有限位相空間

数学において、有限位相空間は、基礎となる点集合が有限である位相空間です。つまり、有限個の要素のみを持つ位相空間です。

有限位相空間は、興味深い現象の例や、もっともらしい推測に対する反例を提供するためによく使用されます。ウィリアム・サーストンは、この意味での有限位相の研究を「さまざまな疑問に良い洞察を与えることができる奇妙なテーマ」と呼んでいます。^[1]

を有限集合とする。上の位相は（の冪集合）の部分集合であり、 ${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle \tau}$${\displaystyle P(X)}$${\displaystyle X}$

1. ${\displaystyle \varnothing \in \tau }$そして。${\displaystyle X\in \tau }$
2. ならば。​${\displaystyle U,V\in \tau }$${\displaystyle U\cup V\in \tau }$
3. ならば。​${\displaystyle U,V\in \tau }$${\displaystyle U\cap V\in \tau }$

言い換えると、のサブセットが位相であるとは 、 と の両方を含み、任意の和集合および積集合の下で閉じている場合です。 の要素は開集合と呼ばれます。位相空間の一般的な記述では、位相は任意の（有限または無限）開集合の和集合の下で閉じている必要がありますが、有限個の開集合の積集合の下でのみ閉じています。ここでは、その区別は不要です。有限集合の冪集合は有限であるため、開集合は有限個しか存在できません（また、閉集合も有限個しか存在できません）。 ${\displaystyle \tau}$${\displaystyle P(X)}$${\displaystyle \tau}$${\displaystyle \varnothing }$${\displaystyle X}$${\displaystyle \tau}$

有限集合上の位相は、底辺要素と頂辺要素の両方を含む の部分格子として考えることもできます。 ${\displaystyle (P(X),\subset )}$${\displaystyle \varnothing }$${\displaystyle X}$

空集合∅には一意の位相が存在します。唯一の開集合は空集合です。実際、これは ∅ の唯一の部分集合です。

同様に、単集合{ a }上には一意の位相が存在します。ここで、開集合は ∅ と { a } です。この位相は離散的かつ自明ですが、有限離散空間の族とより多くの特性を共有するため、いくつかの点で離散空間として考える方が適切です。

任意の位相空間Xに対して、 ∅ からXへの唯一の連続関数、つまり空関数が存在します。また、Xからシングルトン空間 { a } への唯一の連続関数、つまりaへの定数関数も存在します。圏論の言語では、空空間は位相空間の圏の初期オブジェクトとして機能し、シングルトン空間は終端オブジェクトとして機能します。

X = { a , b } を 2 つの要素を持つ集合とします。X には 4 つの異なる位相があります。

1. {∅, { a , b }} (自明な位相)
2. {∅, { a }, { a , b }}
3. {∅, { b }, { a , b }}
4. {∅, { a }, { b }, { a , b }} (離散位相)

上記の 2 番目と 3 番目の位相は、簡単に同相であることが分かります。X からそれ自身への a と b を入れ替える関数は同相です。これらのいずれかに同相な位相空間は、シェルピンスキー空間と呼ばれます。したがって、実際には、2 点集合上の同値でない位相は、自明な位相、離散的な位相、およびシェルピンスキー位相の 3 つだけです。

開集合{ b } を持つシェルピンスキー空間 { a , b }上の特殊化順序は、 a ≤ a、b ≤ b、およびa ≤ bで与えられる。

X = { a , b , c } を 3 つの要素を持つ集合とします。X には 29 種類の異なる位相がありますが、同値でない位相は 9 種類だけです。

1. {∅, { a , b , c }}
2. {∅, { c }, { a , b , c }}
3. {∅, { a , b }, { a , b , c }}
4. {∅, { c }, { a , b }, { a , b , c }}
5. {∅, { c }, { b , c }, { a , b , c }} ( T ₀ )
6. {∅, { c }, { a , c }, { b , c }, { a , b , c }} ( T ₀ )
7. {∅, { a }, { b }, { a , b }, { a , b , c }} ( T ₀ )
8. {∅, { b }, { c }, { a , b }, { b , c }, { a , b , c }} ( T ₀ )
9. {∅, { a }, { b }, { c } , { a、b }, { a、c }, { b、c }, { a、b、c }} ( T ₀ )

これらのうち最後の 5 つはすべてT ₀です。最初のものは自明ですが、2、3、4 では点aと点 b は位相的に区別できません。

X = { a , b , c , d } を 4 つの要素を持つ集合とします。X には 355 種類の異なる位相がありますが、同値でない位相は 33 種類だけです。

1. {∅, { a , b , c , d }}
2. {∅, { a , b , c }, { a , b , c , d }}
3. {∅, { a }, { a , b , c , d }}
4. {∅, { a }, { a、b、c }, { a、b、c、d }}
5. {∅, { a , b }, { a , b , c , d }}
6. {∅, { a , b }, { a , b , c }, { a , b , c , d }}
7. {∅, { a }, { a、b }, { a、b、c、d }}
8. {∅, { a }, { b }, { a、b }, { a、b、c、d }}
9. {∅, { a , b , c }, { d }, { a , b , c , d }}
10. {∅, { a }, { a、b、c }, { a、d }, { a、b、c、d }}
11. {∅, { a }, { a、b、c }, { d }, { a、d }, { a、b、c、d }}
12. {∅, { a }, { b , c }, { a , b , c }, { a , d }, { a , b , c , d }}
13. {∅, { a、b }, { a、b、c }, { a、b、d }, { a、b、c、d }}
14. {∅, { a , b }, { c }, { a , b , c }, { a , b , c , d }}
15. {∅, { a、b }, { c }, { a、b、c }, { a、b、d }, { a、b、c、d }}
16. {∅, { a、b }, { c }, { a、b、c }, { d }, { a、b、d }, { c、d }, { a、b、c、d }}
17. {∅, { b , c }, { a , d }, { a , b , c , d }}
18. {∅, { a }, { a、b }, { a、b、c }, { a、b、d }, { a、b、c、d }} ( T ₀ )
19. {∅, { a }, { a、b }, { a、c }, { a、b、c }, { a、b、c、d }} ( T ₀ )
20. {∅, { a }, { b }, { a、b }, { a、c }, { a、b、c }, { a、b、c、d }} ( T ₀ )
21. {∅, { a }, { a , b }, { a , b , c } , { a , b , c , d }} ( T0 ₎
22. {∅, { a }, { b }, { a、b }, { a、b、c }, { a、b、c、d }} ( T ₀ )
23. {∅, { a }, { a、b }, { c }, { a、c }, { a、b、c }, { a、b、d }, { a、b、c、d }} ( T ₀ )
24. {∅, { a }, { a、b }, { a、c }, { a、b、c }, { a、b、d }, { a、b、c、d }} ( T ₀ )
25. {∅, { a }, { b }, { a、b }, { a、b、c }, { a、b、d }, { a、b、c、d }} ( T ₀ )
26. {∅, { a }, { b }, { a、b }, { a、c }, { a、b、c }, { a、b、d }, { a、b、c、d }} ( T ₀ )
27. {∅, { a }, { b }, { a、b }, { b、c }, { a、b、c }, { a、d }, { a、b、d }, { a、b、c、d }} ( T ₀ )
28. {∅, { a }, { a、b }, { a、c }, { a、b、c }, { a、d }, { a、b、d }, { a、c、d }, { a、b、c、d }} ( T ₀ )
29. {∅, { a }, { b } , { a、b }, { a、c }, { a、b、c }, { a、d }, { a、b、d }, { a、c、d }, { a、b、c、d }} ( T ₀ )
30. {∅, { a }, { b }, { a、b }, { c }, { a、c }, { b、c }, { a、b、c }, { a、b、d }, { a、b、c、d }} ( T ₀ )
31. {∅, { a }, { b }, { a、b }, { c }, { a、c }, { b、c }, { a、b、c }, { a、d }, { a、b、d }, { a、c、d }, { a、b、c、d }} ( T ₀ )
32. {∅, { a }, { b }, { a、b }, { c }, { a、c }, { b、c }, { a、b、c }, { a、b、c、d }} ( T ₀ )
33. {∅, { a }, { b }, { a、b }, { c }, { a、c }, { b、c }, { a、b、c }, { d }, { a、d } , { b、d }, { a、b、d }, { c、d }, { a、c、d }, { b、c、d }, { a、b、c、d }} ( T ₀ )

最後の 16 個はすべてT ₀です。

有限集合X上の位相は、 X上の順序と一対一に対応しています。 X上の順序は、反射的かつ推移的なX上の二項関係であることを思い出してください。

位相空間X （必ずしも有限ではない）が与えられたとき、 X上の順序を次のように 定義できる。

x ≤ yであるのは、 x ∈ cl{ y }の場合のみである。

ここで cl{ y }は、単集合{ y }の閉包を表します。この順序は、 X上の特殊化順序と呼ばれます。 Xのすべての開集合U は、 ≤ に関して上集合になります(つまり、 x ∈ Uかつx ≤ yの場合、y ∈ Uです)。Xが有限の場合、逆も真です。つまり、すべての上集合はXで開いています。したがって、有限空間では、 X上の位相は≤ によって一意に決定されます。

逆に、( X ,≤) が順序付き集合であると仮定します。開集合を ≤ に関する上位集合として、X上の位相 τ を定義します。すると、関係 ≤ は ( X ,τ) の特殊化順序になります。このように定義された位相は、≤ によって決定されるアレクサンドロフ位相と呼ばれます。

前順序と有限位相の同値性は、バーコフの表現定理の一種、つまり有限分配格子（位相の開集合の格子）と半順序（前順序の同値類の半順序）の同値性として解釈できる。この対応は、有限生成空間と呼ばれるより大きなクラスの空間にも当てはまる。有限生成空間は、任意の開集合の交差が開いている空間として特徴付けることができる。有限位相空間は、有限生成空間の特別なクラスである。

あらゆる有限位相空間はコンパクトです。なぜなら、あらゆる開被覆は必ず有限だからです。実際、コンパクト空間は多くの同じ特性を共有するため、有限空間の一般化としてよく考えられています。

すべての有限位相空間は、第二可算（開集合が有限個しかない）かつ可分（空間自体が可算であるため）でもある。

有限位相空間がT ₁である場合(特に、ハウスドルフである場合)、それは実際には離散的である必要があります。これは、点の補空間が閉じた点の有限和であるため、閉じているためです。したがって、各点は開かなければなりません。

したがって、離散的ではない有限位相空間は、 T ₁、ハウスドルフ、またはそれより強いものにはなり得ません。

ただし、非離散有限空間がT ₀になる可能性はあります。一般に、2 つの点xとy が位相的に区別不可能なのは、 x ≤ yかつy ≤ xの場合のみです。ここで、 ≤ はX上の特殊化事前順序です。したがって、空間Xが T _{0となるのは、} X上の特殊化事前順序 ≤ が半順序である場合のみです。有限集合には多数の半順序が存在します。それぞれが一意の T ₀トポロジを定義します。

同様に、空間がR ₀となるのは、特殊化の順序が同値関係である場合に限ります。有限集合X上の任意の同値関係が与えられた場合、関連付けられた位相はX上の分割位相です。同値類は位相的に区別できない点の類になります。分割位相は擬似距離化可能であるため、有限空間が R ₀となるのは、それが完全に正則である場合に限ります。

非離散有限空間も正規空間になることがあります。任意の有限集合上の排除点位相は、非離散である 完全に正規のT _{0空間です。}

有限空間Xの接続性は、 X上の特殊化 preorder ≤ を考慮すると最もよく理解できます。Xの点を頂点として、 x ≤ yの場合は常に辺x → yを描くことで、任意の preordered セットXに有向グラフΓ を関連付けることができます。有限空間Xの接続性は、関連付けられたグラフ Γ の接続性を考慮することで理解できます。

任意の位相空間において、x ≤ yであれば、 xからyへのパスが存在します。t > 0の場合、 f (0) = xおよびf ( t ) = yと単純に取ることができます。 fが連続であることは簡単に確認できます。したがって、有限位相空間のパス成分は、関連するグラフ Γ の (弱)連結成分とまったく同じです。つまり、 xからyへの位相パスが存在するのは、 Γ の対応する頂点間に 無向パスが存在する場合のみです。

全ての有限空間は局所的にパス連結である。なぜなら、集合

${\displaystyle \mathop {\uparrow } x=\{y\in X:x\leq y\}}$

はxのパス連結開近傍であり、他のすべての近傍に含まれています。言い換えると、この単一の集合はxにおける局所基底を形成します。

したがって、有限空間が連結であるのは、パス連結である場合のみです。連結成分は、まさにパス成分です。そのような各成分は、Xにおいて閉じており、かつ開いています。

有限空間はより強い連結性を持つ可能性がある。有限空間Xは

• 特殊化順序に関して最大​​元が存在する場合にのみ超連結である。これは、その閉包が空間X全体である元である。
• 超連結であるのは、特殊化順序に関して最小の要素が存在する場合のみです。これは、空間X全体が唯一の近傍である要素です。

たとえば、有限空間上の特定の点の位相は超連結ですが、排除された点の位相は超連結です。シェルピンスキー空間は両方です。

有限位相空間が擬距離化可能であるのは、それがR ₀である場合に限る。この場合、擬距離化の可能な一つは次のように与えられる。

${\displaystyle d(x,y)={\begin{cases}0&x\equiv y\\1&x\not \equiv y\end{cases}}}$

ここでx ≡ y はxとyが位相的に区別できないことを意味します。有限位相空間は、離散的である場合にのみ 距離化可能です。

同様に、位相空間が均一化可能であるのは、 R ₀の場合のみです。均一構造は、上記の擬距離によって誘導される擬距離均一性になります。

意外かもしれませんが、非自明な基本群を持つ有限位相空間が存在します。簡単な例としては擬円が挙げられます。擬円は 4 つの点を持つ空間Xで、そのうち 2 つは開いており、2 つは閉じています。単位円 S ^1からXへの連続写像が存在し、これは弱いホモトピー同値です(つまり、ホモトピー群の同型性を誘導します)。したがって、擬円の基本群は無限巡回となります。

より一般的には、任意の有限抽象単体複体 Kに対して、有限位相空間X _Kと弱いホモトピー同値f  : | K | → X _Kが存在することが示されています。ここで、 | K | はKの幾何学的実現です。したがって、 | K | とX _Kのホモトピー群は同型です。実際、 X _Kの基底集合はK自体と見なすことができ、位相は包含半順序に関連付けられます。

上で述べたように、有限集合上の位相は集合上の前順序と一対一に対応しており、 T ₀位相は半順序と一対一に対応しています。したがって、有限集合上の位相の数は前順序の数に等しく、T ₀位相の数は半順序の数に等しくなります。

以下の表は、n個の要素を持つ集合上の異なる (T _{0 ) 位相の数を示しています。また、同値でない (つまり、}非同相な) 位相の数も示しています。

T ( n ) はn点の集合上の異なる位相の数を表します。任意のnに対してT ( n )を計算する簡単な公式は知られていません。オンライン整数シーケンス百科事典には現在、 n ≤ 18 に対するT ( n )が記載されています。

n点の集合上の異なるT ₀位相の数をT ₀ ( n )と表記すると、 T ( n )と次の式で 関係する。

${\displaystyle T(n)=\sum _{k=0}^{n}S(n,k)\,T_{0}(k)}$

ここでS ( n , k )は第二種スターリング数を表す。

• 有限幾何学
• 有限距離空間
• 位相的組合せ論

• May, JP (2003). 「有限位相空間に関するノートと参考資料」(PDF) . REU 向けノート.