ベイズ認識論

伝統的な認識論との重要な違いの 1 つは、ベイズ認識論が単純な信念の概念ではなく、信念の度合い、いわゆる確信度の概念に焦点を当てている点です。^{[ 1 ]}このアプローチは確実性の概念を捉えようとしています。^{[ 4 ]}私たちはあらゆる種類の主張を信じていますが、地球が丸いといった主張については、プラトンが第一アルキビアデスの著者であるといった主張よりも確信度が高いです。これらの度合いは 0​​ から 1 の間の値をとります。度合いが 1 の場合は、主張が完全に受け入れられていることを意味します。一方、度合いが 0 の場合は、完全に信じていないことを意味します。これは、主張が完全に拒否され、その人が反対の主張を固く信じていることを意味します。度合いが 0.5 の場合は、信念の保留に対応し、その人がまだ決断を下していないことを意味します。どちらの意見も持っておらず、したがって主張を受け入れることも拒否することもないということです。確率のベイズ解釈によれば、確信度は主観的確率を表します。フランク・P・ラムジーに倣って、それらは主張にお金を賭ける意思という観点から解釈される。^{[ 9 ] [ 1 ] [ 4 ]}つまり、お気に入りのサッカーチームが次の試合に勝つという確信度が0.8（つまり80  %）であるということは、1ドルの利益を得るチャンスのために最大4ドルを賭ける意思があるということである。この説明は、ベイズ認識論と意思決定理論の間に密接なつながりを描いている。^{[ 10 ] [ 11 ]}賭け行動は特別な領域にすぎず、そのため確信度のような一般的な概念を定義するのに適していないように思えるかもしれない。しかし、ラムジーが主張するように、最も広い意味で理解すれば、私たちは常に賭けている。たとえば、駅に行くとき、私たちは電車が時間通りに到着することに賭けている。そうでなければ、家にいただろう。^{[ 4 ]}賭けをする意思という観点からの信頼度の解釈から、矛盾や同義反復を除いて、いかなる命題にも信頼度を 0 または 1 とするのは不合理であるという結論が導き出される。^{[ 6 ]}その理由は、これらの極端な値を割り当てると、報酬が最小限であっても、自分の命を含め、何でも賭ける意思があるということになるからである。^{[ 1 ]}このような極端な信頼度のもう 1 つの負の副作用は、それらが永久に固定され、新しい証拠を得ても更新できなくなることである。

ベイズ主義のこの中心的な信条、すなわち確信は主観的確率として解釈され、したがって確率の規範によって支配されるという考え方は、確率論と呼ばれてきた。^{[ 10 ]}これらの規範は、理想的に合理的なエージェントの確信の性質を表す。^{[ 4 ]}それらは、例えば明日雨が降るかどうかといった、個々の特定の信念に対してどのような確信を持つべきかを要求しない。代わりに、信念のシステム全体を制約する。^{[ 4 ]}例えば、明日雨が降るという確信が0.8であれば、反対の命題、つまり明日雨が降らないという確信は、0.1や0.5ではなく、0.2であるべきである。ステファン・ハートマンとヤン・シュプレンガーによれば、確率の公理は次の2つの法則によって表現できる。(1)${\displaystyle P(A)=1}$あらゆる同義反復に対して${\displaystyle A}$（２）両立しない（相互に排他的な）命題の場合${\displaystyle A}$そして${\displaystyle B}$、${\displaystyle P(A\lor B)=P(A)+P(B)}$[ ^{4 ]​}

信念の度合いに関するもう 1 つの重要なベイズ原理は、デイビッド・ルイスによる主観原理です。^{[ 10 ]}この原理は、客観的な確率に関する私たちの知識は、確信度という形で私たちの主観的な確率に対応すべきであると述べています。^{[ 4 ] [ 5 ]}したがって、コインが表になる客観的な確率が 50% だとわかっている場合、コインが表になるという確信度は 0.5 であるべきです。

確率の公理と主原理は、合理性の静的または同時的側面、つまり、ある瞬間だけを考慮した場合の行為者の信念がどのようなものであるべきかを決定します。 ^{[ 1 ]}しかし、合理性には動的または通時的側面も含まれており、これは新しい証拠に直面したときに信念を変えるために作用します。この側面は条件付けの原理によって決定されます。^{[ 1 ] [ 4 ]}

条件付けの原理は、仮説に対するエージェントの確信度が、その仮説を支持する、あるいは反証する新たな証拠を受け取った際にどのように変化するべきかを規定する。^{[ 6 ] [ 10 ]}そのため、理想的な合理的エージェントがどのように行動するかという動的な側面を表現している。^{[ 1 ]}これは条件付き確率の概念に基づいている。条件付き確率とは、ある事象が既に発生したという条件の下で、別の事象が発生する確率の尺度である。無条件確率は、${\displaystyle A}$発生することは通常次のように表現されます${\displaystyle P(A)}$条件付き確率は${\displaystyle A}$Bが既に発生した場合、発生することは次のように記述されます。${\displaystyle P(A\mid B)}$例えば、コインを2回投げて2回とも表が出る確率はわずか25%です。しかし、1回目の投げで表が出たという条件の下で、これが起こる条件付き確率は50%になります。条件付けの原理はこの考え方を確信度に適用します。^{[ 1 ]} 1回目の投げで既に表が出たという証拠を受け取ったら、コインが2回とも表が出るという確信度を変更する必要があります。事象の前に仮説に割り当てられる確率は事前確率と呼ばれます。^{[ 12 ]}その後の確率は事後確率と呼ばれます。単純な条件付けの原理によれば、これは次のように表現できます。 ${\displaystyle P_{\text{posterior}}(H)=P_{\text{prior}}(H\mid E)={\frac {P_{\text{prior}}(H\land E)}{P_{\text{prior}}(E)}}}$^{[ 1 ] [ 6 ]}したがって、仮説が真である事後確率は、証拠に対する仮説が真である条件付き事前確率に等しく、これは、仮説と証拠の両方が真である事前確率を、証拠が真である事前確率で割った値に等しい。この原理の元の表現は、ベイズの定理と呼ばれ、この定式化から直接導き出すことができる。^{[ 6 ]}

条件付けの単純な原理は、得られた証拠に対する信頼度、つまり事後確率が 1 であるという仮定を置いていますが、これは非現実的です。たとえば、科学者は新しい発見をしたときに以前に受け入れられた証拠を破棄する必要がある場合がありますが、対応する信頼度が 1 であればこれは不可能です。^{[ 6 ]}リチャード・ジェフリーによって提案された条件付けの別の形式は、証拠の確率を考慮に入れるように式を調整します。^{[ 13 ] [ 14 ]}${\displaystyle P_{\text{posterior}}(H)=P_{\text{prior}}(H\mid E)\cdot P_{\text{posterior}}(E)+P_{\text{prior}}(H\mid \lnot E)\cdot P_{\text{posterior}}(\lnot E)}$[ ^{6 ]​}

ダッチブックとは、必ず損失につながる一連の賭けのことである。^{[ 15 ] [ 16 ]}エージェントの信念が確率の法則に違反する場合、そのエージェントはダッチブックの影響を受けやすい。^{[ 4 ]}これは、同時的に保持されている信念の間で矛盾が生じる共時的ケース、またはエージェントが新しい証拠に適切に対応しない通時的ケースのいずれかである。^{[ 6 ] [ 16 ]}最も単純な共時的ケースでは、命題とその否定に対する信念の 2 つの信念のみが関係する。^{[ 17 ]}確率の法則によれば、命題またはその否定のいずれかが真であるため、これら 2 つの信念を合わせると 1 になるはずである。この法則に違反するエージェントは、共時的ダッチブックの影響を受けやすい。^{[ 6 ]}例えば、明日雨が降るという命題が与えられたとして、エージェントがそれが真実であると信じる度合いが 0.51 であり、それが偽であると信じる度合いも 0.51 であると仮定します。この場合、エージェントは 1 ドルを獲得するチャンスに対して 0.51 ドルの 2 つの賭けを受け入れる意思があります。1 つは雨が降る賭け、もう 1 つは雨が降らない賭けです。2 つの賭けの合計コストは 1.02 ドルで、雨が降るかどうかにかかわらず、0.02 ドルの損失となります。^{[ 17 ]}通時的なダッチ ブックの背後にある原理は同じですが、新しい証拠を受け取る前と後に賭けを行うことが含まれ、証拠がどのような結果になるかにかかわらず、いずれの場合にも損失があることを考慮する必要があるため、より複雑です。^{[ 17 ] [ 16 ]}

エージェントがオランダの書物に弱いとはどういう意味か、様々な解釈がある。伝統的な解釈では、そのような脆弱性は、エージェントが自らの最善の利益にならない行動に進んで従事するため、非合理的であることを示している。^{[ 6 ]}この解釈の問題点は、合理性の要件として論理的全知を前提としていることであり、これは特に複雑な通時的ケースでは問題となる。別の解釈では、オランダの書物を「信念の度合いが実際的に自己矛盾を起こす可能性がある時期を判断するための一種のヒューリスティック」として用いる。 ^{[ 6 ]}この解釈は、人間の限界に直面した合理性に対するより現実的な見方と両立する。^{[ 16 ]}

ダッチブックは確率の公理と密接に関連している。^{[ 16 ]}ダッチブック定理は、確率の公理に従わない確信割り当てのみがダッチブックの影響を受けやすいと主張している。逆のダッチブック定理は、これらの公理に従う確信割り当てはダッチブックの影響を受けにくいと述べている。^{[ 4 ] [ 16 ]}

科学哲学において、確証とは、証拠とそれによって確証される仮説との関係を指します。^{[ 18 ]}確証理論は、確証と反証、つまり科学的仮説が証拠によってどのように支持または反証されるかを研究するものです。^{[ 19 ]}ベイズ確証理論は、条件付けの原理に基づいた確証のモデルを提供します。^{[ 6 ] [ 18 ]}ある証拠が理論を確証するのは、その証拠に対するその理論の条件付き確率が、その理論単独の無条件確率よりも高い場合です。^{[ 18 ]}正式に表現すると次のようになります。${\displaystyle P(H\mid E)>P(H)}$[ ^{6 ]}証拠が仮説の確率を低下させる場合、それは仮説を否定する。科学者は通常、証拠が理論を支持するかどうかだけでなく、どの程度支持しているかにも関心がある。この程度を決定する方法はいくつかある。^{[ 18 ]最も}単純な方法は、証拠に対する仮説の条件付き確率と仮説の無条件確率の差を測定するだけであり、つまり支持の程度は${\displaystyle P(H\mid E)-P(H)}$[ ^{4 ]この度合いを測定する際の問題点は、証拠を}受け取る前に理論がすでにどれほど確実であるかに依存することです。したがって、科学者がすでに理論が正しいと非常に確信している場合、たとえその証拠が非常に強力であっても、もう1つの証拠は彼女の確信にあまり影響を与えません。^{[ 6 ] [ 4 ]}証拠尺度がどのように振る舞うべきかには、他の制約があります。たとえば、驚くべき証拠、つまりそれ自体では確率が低い証拠は、より多くの支持を提供する必要があります。^{[ 4 ] [ 18 ]}科学者は、2つの競合する理論の間で決定しなければならない問題にしばしば直面します。そのような場合、関心は絶対的な確認、つまり新しい証拠がどの理論をどれだけ支持するかではなく、相対的な確認、つまり新しい証拠によってどちらの理論がより支持されているかにあります。^{[ 6 ]}

確証理論におけるよく知られた問題として、カール・グスタフ・ヘンペルのワタリガラスのパラドックスがある。^{[ 20 ] [ 19 ] [ 18 ]}ヘンペルは、黒いワタリガラスを見ることは、すべてのワタリガラスは黒いという仮説の証拠となるが、緑のリンゴを見ることは通常、この仮説の賛成または反対の証拠とはみなされないことを指摘することから始める。このパラドックスは、「すべてのワタリガラスは黒い」という仮説が、「何かが黒くなければ、それはワタリガラスではない」という仮説と論理的に同等であるという考察に基づいている。^{[ 18 ]}したがって、緑のリンゴを見ることは2番目の仮説の証拠となるので、最初の仮説の証拠にもなるはずである。^{[ 6 ]}ベイズ主義では、緑のリンゴを見ることはワタリガラスの仮説を支持し、私たちの最初の直感を別の形で説明することを認めている。この結果は、緑のリンゴを見ることはワタリガラスの仮説に対して最小限ではあるが肯定的な支持を与え、黒いワタリガラスを見つけることはそれよりもはるかに多くの支持を与えると仮定した場合に達成される。^{[ 6 ] [ 18 ] [ 20 ]}

一貫性は、真理の一貫性理論や正当化の一貫性理論など、さまざまな認識論的理論において中心的な役割を果たしています。^{[ 21 ] [ 22 ]}信念の集合は、一貫性がある場合の方がそうでない場合よりも真である可能性が高いとよく考えられています。^{[ 1 ]}例えば、すべての証拠を首尾一貫した物語に結びつけることができる探偵を信頼する可能性が高くなります。しかし、一貫性をどのように定義するかについては、一般的な合意はありません。^{[ 1 ] [ 4 ]}ベイズ主義は、確率の観点から一貫性の正確な定義を提案することでこの分野に適用され、その後、一貫性を取り巻く他の問題に取り組むために使用できます。^{[ 4 ]}そのような定義の1つは、トモジ・ショウゲンジによって提案されたもので、2つの信念間の一貫性は、それらの結合の確率をそれぞれの単独の確率で割ったものに等しいと提案しています。${\displaystyle Coherence(A,B)={\frac {P(A\land B)}{(P(A)\cdot P(B))}}}$^{[ 4 ] [ 23 ]}直感的に言えば、これは、2 つの信念が同時に真である可能性を、それらが互いに中立的に関連している場合の可能性と比較して測定するものです。^{[ 23 ]} 2 つの信念が互いに関連している場合、一貫性は高くなります。^{[ 4 ]}このように定義された一貫性は、確信度の割り当てに相対的です。これは、エージェントの確信度の事前確率の違いにより、2 つの命題が、あるエージェントに対しては高い一貫性を持ち、別のエージェントに対しては低い一貫性を持つ可能性があることを意味します。^{[ 4 ]}

社会認識論は、知識に対する社会的要因の関連性を研究する。 ^{[ 24 ]}例えば、科学の分野では、個々の科学者が進歩するために他の科学者の主張する発見を信頼する必要があるため、これは重要である。 ^{[ 1 ]}ベイズ的アプローチは、社会認識論のさまざまなトピックに適用できる。たとえば、確率的推論は、証言の分野で、特定の報告の信頼性を評価するために使用できる。 ^{[ 6 ]}このように、互いに確率的に独立している目撃者の報告は、独立していない報告よりも多くの支持を提供するということを形式的に示すことができる。 ^{[ 1 ]}社会認識論のもう1つのトピックは、グループ全体の信念に到達するために、グループ内の個人の信念をどのように集約するかという問題である。 ^{[ 24 ]}ベイズ主義は、異なる個人の確率割り当てを集約することによってこの問題に取り組む。 ^{[ 6 ] [ 1 ]}

新しい証拠に基づいて確率的推論を行うには、問題となっている命題に事前確率が既に割り当てられている必要がある。^{[ 25 ]}しかし、これは常に当てはまるわけではない。エージェントがこれまで考慮したことのない命題は多く、したがって確信度がない。この問題は通常、条件付けによって新しい証拠から学ぶために、問題となっている命題に確率を割り当てることによって解決される。^{[ 6 ] [ 26 ]}事前確率の問題は、この初期割り当てをどのように行うべきかという問題に関係する。^{[ 25 ]}主観的ベイズ主義者は、初期確率の割り当て方法を決定する確率的整合性以外の制約はないか、ほとんどないと主張する。初期確信度を選択する際のこの自由の根拠は、証拠が増えるにつれて確信度が変化し、どこから始めても十分なステップを経れば同じ値に収束するというものである。^{[ 6 ]} 一方、客観的ベイズ主義者は、初期割り当てを決定するさまざまな制約があると主張する。重要な制約の 1 つは無差別原理です。^{[ 5 ] [ 25 ]}これは、確信度をすべての可能な結果に均等に分配する必要があると述べています。^{[ 27 ] [ 10 ]}例えば、エージェントは、赤と黒のボールのみが入った壺から引き出されたボールの色を、赤と黒のボールの比率に関する情報なしに予測したいと考えています。^{[ 6 ]}この状況に適用すると、無差別原理によれば、エージェントは最初に赤いボールを引き出す確率を 50% と仮定する必要があります。これは対称的な考慮事項によるものです。これは、事前確率がラベルの変更に対して不変である唯一の割り当てです。^{[ 6 ]}このアプローチは一部のケースでは機能しますが、他のケースではパラドックスを生み出します。もう 1 つの反論は、初期の無知に基づいて事前確率を割り当てるべきではないということです。^{[ 6 ]}

ベイズ認識論の標準的な定義に基づく合理性の規範は、論理的全知を前提としている。すなわち、行為者は、合理的であるとみなされるためには、自身のすべての信念についてすべての確率法則に厳密に従わなければならない。^{[ 28 ] [ 29 ]}そうしない者はダッチブックに弱く、したがって非合理的である。批評家が指摘しているように、これは人間にとって非現実的な基準である。^{[ 6 ]}

古い証拠の問題は、エージェントが証拠を取得した時点でそれが仮説を裏付けるものであることを知らず、後になって初めてその裏付けとなる関係を知る場合に関するものです。^{[ 6 ]}通常、エージェントはこの関係を発見した後、仮説に対する確信度を高めます。しかし、ベイズ確証理論では、条件付けは証拠となる記述の確率の変化によってのみ起こり得るため、これは許されません。^{[ 6 ] [ 30 ]}例えば、水星の軌道の特定の異常の観測は、一般相対性理論の証拠です。しかし、このデータは理論が定式化される前に得られたものであり、したがって古い証拠とみなされます。^{[ 30 ]}