幾何学的流れ

微分幾何学の数学の分野において、幾何学的フローは、幾何学的発展方程式とも呼ばれ、リーマン計量や埋め込みなどの幾何学的オブジェクトに対する偏微分方程式の一種です。正式な意味を持つ用語ではありませんが、通常は放物型偏微分方程式を指すものと理解されています。

ある種の幾何学的フローは、通常何らかの外在的または内在的曲率と関連した幾何学的解釈を持つ多様体上の関数に関連付けられた勾配フローとして発生します。このようなフローは基本的に変分法と関連しており、平均曲率フローや山辺フローが含まれます。

外在的幾何フローは、埋め込まれた部分多様体、またはより一般的には 浸漬された部分多様体上の流れです。一般に、それらはリーマン計量と浸漬の両方を変更します。

• 石鹸膜のような平均曲率の流れ。臨界点は極小面である。
• 曲線短縮フロー、平均曲率フローの一次元の場合
• ウィルモアフロー、球のミニマックス反転など
• 逆平均曲率フロー

固有の幾何フローは、埋め込みや浸漬とは無関係な リーマン計量上のフローです。

• リッチフロー、ポアンカレ予想の解決、リチャード・S・ハミルトンの均一化定理の証明など
• カラビフロー、ケーラー計量のためのフロー
• ヤマベの流れ

フローの重要なクラスには、曲率フロー、変分フロー（一部の関数を極値化する）、放物型偏微分方程式の解として生じるフローがあります。与えられたフローは、次のように、これらの解釈をすべて許容することがよくあります。

楕円演算子 が与えられた場合、放物型偏微分方程式は流れを生成し、流れの定常状態は楕円偏微分方程式の解である。${\displaystyle L,}$${\displaystyle u_{t}=Lu}$ ${\displaystyle Lu=0.}$

方程式が何らかの関数に対するオイラー・ラグランジュ方程式である場合、その流れは、勾配流れと流れの定常状態が関数の臨界点に対応するため、変分解釈を持ちます。 ${\displaystyle Lu=0}$${\displaystyle F,}$${\displaystyle F,}$

幾何学的フローのコンテキストでは、関数は多くの場合、何らかの曲率のノルムになります。 ${\displaystyle L^{2}}$

したがって、曲率が与えられた場合、楕円演算子と関連する放物型偏微分方程式に対するオイラー・ラグランジュ方程式を持つ関数を定義できる。${\displaystyle K,}$${\displaystyle F(K)=\|K\|_{2}:=\left(\int _{M}K^{2}\right)^{1/2},}$${\displaystyle Lu=0}$${\displaystyle L,}$${\displaystyle u_{t}=Lu.}$

リッチフロー、カラビフロー、ヤマベフローはこのようにして発生します（場合によっては正規化されます）。

曲率フローは体積を保存する場合と保存しない場合があり(カラビフローは保存しますが、リッチフローは保存しません)、保存しない場合は、フローはメトリックを正規化するのではなく、単に多様体を縮小または拡大する場合があります。したがって、たとえば体積を固定することによってフローを正規化することがよくあります。

• 調和マップ熱流
• 曲線短縮フロー

• Bakas, Ioannis (2005 年 10 月 14 日) [2005 年 7 月 28 日 (v1)]. 「2 次元における幾何学的流れの代数的構造」. Journal of High Energy Physics . 2005 (10): 038. arXiv : hep-th/0507284 . Bibcode :2005JHEP...10..038B. doi :10.1088/1126-6708/2005/10/038. S2CID  15924056.

• Bakas, Ioannis (2007). 「くりこみ群方程式と幾何学的フロー」. arXiv : hep-th/0702034 .