シリンダーセット

数学において、円筒集合は集合の積上の積位相の基礎を形成し、円筒σ-代数の生成族でもある。

集合の集合が与えられたとき、集合内のすべての集合の直積を考えます。あるものに対応する正準射影は、積のすべての要素をその成分に写像する関数です。円筒集合は、正準射影の逆像、またはそのような逆像の有限積です。明示的には、 任意の に対して、集合の有限列、および の部分集合の形式の集合です 。 ${\displaystyle S}$ ${\textstyle X=\prod _{Y\in S}Y}$${\displaystyle Y\in S}$ ${\displaystyle p_{Y}:X\to Y}$${\displaystyle Y}$$${\displaystyle \bigcap _{i=1}^{n}p_{Y_{i}}^{-1}\left(A_{i}\right)=\left\{\left(x\right)\in X\mid p_{Y_{1}}(x)\in A_{1},\dots ,p_{Y_{n}}(x)\in A_{n}\right\}}$$${\displaystyle n}$${\displaystyle Y_{1},...Y_{n}\in S}$ ${\displaystyle A_{i}\subseteq Y_{i}}$${\displaystyle 1\leq i\leq n}$

そして、 内のすべての集合が位相空間であるとき、積位相は成分の開集合に対応する円筒集合によって生成される。つまり、の各に対して がにおいて開いているという形式の円筒である。同様に、可測空間の場合、円筒 σ-代数は成分の可測集合に対応する円筒集合によって生成されるものである。 ${\displaystyle S}$${\textstyle \bigcap _{i=1}^{n}p_{Y_{i}}^{-1}\left(U_{i}\right)}$${\displaystyle i}$${\displaystyle U_{i}}$${\displaystyle Y_{i}}$

円筒集合は有限個の開いた円筒の交差であるという制限は重要です。無限の交差を許可すると、一般に、より細かい位相が得られます。後者の場合、結果として得られる位相はボックス位相です。円筒集合がヒルベルト キューブになることはありません。

をn個のオブジェクトまたは文字を含む有限集合とする。これらの文字のすべての双無限文字列の集合は次のように表される。 ${\displaystyle S=\{1,2,\ldots ,n\}}$$${\displaystyle S^{\mathbb {Z} }=\{x=(\ldots ,x_{-1},x_{0},x_{1},\ldots ):x_{k}\in S\;\forall k\in \mathbb {Z} \}.}$$

上の自然な位相は離散位相である。離散位相の基本開集合は個々の文字から構成される。したがって、上の積位相の開円筒は ${\displaystyle S}$${\displaystyle S^{\mathbb {Z} }}$$${\displaystyle C_{t}[a]=\{x\in S^{\mathbb {Z} }:x_{t}=a\}.}$$

有限個の開いた円筒の交差は円筒集合である。 $${\displaystyle {\begin{aligned}C_{t}[a_{0},\ldots ,a_{m}]&=C_{t}[a_{0}]\,\cap \,C_{t+1}[a_{1}]\,\cap \cdots \cap \,C_{t+m}[a_{m}]\\&=\{x\in S^{\mathbb {Z} }:x_{t}=a_{0},\ldots ,x_{t+m}=a_{m}\}\end{aligned}}.}$$

円筒集合は閉開集合です。位相の要素として、円筒集合は定義により開集合です。開集合の補集合は閉集合ですが、円筒集合の補集合は円筒の和集合であるため、円筒集合も閉じており、したがって閉開集合です。

体K上の有限次元または無限次元の ベクトル空間( 実数や複素数など) が与えられると、円筒集合は と定義できます 。 ここで、 はのボレル集合であり、各 は上の線型汎関数です。つまり、 はへの代数的双対空間です。位相ベクトル空間を扱う場合、代わりに要素 に対して連続双対空間が定義されます。つまり、汎関数は連続線型汎関数であるとみなされます。 ${\displaystyle V}$ $${\displaystyle C_{A}[f_{1},\ldots ,f_{n}]=\{x\in V:(f_{1}(x),f_{2}(x),\ldots ,f_{n}(x))\in A\}}$$${\displaystyle A\subset K^{n}}$${\displaystyle K^{n}}$${\displaystyle f_{j}}$${\displaystyle V}$${\displaystyle f_{j}\in (V^{*})^{\otimes n}}$${\displaystyle V}$${\displaystyle f_{j}\in (V')^{\otimes n}}$${\displaystyle f_{j}}$

円筒集合は、 のサブセットである集合上の位相を定義するためによく使用され、記号力学の研究で頻繁に登場します。たとえば、有限型 のサブシフトを参照してください。円筒集合は、コルモゴロフの拡大定理を使用して測度を定義するためによく使用されます。たとえば、長さmの円筒集合の測度は、1/ mまたは1/2 ^mで与えられることがあります。 ${\displaystyle S^{\mathbb {Z} }}$

シリンダーセットは空間上の測定基準を定義するために使用できます。たとえば、文字列内の文字の 1−ε の割合が一致する場合、 2 つの文字列はε 近接していると言えます。

の文字列はp進数とみなすことができるため、 p進数の理論の一部は円筒集合に適用でき、特にp進測度とp進計量の定義は円筒集合に適用されます。これらのタイプの測度空間は、力学系の理論に登場し、非特異オドメーターと呼ばれます。これらのシステムを一般化したものには、マルコフオドメーターがあります。 ${\displaystyle S^{\mathbb {Z} }}$

位相ベクトル空間上の円筒集合は、量子場理論のファインマン経路積分や関数積分、および統計力学の分配関数の正式な定義を提供する抽象ウィーナー空間の定義^[要出典]の中核要素です。

• フィルター（集合論）  - 「大きな」集合を表す集合の族
• トポロジーにおけるフィルター – フィルターを使用して、すべての基本的なトポロジーの概念と結果を記述および特徴付けます。
• 円筒集合測度 - 積空間上の測度を生成する方法Pages displaying wikidata descriptions as a fallback
• 円筒形σ代数
• 投影（集合論）  - 集合論における2つの密接に関連した関数または演算の1つPages displaying wikidata descriptions as a fallback
• 超積 – 数学的構成

• RA Minlos (2001) [1994]、「シリンダーセット」、数学百科事典、EMS Press