可算位相

任意の集合X上の可算位相または可算補位相は、空集合とXのすべての可算部分集合、つまりXの補集合が可算であるすべての集合から構成される。したがって、閉じた部分集合はXとXの可算部分集合 のみである。記号的に、位相は次のように記述される。 $${\displaystyle {\mathcal {T}}=\{A\subseteq X:A=\varnothing {\mbox{ or }}X\setminus A{\mbox{ is countable}}\}}.}$$

可算位相を持つすべての集合X はリンデレフである。これは、すべての空でない開集合がXの点を可算個だけ省略しているためである。また、すべてのシングルトンが閉じているため、 T ₁でもある。

Xが非可算集合である場合、任意の 2 つの空でない開集合は交差するため、空間はハウスドルフではありません。ただし、可算位相では、すべての収束シーケンスは最終的に定数になるため、極限は一意です。Xのコンパクト セットは有限部分集合であるため、すべてのコンパクト サブセットは閉じており、これは通常、ハウスドルフ分離公理に関連する別の条件です。

可算集合上の余可算位相は離散位相です。非可算集合上の余可算位相は超連結なので連結、局所連結、擬コンパクトですが、弱可算コンパクトでも可算メタコンパクトでもないため、コンパクトではありません。

• 余有限位相幾何学
• トポロジのリスト

• スティーン、リン・アーサー;シーバッハ、J.アーサー・ジュニア(1995) [1978]、位相幾何学における反例( 1978年版のドーバー再版)、ベルリン、ニューヨーク:シュプリンガー・フェアラーク、ISBN 978-0-486-68735-3、MR  0507446 （例20参照）