カバー（トポロジー）

数学、特に集合論において、集合の被覆（または被覆）^{[ 1 ]とは、}${\displaystyle X}$は、 の部分集合のファミリーです。${\displaystyle X}$その連合は${\displaystyle X}$より正式には、${\displaystyle C=\lbrace U_{\alpha }:\alpha \in A\rbrace }$は、インデックス付きのサブセットの族である。${\displaystyle U_{\alpha }\subset X}$（セットによってインデックス付けされる）${\displaystyle A}$）、 それから${\displaystyle C}$はカバーです${\displaystyle X}$もし $${\displaystyle \bigcup _{\alpha \in A}U_{\alpha }=X.}$$ したがってコレクション${\displaystyle \lbrace U_{\alpha }:\alpha \in A\rbrace }$はカバーです${\displaystyle X}$各要素が${\displaystyle X}$少なくとも1つのサブセットに属する$\displaystyle U_{\alpha }}$。

カバーはトポロジーの文脈でよく使われます。集合が${\displaystyle X}$が位相空間であるならば、被覆${\displaystyle C}$の${\displaystyle X}$部分集合の集合である${\displaystyle \{U_{\alpha }\}_{\alpha \in A}}$の${\displaystyle X}$その結合は全空間である${\displaystyle X=\bigcup _{\alpha \in A}U_{\alpha }}$。 この場合${\displaystyle C}$カバーすると言われている${\displaystyle X}$または、セットが$\displaystyle U_{\alpha }}$カバー${\displaystyle X}$[ ^{1 ]​}

もし${\displaystyle Y}$は（位相的）部分空間である${\displaystyle X}$カバー${\displaystyle Y}$部分集合の集合である${\displaystyle C=\{U_{\alpha }\}_{\alpha \in A}}$の${\displaystyle X}$その結合には${\displaystyle Y}$つまり、${\displaystyle C}$はカバーです${\displaystyle Y}$もし $${\displaystyle Y\subseteq \bigcup _{\alpha \in A}U_{\alpha }.}$$ ここ、${\displaystyle Y}$どちらのセットでもカバーできます${\displaystyle Y}$親空間内の自身またはセット${\displaystyle X}$。

カバー${\displaystyle X}$は、すべての点が局所的に有限であると言われます。${\displaystyle X}$被覆内の有限個の集合とのみ交差する近傍を持つ。形式的には、${\displaystyle C=\{U_{\alpha }\}}$は、任意の${\displaystyle x\in X}$近隣地域が存在する${\displaystyle N(x)}$の${\displaystyle x}$その集合が $${\displaystyle \left\{\alpha \in A:U_{\alpha }\cap N(x)\neq \varnothing \right\}}$$ 有限です。${\displaystyle X}$は、すべての点が有限点である場合に点有限であると言われます。${\displaystyle X}$カバー内の有限個の集合にのみ含まれる。^{[ 1 ]}カバーは局所的に有限であれば点有限であるが、その逆は必ずしも真ではない。

させて${\displaystyle C}$位相空間の被覆となる${\displaystyle X}$.サブカバー${\displaystyle C}$は、${\displaystyle C}$それはまだカバーしている${\displaystyle X}$表紙${\displaystyle C}$と言われている各要素が開集合である場合、開被覆となる。つまり、各要素が$\displaystyle U_{\alpha }}$に含まれる${\displaystyle T}$、 どこ${\displaystyle T}$トポロジーは${\displaystyle X}$[ ^{1 ]​}

部分カバーを得る簡単な方法は、カバー内の別のセットに含まれるセットを除外することです。特に開いたカバーを考えてみましょう。$\displaystyle {\mathcal {B}}}$位相的基底となる${\displaystyle X}$そして${\displaystyle {\mathcal {O}}}$開いたカバー${\displaystyle X}$まず、${\displaystyle {\mathcal {A}}=\{A\in {\mathcal {B}}:{\text{ある}}U\in {\mathcal {O}}{\text{が存在して}}A\subseteq U\}}$。 それから${\displaystyle {\mathcal {A}}}$は、${\displaystyle {\mathcal {O}}}$次に、各${\displaystyle A\in {\mathcal {A}},}$選択できる${\displaystyle U_{A}\in {\mathcal {O}}}$含む${\displaystyle A}$（選択公理を必要とする）。すると${\displaystyle {\mathcal {C}}=\{U_{A}\in {\mathcal {O}}:A\in {\mathcal {A}}\}}$はサブカバーです${\displaystyle {\mathcal {O}}.}$したがって、開被覆の部分被覆の濃度は、任意の位相基底の濃度と同じくらい小さくなり得る。したがって、第2可算性は空間がリンデレーフであることを意味する。

カバーの改良${\displaystyle C}$位相空間の${\displaystyle X}$新しいカバーです${\displaystyle D}$の${\displaystyle X}$すべての集合が${\displaystyle D}$は、ある集合に含まれる${\displaystyle C}$正式には、

${\displaystyle D=\{V_{\beta }\}_{\beta \in B}}$は、${\displaystyle C=\{U_{\alpha }\}_{\alpha \in A}}$すべての場合${\displaystyle \beta \in B}$存在する${\displaystyle \alpha \in A}$そのため${\displaystyle V_{\beta }\subseteq U_{\alpha }.}$

言い換えれば、精緻化マップが存在する。${\displaystyle \phi :B\to A}$満足${\displaystyle V_{\beta }\subseteq U_{\phi (\beta )}}$すべての${\displaystyle \beta \in B.}$この写像は、例えば、チェコのコホモロジーで使用されて いる。${\displaystyle X}$[ ^{2 ]​}

すべての部分被覆は同時に精緻化でもあるが、その逆は必ずしも真ではない。部分被覆は被覆に含まれる集合から一部を除外して作られるのに対し、精緻化は被覆に含まれる集合の部分集合である任意の集合から作られる。

カバーの集合上の精緻化関係${\displaystyle X}$推移的かつ反射的、つまり前順序である。非対称になることは決してない。${\displaystyle X\neq \emptyset }$。

一般的に言えば、与えられた構造の改良とは、ある意味でそれを含む別の構造のことである。例としては、区間を分割する場合（${\displaystyle a_{0}<a_{1}<\cdots <a_{n}}$いる${\displaystyle a_{0}<b_{0}<a_{1}<a_{2}<\cdots <a_{n-1}<b_{1}<a_{n}}$)位相を考慮すると(ユークリッド空間の標準位相は自明な位相の細分化である)。単体複体を細分化する場合(単体複体の最初の重心細分化は細分化である)、状況は少し異なります。より細かい複体内のすべての単体は、より粗い複体のいずれかの単体の面であり、両方とも同じ基礎多面体を持っています。

さらに別の洗練の概念として、星の洗練というものがある。

カバーの言語は、コンパクト性に関連するいくつかの位相的性質を定義するためによく使用されます。位相空間${\displaystyle X}$次のように言われている。

• コンパクトであるとは、すべての開被覆が有限部分被覆を持つ場合（または同等に、すべての開被覆が有限細分を持つ場合）をいう。
• リンデレーフは、すべての開被覆が可算部分被覆を持つ場合（または同等に、すべての開被覆が可算細分を持つ場合）を述べている。
• メタコンパクト：すべての開被覆が点有限な開細分を持つ場合。
• パラコンパクト：すべての開被覆が局所的に有限な開細分を許容する場合。
• 正コンパクト：すべての開被覆が内部を保存する開細分を持つ場合。

その他のバリエーションについては、上記の記事を参照してください。

位相空間${\displaystyle X}$カバー寸法は${\displaystyle n}$すべての開いたカバー${\displaystyle X}$点有限の開いた細分化があり、${\displaystyle X}$以上の${\displaystyle n+1}$精製で設定し、${\displaystyle n}$これは、これが成り立つ最小値です。^{[ 3 ]}そのような最小値がない場合${\displaystyle n}$空間が存在する場合、その空間は無限の被覆次元を持つと言われる。

• アトラス（トポロジー）– 多様体を記述する図表の集合 
• ボルノロジー– 有界性の数学的一般化 
• 空間を覆う– トポロジーにおける連続マップの種類 
• グロタンディーク位相幾何学– 数学的構造 
• 集合の分割– 集合の要素をグループ化する数学的な方法 
• 集合被覆問題― 組み合わせ論における古典的な問題 
• 星の精緻化
• 下地舗装– 幾何学的オブジェクト 

• トポロジー入門、第2版、セオドア・W・ガメリン＆ロバート・エヴェリスト・グリーン著。ドーバー出版、1999年。ISBN 0-486-40680-6
• ケリー、ジョン・L. (1975) [1955].一般位相幾何学.大学院数学テキスト. 第27巻 (第2 版). ニューヨーク: シュプリンガー・フェルラーク. ISBN 978-0-387-90125-1OCLC 1365153。​ 

• 「（集合の）被覆」、数学百科事典、EMS Press、2001 [1994]