ノルムベクトル空間

数学において、ノルムベクトル空間またはノルム空間は、ノルムが定義されている実数または複素数上のベクトル空間です。 ^[1]ノルムは、物理世界における「長さ」という直観的な概念を一般化したものです。 が上のベクトル空間であり、が または に等しい体である場合、 上のノルムは、通常 と表記される写像 であり、次の 4 つの公理を満たします。 ${\displaystyle V}$${\displaystyle K}$${\displaystyle K}$${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle \mathbb {C} }$${\displaystyle V}$${\displaystyle V\to \mathbb {R} }$${\displaystyle \lVert \cdot \rVert }$

1. 非負性: すべての に対して、。${\displaystyle x\in V}$${\displaystyle \;\lVert x\rVert \geq 0}$
2. 正定値性: 任意の に対して、が零ベクトルである場合に限ります。${\displaystyle x\in V}$${\displaystyle \;\lVert x\rVert =0}$${\displaystyle x}$
3. 絶対同次性: 任意のおよびに対して、${\displaystyle \lambda \in K}$${\displaystyle x\in V}$$${\displaystyle \lVert \lambda x\rVert =|\lambda |\,\lVert x\rVert }$$
4. 三角不等式：任意のおよびに対して、${\displaystyle x\in V}$${\displaystyle y\in V}$$${\displaystyle \|x+y\|\leq \|x\|+\|y\|.}$$

が上記のように実数または複素数ベクトル空間であり、が上のノルムである場合、順序付きペアはノルムベクトル空間と呼ばれます。文脈からどのノルムを意図しているかが明らかな場合は、ノルムベクトル空間を単に と表記するのが一般的です。 ${\displaystyle V}$${\displaystyle \lVert \cdot \rVert }$${\displaystyle V}$${\displaystyle (V,\lVert \cdot \rVert )}$${\displaystyle V}$

ノルムは、任意のノルム付きベクトル空間を距離空間と位相ベクトル空間 にする公式によって、 距離を誘導します。この距離空間が完備であれば、ノルム付き空間はバナッハ空間です。すべてのノルム付きベクトル空間はバナッハ空間に「一意に拡張」することができ、これによりノルム付き空間はバナッハ空間と密接に関連します。すべてのバナッハ空間はノルム付き空間ですが、その逆は成り立ちません。たとえば、実数の有限列の集合はユークリッドノルムでノルム化できますが、このノルムに対しては完備ではありません。 $${\displaystyle d(x,y)=\|yx\|.}$$

内積空間は、ノルムがベクトルとそれ自身の内積の平方根であるノルム付きベクトル空間である。ユークリッドベクトル空間のユークリッドノルムは、ユークリッド距離を次の式で 定義できる特別なケースである。$${\displaystyle d(A,B)=\|{\overrightarrow {AB}}\|.}$$

ノルム空間とバナッハ空間の研究は、数学の主要な分野である 関数解析の基本的な部分です。

ノルムベクトル空間はノルムを備えたベクトル空間である。半ノルムベクトル空間は、半ノルムを備えたベクトル空間です。

三角不等式の便利なバリエーションは、 任意のベクトルと$${\displaystyle \|xy\|\geq |\|x\|-\|y\||}$$${\displaystyle x}$${\displaystyle y.}$

これは、ベクトルノルムが（一様）連続関数であることも示しています。

特性 3 は、スカラー体上のノルムの選択に依存します。スカラー体が（またはより一般的には のサブセット）のとき、これは通常、通常の絶対値とみなされますが、他の選択も可能です。たとえば、 上のベクトル空間では、を-進絶対値とすることができます。 ${\displaystyle |\alpha |}$${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle \mathbb {C} }$${\displaystyle \mathbb {Q} }$${\displaystyle |\alpha |}$${\displaystyle p}$

がノルムベクトル空間である場合、ノルムは計量（距離の概念）を誘導し、したがって上の位相この計量は自然な方法で定義されます。つまり、2 つのベクトルとの間の距離は によって与えられます。この位相は、連続となり、次の意味で の線型構造と互換性を持つ最も弱い位相です。 ${\displaystyle (V,\|\,\cdot \,\|)}$${\displaystyle \|\,\cdot \,\|}$${\displaystyle V.}$${\displaystyle \mathbf {u} }$${\displaystyle \mathbf {v} }$${\displaystyle \|\mathbf {u} -\mathbf {v} \|.}$${\displaystyle \|\,\cdot \,\|}$${\displaystyle V}$

1. ベクトルの加算はこの位相に関して共連続である。これは三角不等式から直接導かれる。${\displaystyle \,+\,:V\times V\to V}$
2. が の基礎となるスカラー体であるスカラー乗算は、共連続です。これは、三角不等式とノルムの同次性から導かれます。${\displaystyle \,\cdot \,:\mathbb {K} \times V\to V,}$${\displaystyle \mathbb {K} }$${\displaystyle V,}$

同様に、任意の半ノルムベクトル空間に対して、2 つのベクトルとの距離をと定義できます。これにより、半ノルム空間は擬距離空間(距離よりも弱いことに注意)になり、連続性や収束などの概念を定義できるようになります。より抽象的に言えば、すべての半ノルムベクトル空間は位相ベクトル空間であり、したがって半ノルムによって誘導される 位相構造を持ちます。${\displaystyle \mathbf {u} }$${\displaystyle \mathbf {v} }$${\displaystyle \|\mathbf {u} -\mathbf {v} \|.}$

特に興味深いのは、バナッハ空間として知られる完全なノルム空間である。すべてのノルムベクトル空間は、何らかのバナッハ空間内の稠密な部分空間として存在する。このバナッハ空間は本質的に一意に定義され、${\displaystyle V}$${\displaystyle V}$${\displaystyle V.}$

同じベクトル空間上の 2 つのノルムは、同じ位相を定義する場合、同等であると呼ばれます。有限次元ベクトル空間では、すべてのノルムは同等ですが、無限次元ベクトル空間ではそうではありません。

有限次元ベクトル空間上のすべてのノルムは、位相の観点からは同等であり、同じ位相を誘導します（ただし、結果として得られる距離空間は同じである必要はありません）。^[2]また、任意のユークリッド空間は完備であるため、すべての有限次元ノルムベクトル空間はバナッハ空間であると結論付けることができます。 ノルムベクトル空間が局所コンパクトであるための必要十分条件は、単位球がコンパクトである場合であり、これは が有限次元である場合に限ります。これはリースの補題の結果です。（実際、より一般的な結果が真です。位相ベクトル空間が局所コンパクトであるための必要十分条件は、それが有限次元である場合です。ここでのポイントは、位相がノルムから来ると仮定していないことです。） ${\displaystyle V}$${\displaystyle B=\{x:\|x\|\leq 1\}}$${\displaystyle V}$

半ノルムベクトル空間の位相には多くの優れた性質がある。0の周りの近傍系 が与えられれば、他のすべての近傍系を 次 のように構築できる。 ${\displaystyle {\mathcal {N}}(0)}$$${\displaystyle {\mathcal {N}}(x)=x+{\mathcal {N}}(0):=\{x+N:N\in {\mathcal {N}}(0)\}}$$$${\displaystyle x+N:=\{x+n:n\in N\}.}$$

さらに、吸収集合と凸集合からなる原点の近傍基底が存在します。この性質は関数解析で非常に役立つため、この性質を持つノルムベクトル空間の一般化は局所凸空間という名前で研究されています。

位相ベクトル空間上のノルム（または半ノルム）が連続であるための必要十分条件は、に誘導する位相がよりも粗い場合（つまり）であり、これはに開いている（となるが、これは異なる）。 ${\displaystyle \|\cdot \|}$${\displaystyle (X,\tau )}$${\displaystyle \tau_{\|\cdot\|}}$${\displaystyle \|\cdot \|}$${\displaystyle X}$${\displaystyle \tau}$${\displaystyle \tau _{\|\cdot \|}\subseteq \tau }$${\displaystyle B}$${\displaystyle (X,\|\cdot \|)}$${\displaystyle \{x\in X:\|x\|<1\}}$${\displaystyle (X,\tau )}$${\displaystyle B\in \tau }$

位相ベクトル空間が ノルム可能と呼ばれるのは、そのノルムが存在し、その標準計量がその位相を誘導する場合である。次の定理はコルモゴロフ によるものである：^[3]${\displaystyle (X,\tau )}$${\displaystyle \|\cdot \|}$${\displaystyle X}$${\displaystyle (x,y)\mapsto \|yx\|}$${\displaystyle \tau}$${\displaystyle X.}$

コルモゴロフの規範可能性基準：ハウスドルフ位相ベクトル空間が規範可能であるのは、その空間に凸なフォン・ノイマン境界近傍${\displaystyle 0\in X.}$

ノルム可能空間の族の積がノルム可能であるのは、有限個の空間のみが非自明である場合（つまり、 である場合）に限ります。^[3]さらに、ノルム可能空間を閉ベクトル部分空間で割った商はノルム可能であり、さらにの位相がノルムで与えられる場合、で与えられる写像は 上の明確に定義されたノルムであり、上の商位相を誘導します^[4]${\displaystyle \neq \{0\}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle C}$${\displaystyle X}$${\displaystyle \|\,\cdot ,\|}$${\displaystyle X/C\to \mathbb {R} }$${\textstyle x+C\mapsto \inf _{c\in C}\|x+c\|}$${\displaystyle X/C}$${\displaystyle X/C.}$

がハウスドルフ局所凸位相ベクトル空間である場合、以下は同値です。 ${\displaystyle X}$

1. ${\displaystyle X}$規範的です。
2. ${\displaystyle X}$原点の有界近傍を持ちます。
3. の強双対空間 は正規化可能である。^[5]${\displaystyle X_{b}^{\prime}}$${\displaystyle X}$
4. の強双対空間は距離化可能である。^[5]${\displaystyle X_{b}^{\prime}}$${\displaystyle X}$

さらに、が有限次元であるためには、 がノルム可能である必要があります (ここで は弱*位相を備えていることを示します)。 ${\displaystyle X}$${\displaystyle X_{\sigma}^{\prime}}$${\displaystyle X_{\sigma}^{\prime}}$${\displaystyle X^{\prime}}$

テスト関数と超関数の空間に関する記事で定義されているフレシェ空間の位相は、ノルムの可算な族によって定義されますが、このノルムが誘導する位相が${\displaystyle \tau}$ ${\displaystyle C^{\infty }(K),}$${\displaystyle \|\cdot \|}$${\displaystyle C^{\infty }(K)}$${\displaystyle \tau .}$

距離化可能な位相ベクトル空間がノルムの族によって定義される位相を持つとしても、それでもなおノルム可能空間ではない可能性がある（つまり、その位相は単一のノルムによって定義できない）。そのような空間の例は、テスト関数と超関数の空間に関する記事で定義されるフレシェ空間 である。なぜなら、その位相はノルムの可算な族によって定義されるが、このノルムが誘導する位相が に等しい 上のノルムが存在しないために、それはノルム可能空間ではないからである。 実際、局所凸空間の位相が上のノルムの族によって定義される となるためには、 上に少なくとも 1 つの連続ノルムが存在する必要がある^[6]。${\displaystyle C^{\infty }(K),}$${\displaystyle \tau}$${\displaystyle \|\cdot \|}$${\displaystyle C^{\infty }(K)}$${\displaystyle \tau .}$ ${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X.}$

2 つのノルムベクトル空間間の最も重要な写像は連続 線型写像です。これらの写像とともに、ノルムベクトル空間はカテゴリを形成します。

ノルムはベクトル空間上の連続関数です。有限次元ベクトル空間間のすべての線型写像も連続です。

2 つのノルム付きベクトル空間間の等長写像は、ノルム (すべてのベクトル の意味) を保存する線型写像です。等長写像は常に連続かつ単射です。ノルム付きベクトル空間と間の全射等長写像は等長同型と呼ばれ、と は等長同型 と呼ばれます。等長同型のノルム付きベクトル空間は、実用上は同一です。 ${\displaystyle f}$${\displaystyle \|f(\mathbf {v} )\|=\|\mathbf {v} \|}$${\displaystyle \mathbf {v} }$${\displaystyle V}$${\displaystyle W}$${\displaystyle V}$${\displaystyle W}$

ノルムベクトル空間について話すとき、ノルムを考慮に入れるために双対空間の概念を拡張します。ノルムベクトル空間の双対は、 から基底体 (複素数または実数) へのすべての連続線型写像の空間です。このような線型写像は「汎関数」と呼ばれます。 汎関数のノルムは、 のすべての単位ベクトル (つまり、ノルム のベクトル)にわたるの上限として定義されます。これは、ノルムベクトル空間になります。 ノルムベクトル空間上の連続線型関数に関する重要な定理は、ハーン-バナッハの定理です。 ${\displaystyle V^{\prime}}$${\displaystyle V}$${\displaystyle V}$${\displaystyle \varphi}$${\displaystyle |\varphi (\mathbf {v} )|}$${\displaystyle \mathbf {v} }$${\displaystyle 1}$${\displaystyle V.}$${\displaystyle V^{\prime}}$

多くのノルム空間（特にバナッハ空間）の定義には、ベクトル空間上に定義された半ノルムが含まれ、ノルム空間は半ノルムがゼロの元の部分空間による商空間として定義されます。たとえば、空間 では、によって定義される関数は、 右辺のルベーグ積分が定義され有限 であるすべての関数のベクトル空間上の半ノルムです。ただし、ルベーグ測度がゼロの集合でサポートされる任意の関数の場合、半ノルムはゼロに等しくなります。これらの関数は、私たちが「商を取る」部分空間を形成し、ゼロ関数と等しくなります。 ${\displaystyle L^{p}}$$${\displaystyle \|f\|_{p}=\left(\int |f(x)|^{p}\;dx\right)^{1/p}}$$

半ノルム空間が与えられた場合、積空間は次のよう に表される 。ここでベクトル加算は次のように定義され 、スカラー乗算は次のように定義される。 ${\displaystyle n}$${\displaystyle \left(X_{i},q_{i}\right)}$${\displaystyle q_{i}:X_{i}\to \mathbb {R} ,}$$${\displaystyle X:=\prod _{i=1}^{n}X_{i}}$$$${\displaystyle \left(x_{1},\ldots ,x_{n}\right)+\left(y_{1},\ldots ,y_{n}\right):=\left(x_{1}+y_{1},\ldots ,x_{n}+y_{n}\right)}$$$${\displaystyle \alpha \left(x_{1},\ldots ,x_{n}\right):=\left(\alpha x_{1},\ldots ,\alpha x_{n}\right).}$$

が上の半ノルムと なる新しい関数を定義します。関数がノルムとなるのは、すべてがノルムである場合のみです。 ${\displaystyle q:X\to \mathbb {R} }$$${\displaystyle q\left(x_{1},\ldots ,x_{n}\right):=\sum _{i=1}^{n}q_{i}\left(x_{i}\right),}$$${\displaystyle X.}$${\displaystyle q}$${\displaystyle q_{i}}$

より一般的には、各実数に対して、によって定義される マップは 半ノルムです。それぞれに対して、これは同じ位相空間を定義します。 ${\displaystyle p\geq 1}$${\displaystyle q:X\to \mathbb {R} }$$${\displaystyle q\left(x_{1},\ldots ,x_{n}\right):=\left(\sum _{i=1}^{n}q_{i}\left(x_{i}\right)^{p}\right)^{\frac {1}{p}}}$$${\displaystyle p}$

初等線型代数を含む直接的な議論は、有限次元の半ノルム空間は、ノルム空間と自明な半ノルムを持つ空間の積空間として生じるものだけであることを示しています。その結果、半ノルム空間のより興味深い例と応用の多くは、無限次元ベクトル空間で発生します。

• バナッハ空間、ノルムによって誘導される計量に関して完備なノルムベクトル空間
• Banach–Mazur COMPACTUM  – 機能解析における概念
• フィンスラー多様体では、各接線ベクトルの長さはノルムによって決定される。
• 内積空間、ノルムが内積で与えられるノルム付きベクトル空間
• コルモゴロフの規範可能性基準 – 規範可能空間の特徴
• 局所凸位相ベクトル空間- 凸開集合によって定義される位相を持つベクトル空間
• 空間（数学） - 何らかの構造が追加された数学的な集合
• 位相ベクトル空間 – 近接性の概念を持つベクトル空間

• ルディン、ウォルター(1991)。関数解析。国際純粋・応用数学シリーズ。第 8 巻 (第 2 版)。ニューヨーク、NY: McGraw - Hill Science/Engineering/ Math。ISBN 978-0-07-054236-5. OCLC  21163277.
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• Rolewicz, Stefan (1987)、関数解析と制御理論: 線形システム、数学とその応用 (東ヨーロッパシリーズ)、第 29 巻 (ポーランド語からの翻訳、Ewa Bednarczuk 編)、ドルドレヒト、ワルシャワ: D. Reidel Publishing Co.、PWN—Polish Scientific Publishers、pp. xvi+524、doi :10.1007/978-94-015-7758-8、ISBN 90-277-2186-6、MR  0920371、OCLC  13064804
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• ウィキメディア・コモンズの標準化空間に関連するメディア