm {scalars} )=s^{T}G(\mathrm {vectors} )}$

これらの予測の主な結果は以下のとおりです。

${\displaystyle NOT(\alpha )=s^{T}Nu=1-\alpha }$

${\displaystyle OR(\alpha ,\alpha ')=s^{T}D(u\otimes v)=\alpha +\alpha '-\alpha \alpha '}$

${\displaystyle AND(\alpha ,\alpha ')=s^{T}C(u\otimes v)=\alpha \alpha '}$

${\displaystyle IMPL(\alpha ,\alpha ')=s^{T}L(u\otimes v)=1-\alpha (1-\alpha ')}$

${\displaystyle XOR(\alpha ,\alpha ')=s^{T}X(u\otimes v)=\alpha +\alpha '-2\alpha \alpha '}$

関連する否定は次のとおりです。

${\displaystyle NOR(\alpha ,\alpha ')=1-OR(\alpha ,\alpha ')}$

${\displaystyle NAND(\alpha ,\alpha ')=1-AND(\alpha ,\alpha ')}$

${\displaystyle EQUI(\alpha ,\alpha ')=1-XOR(\alpha ,\alpha ')}$

スカラー値が集合 {0, ⁠ 1 / 2 ⁠ , 1} に属する場合、この多値スカラー論理は、多くの演算子に関して、Łukasiewicz の 3 値論理とほぼ同一です。また、単項演算子または二項演算子がこの集合に属する確率ベクトルに作用する場合、出力もこの集合の要素であることが証明されています。^{[ 6 ]}