分離公理の歴史

一般位相幾何学における分離公理の歴史は複雑で、同じ用語に対して多くの意味が競合し、同じ概念に対して多くの用語が競合してきました。

位相空間の現在の一般的な定義以前には、多くの定義が提示されており、その中には（現在我々が考える）分離公理を前提としているものもあった。例えば、 1914 年にフェリックス・ハウスドルフによって与えられた定義は、現代の定義にハウスドルフの分離公理を加えたものと同等である。

分離公理は、グループとして、距離化可能性の研究において重要になりました。距離化可能性とは、どの位相空間に距離空間の構造を与えることができるかという問題です。距離空間はすべての分離公理を満たしますが、実際には、いくつかの公理のみを満たす空間を研究することで、完全な距離化可能性の概念を構築するのに役立ちます。

このように最初に一緒に研究された分離公理は、アクセス可能な空間、ハウスドルフ空間、正則空間、および正規空間の公理でした。位相学者はこれらの空間のクラスに T ₁、 T ₂、 T ₃、および T _{4という名前を割り当てました。後にこの番号付けシステムは、} T ₀、T _2½、T _3½ (または T _π )、T ₅、およびT ₆を含むように拡張されました。

しかし、このシーケンスには問題がありました。i > jの場合、すべての T _i空間は特別な種類の T _j空間であるという考えでした。しかし、定義はさまざまであるため、これは必ずしも真実ではありません。たとえば、正則空間 (T ₃と呼ばれる) は、少なくとも正則空間の最も単純な定義によれば、 ハウスドルフ空間 (T ₂と呼ばれる) である必要はありません。

_{T 0}、 T ₁、および T ₂についてはすべての著者が同意しました。ただし、他の公理については、研究内容に応じて、著者によって大幅に異なる定義が使用される可能性があります。これらの違いが生じる可能性があるのは、位相空間が T ₁公理を満たすと仮定すると、さまざまな定義が (ほとんどの場合) 同等になるためです。したがって、その仮定を行う場合は、最も単純な定義を使用することをお勧めします。ただし、その仮定を行わない場合、最も単純な定義は、最も有用な概念に適したものではない可能性があります。いずれにせよ、T _iのT _jによる (推移的な)含意が破壊され、(たとえば) 非ハウスドルフ正則空間が可能になります。

距離化問題に取り組む位相学者は、一般的にT _{1 を仮定してい}ました。結局のところ、すべての距離空間は T _{1です。したがって、彼らは T i}に最も単純な定義を使用しました。そして、 T _{1 を仮定し}なかった場合には、より複雑な定義を単純な定義と対比するために、それらの定義に「正則」および「標準」という単語を使用しました。このアプローチは、1970 年にLynn A. SteenとJ. Arthur Seebach, Jr.によるCounterexamples in Topologyの出版まで使用されていました。

対照的に、 1955 年にジョン L. ケリーが率いた一般位相学者は、通常 T _{1 を}仮定しなかったため、最初から最大限の一般性で分離公理を研究しました。彼らは T _{iに対してより複雑な定義を使用し、常に T i}と T _jを関連付ける適切な特性を持つようにしました。次に、より単純な定義に対して、単語 (ここでも「正則」と「標準」) を使用しました。両方の慣習は「元の」意味に従っていると言えます。異なる意味は、元のコンテキストである T ₁空間に対しては同じです。しかし、結果として、異なる著者がさまざまな用語をまったく逆の方法で使用しました。混乱を増長させるのは、一部の文献では公理と公理を満たす空間との間に適切な区別が見られることです。そのため、T ₃空間は公理T ₃と T _{0 を}満たす必要がある場合があります(たとえば、Encyclopedic Dictionary of Mathematics、第 2 版)。

1970 年以降、一般位相幾何学用語は解析学などの数学の他の分野を含めて人気が高まってきました。しかし、使用法はまだ一貫していません。

スティーンとゼーバッハは、ウリゾーン空間を「任意の 2 点に対してウリゾーン関数を持つ空間」と定義しています。ウィラードはこれを完全ハウスドルフ空間と呼んでいます。スティーンとゼーバッハは、完全ハウスドルフ空間または T _{2 1 ⁄ 2}空間を、2 点ごとに閉じた近傍で区切られた空間と定義しており、ウィラードはこれをウリゾーン空間または T _{2 1 ⁄ 2}空間と呼んでいます。

• トポロジーの歴史

• ケリー、ジョン L. (1975) [1955].一般位相幾何学.数学大学院テキスト. 第 27 巻 (第 2 版). ニューヨーク: Springer-Verlag. ISBN 978-0-387-90125-1. OCLC  1365153.
• スティーン、リン・アーサー;シーバッハ、J.アーサー・ジュニア(1995) [1978]、位相幾何学における反例( 1978年版のドーバー再版)、ベルリン、ニューヨーク:シュプリンガー・フェアラーク、ISBN 978-0-486-68735-3、MR  0507446
• スティーブン・ウィラード『一般位相幾何学』、アディソン・ウェスレー、1970年。ドーバー出版、ニューヨーク、2004年に再版。ISBN 0-486-43479-6（ドーバー版）。 
• ウィラード、スティーブン（2004）[1970]。一般位相幾何学。ミネオラ、ニューヨーク：ドーバー出版。ISBN 978-0-486-43479-7. OCLC  115240.