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点集合位相幾何学という数学の分野において、連続体（連続体、複数形は「連続体」）は、空でないコンパクト連結距離空間、または、それほど頻繁ではないが、コンパクト連結ハウスドルフ空間である。連続体理論は、連続体の研究に特化した 位相幾何学の一分野である。
定義
- 複数の点を含む連続体は非縮退と呼ばれます。
- 連続体Xの部分集合Aで、A自体が連続体であるものをXの部分連続体と呼ぶ。ユークリッド平面R 2の部分連続体に同相な空間を平面連続体と呼ぶ。
- 連続体Xが同次であるとは、 X内の任意の2 つの点xとyに対して、 h ( x ) = yとなる同相写像h : X → Xが存在する場合を言います。
- ペアノ連続体は、各点で局所的に接続された連続体です。
- 分解不可能な連続体とは、2 つの適切な部分連続体の結合として表すことができない連続体です。連続体Xのすべての部分連続体が分解不可能である場合、連続体Xは遺伝的に分解不可能です。
- 連続体の次元は通常、その位相次元を意味します。1次元の連続体は曲線と呼ばれることがよくあります。
例
- 弧は閉区間[0,1]に同相な空間です。 h : [0,1] → Xが同相でh (0) = pかつh (1) = qの場合、pとq はXの端点と呼ばれます。また、X はpからqへの弧であるとも言われます。 弧は連続体の最も単純で最もよく知られているタイプです。これは 1 次元で、弧状連結であり、局所連結です。
- 位相幾何学の正弦曲線は、関数f ( x ) = sin(1/ x ), 0 < x ≤ 1のグラフとy軸の線分 −1 ≤ y ≤ 1の和集合である平面の部分集合です。これは、円弧状に接続されていない 1 次元の連続体であり、 y軸に沿った点で局所的に切断されています。
- ワルソー円は、位相幾何学者の正弦曲線を(0,−1)と(1,sin(1))を結ぶ円弧で「閉じる」ことによって得られる。これはホモトピー群がすべて自明な1次元連続体であるが、収縮可能な空間ではない。
- nセルは、ユークリッド空間R n内の閉じた球に同相な空間です。収縮可能であり、 n次元連続体の最も単純な例です。
- n球面は、 ( n + 1) 次元ユークリッド空間内の標準n 球面と同相な空間です。これは収縮できないn次元の同次連続体であり、したがってnセルとは異なります。
- ヒルベルト立方体は無限次元の連続体です。
- ソレノイドは、分解不可能な均質連続体の最も単純な例の 1 つです。ソレノイドは、弧状に接続されているわけでも、局所的に接続されているわけでもありません。
- シェルピンスキーのカーペットは、シェルピンスキーの普遍曲線とも呼ばれ、任意の 1 次元平面連続体の同相像を含む 1 次元平面ペアノ連続体です。
- 擬似弧は均質で遺伝的に分解不可能な平面連続体です。
プロパティ
連続体を構築するための基本的な手法には、ネストされた交差と逆極限の 2 つがあります。
- { X n } が連続体のネストされた族である場合、つまりX n ⊇ X n +1 である場合、それらの交差は連続体です。
連続体の有限または可算な積は連続体です。
参照
参考文献
出典
- Sam B. Nadler, Jr.、「連続体理論。入門」、純粋数学と応用数学、Marcel Dekker。ISBN 0-8247-8659-9 。
外部リンク
- 連続体理論における未解決問題
- 連続体理論の例
- 連続体理論と位相的ダイナミクス、M. Barge および J. Kennedy、『位相幾何学における未解決の問題』、J. van Mill および GM Reed (編集者)、Elsevier Science Publishers BV (北ホラント)、1990 年。
- ハイパースペースウィキ