ボックストポロジー

以下の例はヒルベルトキューブに基づいています。Rω^{を R}とR自身の可算デカルト積、すなわちR内のすべてのシーケンスの集合とします。R には標準位相を、Rω にはボックス位相をそれぞれ適用します。以下を定義し^ます。

${\displaystyle {\begin{cases}f:\mathbf {R} \to \mathbf {R} ^{\omega }\\x\mapsto (x,x,x,\ldots )\end{cases}}}$

したがって、すべての成分関数は恒等関数であり、したがって連続ですが、fが連続ではないことを示します。これを確認するには、開集合を考えます。

${\displaystyle U=\prod _{n=1}^{\infty }\left(-{\tfrac {1}{n}},{\tfrac {1}{n}}\right).}$

fが連続関数であると仮定する。すると、次のようになる。

${\displaystyle f(0)=(0,0,0,\ldots )\in U,}$

存在するべきである${\displaystyle \varepsilon >0}$そのため${\displaystyle (-\varepsilon ,\varepsilon )\subset f^{-1}(U).}$しかし、これは次のことを意味するだろう

${\displaystyle f\left({\tfrac {\varepsilon }{2}}\right)=\left({\tfrac {\varepsilon }{2}},{\tfrac {\varepsilon }{2}},{\tfrac {\varepsilon }{2}},\ldots \right)\in U,}$

これは誤りです。${\displaystyle {\tfrac {\varepsilon }{2}}>{\tfrac {1}{n}}}$のために${\displaystyle n>{\tfrac {2}{\varepsilon }}.}$したがって、f は、その構成要素となるすべての関数が連続であっても、連続ではない。

可算積を考える${\displaystyle X=\prod _{i\in \mathbb {N} }X_{i}}$ここで、各iについて、${\displaystyle X_{i}=\{0,1\}}$離散トポロジーで。ボックストポロジーは${\displaystyle X}$離散トポロジーも離散トポロジーになります。離散空間は有限である場合に限りコンパクトであるため、すぐに次のことがわかります。${\displaystyle X}$構成要素となる空間はコンパクトであるにもかかわらず、全体はコンパクトではない。

${\displaystyle X}$も逐次コンパクトではない。次の数列を考えてみよう。${\displaystyle \{x_{n}\}_{n=1}^{\infty }}$によって与えられた

${\displaystyle (x_{n})_{m}={\begin{cases}0&m<n\\1&m\geq n\end{cases}}}$

数列のどの2点も同じではないので、数列には極限点がなく、したがって${\displaystyle X}$逐次コンパクトではない。

位相は、シーケンスがどのように収束するかを記述することで最もよく理解されることが多い。一般に、空間のデカルト積は${\displaystyle X}$インデックス集合上でそれ自身と対比する${\displaystyle S}$はまさに関数の空間である${\displaystyle S}$に${\displaystyle X}$、と表記される$\prod _{s\in S}X=X^{S}}$積位相は点ごとの収束の位相を与える。関数列は、すべての点で収束する場合に限り収束する。${\displaystyle S}$。

ボックストポロジーは積トポロジーよりも細かいので、ボックストポロジーにおける数列の収束はより厳しい条件となる。${\displaystyle X}$ハウスドルフは、${\displaystyle (f_{n})_{n}}$関数の${\displaystyle X^{S}}$ボックストポロジー内で関数に収束する${\displaystyle f\in X^{S}}$点ごとに収束する場合に限り、${\displaystyle f}$そして有限部分集合が存在する${\displaystyle S_{0}\subset S}$そして、${\displaystyle N}$すべての${\displaystyle n>N}$シーケンス${\displaystyle (f_{n}(s))_{n}}$で${\displaystyle X}$すべての$s ∈ S ∉ S₀$言い換えれば、シーケンス${\displaystyle (f_{n}(s))_{n}}$ほぼすべての${\displaystyle s}$そして均一な方法で。^{[ 3 ]}