トポロジー

位相幾何学（ギリシア語のτόπος（場所、位置）とλόγος（研究）に由来）は、伸ばす、ねじる、くしゃくしゃにする、曲げるなどの連続的な変形下でも保持される幾何学的物体の特性、つまり穴が閉じたり、開いたり、裂けたり、接着したり、物体自体を貫通したりしない特性を扱う数学の分野です。

位相空間は、位相と呼ばれる構造を備えた集合であり、位相によって部分空間の連続的な変形、より一般的にはあらゆる種類の連続性が定義されます。ユークリッド空間、より一般的には計量空間は位相空間の例であり、任意の距離または計量が位相を定義します。位相で考慮される変形は、同相写像とホモトピーです。このような変形に対して不変な特性は位相特性です。以下は位相特性の基本的な例です。次元は直線と面を区別することを可能にします。コンパクト性は直線と円を区別することを可能にします。連結性は円と 2 つの交差しない円を区別することを可能にします。

位相幾何学の根底にある考え方は、17 世紀に位置幾何学と位置解析を構想したゴットフリート・ヴィルヘルム・ライプニッツに遡ります。レオンハルト・オイラーのケーニヒスベルクの 7 つの橋問題と多面体公式は、おそらくこの分野の最初の定理です。位相幾何学という用語は19世紀にヨハン・ベネディクト・リスティングによって導入されましたが、位相空間という考え方が登場したのは 20 世紀初頭になってからでした。

位相幾何学の背後にある動機となる洞察は、いくつかの幾何学的問題は、関係する物体の正確な形状ではなく、むしろそれらの組み合わせ方によって決まるというものです。たとえば、正方形と円には多くの共通する特性があります。どちらも 1 次元の物体 (位相幾何学的観点から) であり、どちらも平面を内側と外側の 2 つの部分に分割します。

位相幾何学における最初の論文の 1 つで、レオンハルト オイラーは、ケーニヒスベルク (現在のカリーニングラード)の町を通る7 つの橋をすべて 1 回ずつ渡る経路を見つけることは不可能であることを証明しました。この結果は、橋の長さや橋同士の距離には依存せず、どの橋がどの島や川岸と接続しているかという接続特性のみに依存していました。このケーニヒスベルクの 7 つの橋の問題は、グラフ理論として知られる数学の分野につながりました。

同様に、代数位相幾何学の毛玉定理は、「毛玉の上で髪を平らにとかしても、つむじができてしまう」と述べています。この事実は、球面上にはゼロでない連続接線ベクトル場は存在しないという定理のより正式な記述を理解していない人でも、ほとんどの人にとってすぐに納得できるものです。ケーニヒスベルクの橋と同様に、結果は球面の形状に依存しません。穴がない限り、あらゆる種類の滑らかな塊に適用されます。

物体の正確な形状に依存しないこれらの問題に対処するには、これらの問題がどのような特性に依存しているかを明確にする必要があります。この必要性から、同相性の概念が生まれます。各橋を 1 回だけ渡ることができないという不可能性は、ケーニヒスベルクの橋に同相な任意の橋の配置に適用され、毛玉定理は球に同相な任意の空間に適用されます。

直感的に、2 つの空間は、切断や接着をせずに一方を他方に変形できる場合、同相である。「位相幾何学者の朝食」として知られる有名な例は、位相幾何学者がコーヒー マグカップとドーナツを区別できないというものである。十分に柔軟なドーナツは、くぼみを作って徐々に大きくし、穴を小さくして取っ手の形にすることで、コーヒー カップの形に作り直すことができる。^[1]

同相は、最も基本的な位相同値性であると考えられます。もう 1 つはホモトピー同値性です。これは、技術的な話にならずに説明するのが難しいですが、基本的な概念は、2 つのオブジェクトが両方とも、より大きなオブジェクトを「押しつぶす」ことによって生成される場合、ホモトピー同値であるということです。

位相幾何学は、明確に定義された数学の分野として、20世紀初頭に始まったが、いくつかの孤立した結果は数世紀前に遡ることができる。^[2]これらの中には、レオンハルト・オイラーが研究した幾何学の特定の問題が含まれる。1736年に発表されたケーニヒスベルクの7つの橋に関する論文は、位相幾何学の最初の実用的応用の1つと見なされている。^[2] 1750年11月14日、オイラーは友人に、多面体の辺の重要性に気づいたと書いた。これが、彼の多面体公式、V − E + F = 2（ここで、V、E、Fはそれぞれ多面体の頂点、辺、面の数を表す）につながった。一部の権威者は、この分析を位相幾何学の誕生を告げる最初の定理と見なしている。^[3]

オーギュスタン＝ルイ・コーシー、ルートヴィヒ・シュレーフリ、ヨハン・ベネディクト・リスティング、ベルンハルト・リーマン、エンリコ・ベッティらもこの分野に貢献した。^[4]リスティングは1847年に母国語であるドイツ語で書いた著書『トポロジー論』の中で「トポロジー」という用語を導入したが、この言葉は印刷物に初めて登場する以前から10年間、書簡の中で使用していた。^{[5]英語の「トポロジー」という語は1883年に}ネイチャー誌に掲載されたリスティングの死亡記事で「量的関係を主に扱う通常の幾何学と質的幾何学を区別するため」に使用された。^[6]

彼らの研究はアンリ・ポアンカレによって修正され、統合され、大幅に拡張された。1895年に彼は画期的な論文「位置解析」を発表し、現在では代数的位相幾何学の一部とみなされているホモトピーとホモロジーという概念を導入した。^[4]

モーリス・フレシェは、ゲオルク・カントール、ヴィト・ヴォルテラ、チェーザレ・アルツェラ、ジャック・アダマール、ジュリオ・アスコリらによる関数空間に関する研究を統合し、 1906年に計量空間を導入した。 ^[7]計量空間は現在では一般的な位相空間の特殊なケースと考えられており、任意の位相空間から多くの異なる計量空間が生じる可能性がある。1914年、フェリックス・ハウスドルフは「位相空間」という用語を作り出し、現在ハウスドルフ空間と呼ばれているものの定義を与えた。^{[8]現在、位相空間は、1922年に}カジミエシュ・クラトフスキによって与えられたハウスドルフ空間の若干の一般化である。^[9]

現代の位相幾何学は、19 世紀後半にゲオルク・カントールが発展させた集合論の考え方に大きく依存しています。集合論の基本的な考え方を確立したことに加え、カントールはフーリエ級数の研究の一環としてユークリッド空間の点集合について考察しました。さらなる発展については、点集合位相幾何学および代数位相幾何学 を参照してください。

2022年のアーベル賞は、「最も広い意味での位相幾何学、特に代数的、幾何学的、力学的側面への画期的な貢献」によりデニス・サリバンに授与された。 ^[10]

トポロジーという用語は、トポロジーと呼ばれる数学の分野の中心となる特定の数学的概念を指すこともあります。非公式には、トポロジーは集合の要素が互いに空間的にどのように関係しているかを説明します。同じ集合が異なるトポロジーを持つ場合があります。たとえば、実数直線、複素平面、およびカントール集合は、異なるトポロジーを持つ同じ集合と考えることができます。

正式には、X を集合とし、τ をXの部分集合の族とします。次の場合、τはX上の位相と呼ばれます。

1. 空集合とXは両方ともτの要素です。
2. τの要素の任意の和集合はτの要素です。
3. τの有限個の要素の交差はすべてτの要素です。

τ がX上の位相である場合、ペア( X、τ )は位相空間と呼ばれます。表記X _{τ は、}特定の位相τが備わった集合X を表すために使用できます。定義により、すべての位相はπシステムです。

τの要素はXの開集合と呼ばれます。Xの部分集合は、その補集合がτに含まれる場合（つまり、その補集合が開いている場合）、閉じていると言われます。Xの部分集合は、開いている場合、閉じている場合、その両方である場合（閉開集合）、またはそのどちらでもない場合があります。空集合とX自体は、常に閉じていて開いている。点x を含むXの開部分集合は、xの開近傍と呼ばれます。

ある位相空間から別の位相空間への関数または写像は、任意の開集合の逆像が開であるとき連続的であるといいます。 関数が実数を実数に写す場合( どちらの空間も標準位相です)、この連続の定義は微積分における連続の定義と同等です。連続関数が1 対 1かつ上に写っていて、関数の逆も連続である場合、関数は同相写像と呼ばれ、関数の定義域は値域に同相であるといわれます。別の言い方をすると、関数は位相に自然な拡張を持つということです。2 つの空間が同相である場合、それらは同一の位相特性を持ち、位相的に同一であると見なされます。立方体と球は同相であり、コーヒー カップとドーナツも同様です。ただし、球はドーナツに同相ではありません。

位相空間は極めて多様で風変わりなものになり得るが、位相幾何学の多くの分野では、多様体として知られるより馴染みのある空間のクラスに焦点が当てられている。多様体とは、各点の近くでユークリッド空間に類似する位相空間である。 より正確には、n次元多様体の各点には、次元nのユークリッド空間に同相な近傍が存在する。直線と円は1 次元多様体であるが、8の字は1 次元多様体ではない。2 次元多様体は面とも呼ばれるが、すべての面が多様体であるわけではない。例としては、平面、球面、トーラスなどがあり、これらはすべて 3 次元で自己交差なしに実現できるが、クラインの壺と実射影平面は自己交差することができない (つまり、これらを実現すると、すべて多様体ではない面になる)。

一般位相幾何学は位相幾何学で使用される基本的な集合論的定義と構成を扱う位相幾何学の一分野である。^{[11] [12]}これは微分位相幾何学、幾何位相幾何学、代数位相幾何学を含む他のほとんどの位相幾何学の分野の基礎となっている。一般位相幾何学の別名は点集合位相幾何学である。

基本的な研究対象は位相空間で、位相空間とは、有限の交差と（有限または無限の）和に対して閉じている、開集合と呼ばれる部分集合の族である位相を備えた集合です。連続性、コンパクト性、連結性などの位相の基本概念は、開集合によって定義できます。直感的には、連続関数は近くの点を近くの点に移動します。コンパクト集合は、任意の小さなサイズの有限個の集合でカバーできる集合です。連結集合は、遠く離れた 2 つの部分に分割できない集合です。近くにある、任意に小さい、遠く離れているという語はすべて、開集合を使用することで明確にすることができます。特定の空間には、いくつかの位相を定義できます。位相を変更するには、開集合のコレクションを変更します。これにより、どの関数が連続しているか、どの部分集合がコンパクトまたは連結しているかが変わります。

距離空間は、任意の 2 点間の距離が距離と呼ばれる関数によって定義される位相空間の重要なクラスです。距離空間では、開集合は開円板の和集合であり、xを中心とする半径rの開円板は、 xまでの距離がr未満であるすべての点の集合です。多くの一般的な空間は、位相を距離によって定義できる位相空間です。実数直線、複素平面、実数および複素数ベクトル空間、ユークリッド空間がこれに該当します。距離があると、多くの証明が簡単になります。

代数的位相幾何学は、代数学のツールを使って位相空間を研究する数学の一分野です。 ^[13]基本的な目標は、位相空間を同相まで分類する代数的不変量を見つけることですが、通常はホモトピー同値まで分類するものがほとんどです。

これらの不変量の中で最も重要なものは、ホモトピー群、ホモロジー、コホモロジーです。

代数的位相幾何学では、主に位相問題を研究するために代数を使用しますが、位相幾何学を使用して代数的問題を解決することもできます。たとえば、代数的位相幾何学では、自由群の任意の部分群が再び自由群であることを簡単に証明できます。

微分位相幾何学は、微分可能多様体上の微分可能関数を扱う分野です。^[14]微分幾何学と密接に関連しており、微分可能多様体の幾何学理論を構成しています。

より具体的には、微分位相幾何学では、多様体上の滑らかな構造のみを定義する必要がある特性と構造を考慮します。滑らかな多様体は、微分位相幾何学に存在する特定の種類の同値性や変形の障害となる可能性のある追加の幾何学的構造を持つ多様体よりも「柔軟」です。たとえば、体積とリーマン曲率は、同じ滑らかな多様体上の異なる幾何学的構造を区別できる不変量です。つまり、特定の多様体を滑らかに「平坦化」することはできますが、そのためには空間を歪めて曲率や体積に影響を与える必要がある場合があります。

幾何位相幾何学は、主に低次元多様体（つまり、2、3、4次元の空間）とそれらの幾何学との相互作用に焦点を当てた位相幾何学の一分野ですが、高次元位相幾何学も含まれています。^[15]幾何位相幾何学のトピックの例には、配向可能性、ハンドル分解、局所平坦性、しわ、平面および高次元シェーンフライの定理などがあります。

高次元位相幾何学では、特性類は基本的な不変量であり、手術理論は重要な理論です。

低次元トポロジーは、2 次元の均一化定理に反映されているように、非常に幾何学的です。2 次元では、すべての表面が一定の曲率計量を許容し、幾何学的には、正の曲率/球面、ゼロ曲率/平面、負の曲率/双曲面の 3 つのジオメトリのいずれかを持ちます。また、3 次元では、幾何学化予想(現在は定理) に反映されているように、すべての 3 次元多様体は断片に分割でき、各断片には 8 つのジオメトリのいずれかがあります。

2 次元位相は、1 変数の複素幾何学として研究できます (リーマン面は複素曲線です)。均一化定理により、すべての共形計量クラスは、一意の複素計量クラスと同等です。また、4 次元位相は、2 変数の複素幾何学 (複素面) の観点から研究できますが、すべての 4 次元多様体が複素構造を許容するわけではありません。

時々、位相幾何学のツールを使う必要があるが、「点の集合」が利用できないことがあります。無点位相幾何学では、代わりに開集合の格子を理論の基本概念として考えます。 ^[16 ]一方、グロタンディーク位相は、任意のカテゴリ上に定義された構造であり、それらのカテゴリ上の層の定義を可能にし、それによって一般的なコホモロジー理論の定義が可能になります。^[17]

トポロジーは、分子やナノ構造（膜状物体など）を含むさまざまな生物学的システムの研究に使用されてきました。特に、回路トポロジーと結び目理論は、折り畳まれたタンパク質や核酸のトポロジーを分類および比較するために広く適用されてきました。回路トポロジーは、折り畳まれた分子鎖を、その鎖内接触と鎖交差のペアワイズ配置に基づいて分類します。トポロジーの分野である結び目理論は、生物学において特定の酵素がDNAに及ぼす影響を研究するために使用されます。これらの酵素はDNAを切断、ねじり、再接続し、結び目を引き起こし、電気泳動が遅くなるなどの目に見える効果をもたらします。^[18]

位相データ解析では、代数位相幾何学の技術を使用して、集合の大規模な構造を決定します (たとえば、点の集合が球状かトーラス状かを決定します)。位相データ解析で使用される主な方法は次のとおりです。

1. データ ポイントのセットを、近接パラメータによってインデックス付けされた単体複体のファミリーに置き換えます。
2. これらの位相複体を代数的位相幾何学、具体的には永続ホモロジー理論によって解析する。^[19]
3. データセットの永続的な相同性をベッティ数のパラメータ化されたバージョンの形式でエンコードします。これをバーコードと呼びます。^[19]

プログラミング言語意味論のいくつかの分野、例えばドメイン理論は位相幾何学を用いて形式化されている。この文脈において、スティーブ・ヴィッカーズはサムソン・アブラムスキーとマイケル・B・スミスの研究を基に、位相空間を半決定可能（つまり有限観測可能）な性質を持つ開集合上のブール代数またはヘイティング代数として特徴付けている。^[20]

トポロジーは、凝縮物質物理学、^[21] 、量子場の理論、物理的宇宙論などの分野で物理学に関連しています。

固体の機械的性質の位相依存性は、機械工学や材料科学の分野で興味深いものです。電気的および機械的性質は、材料中の分子や基本単位の配置とネットワーク構造に依存します。 ^[22]しわくちゃの位相の圧縮強度は、ほとんどが空の空間であるそのような構造の重量に対する高い強度を理解するために研究されています。^{[23]位相は}接触力学においてさらに重要であり、表面構造の次元に対する剛性と摩擦の依存性は、多体物理学への応用において興味深い主題です。

位相量子場理論（または位相場理論、TQFT）は、位相不変量を計算する量子場理論です。

TQFT は物理学者によって発明されたが、結び目理論、代数位相幾何学における4 次元多様体理論、代数幾何学におけるモジュライ空間理論などと関連しており、数学的にも興味深い。ドナルドソン、ジョーンズ、ウィッテン、コンツェビッチはいずれも位相場理論に関連する研究で フィールズ賞を受賞している。

カラビ・ヤウ多様体の位相的分類は弦理論において重要な意味を持つ。なぜなら異なる多様体が異なる種類の弦を支えることができるからである。^[24]

宇宙論では、位相幾何学は宇宙の全体的な形状を記述するために使われます。^[25]この研究分野は一般に時空位相幾何学として知られています。

凝縮物質において、一方向電流、つまり後方散乱から保護された電流を得る可能性は、位相物理学への適切な応用である。これは、有名な量子ホール効果によって電子工学で最初に発見され、その後、物理学の他の分野、例えばFDMハルデインによるフォトニクス^[26]に一般化された。

ロボットの可能な位置は、構成空間と呼ばれる多様体によって記述することができます。^[27]動作計画の分野では、構成空間内の2点間の経路を見つけます。これらの経路は、ロボットの関節やその他の部分が目的のポーズをとるための動作を表しています。^[28]

解離パズルは、パズルの形状と構成要素の位相的側面に基づいています。^{[29] [30] [31]}

モジュール構造においてピースの連続的な接合部を作成するには、各ピースを囲み、各辺を1回だけ通過する連続した経路を作成する必要があります。このプロセスはオイラー経路の応用です。^[32]

• Geometry & Topology - Mathematical Sciences Publishersが発行する、幾何学と位相学、およびその応用に焦点を当てた数学研究ジャーナル。
• Journal of Topology -位相幾何学、幾何学、および数学の関連分野における高品質で重要な論文を掲載する科学雑誌。

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• ウィラード、スティーブン (2016)。一般位相幾何学。ドーバー数学書籍。ミネオラ、ニューヨーク州: ドーバー出版。ISBN 978-0-486-43479-7 
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• ワツワフ・シェルピンスキー、『一般トポロジー』、Dover Publications、2000 年、ISBN 0-486-41148-6 
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ウィキメディア・コモンズには、トポロジーに関連するメディアがあります。

Wikiquote にはトポロジーに関する引用があります。

Wikibooksにはトポロジーに関する詳細があります

• 「トポロジー、一般」。数学百科事典。EMS Press。2001 [1994]。
• 初級トポロジー: 第 1 コース ヴィロ、イワノフ、ネツヴェターエフ、ハルラモフ。
• ジオメトリ センターのトポロジカル動物園。
• トポロジーアトラス
• トポロジーコースの講義ノート、Aisling McCluskey と Brian McMaster、トポロジー アトラス。
• トポロジー用語集
• モスクワ 1935: アメリカに向かうトポロジー、ハスラー・ホイットニーによる歴史エッセイ。