方程式

方程式は、秤、天秤、またはシーソーに例えることができる。

等式の両辺は、天秤の片側、つまり左側と右側に対応します。両側に異なる量を置くことができます。両側の重さが等しい場合、天秤は釣り合います。同様に、釣り合いを表す等式も釣り合います（釣り合いが取れていない場合は、不等式で表される不等式に対応します）。

図において、x、y、zはすべて異なる量（この場合は実数）であり、円形の重りとして表されています。x、y、zはそれぞれ異なる重さを持っています。加算は重さを加えることに対応し、減算は既にある重さから重さを取り除くことに対応します。等号が成り立つ場合、両側の合計重さは同じになります。

方程式には、未知数以外の項が含まれることがよくあります。これらの既知であると仮定される項は、通常、定数、係数、またはパラメータと呼ばれます。

xとyを未知数とし、パラメータRを含む方程式の例は次のとおりです。

${\displaystyle x^{2}+y^{2}=R^{2}.}$

Rの値が2（R = 2）の場合、この方程式はデカルト座標系において、原点を中心とする半径2の円の方程式として認識されます。したがって、 Rが指定されていない方程式は、円の一般式となります。

通常、未知数はアルファベットの末尾の文字x、y、z、w、 ... で表され、係数（パラメータ）はアルファベットの先頭の文字a、b、c、d、 ... で表されます。例えば、一般的な二次方程式は通常ax ²  + bx + c = 0 と書かれます。     

解を求める過程、あるいはパラメータの場合、未知数をパラメータで表す過程を方程式を解くという。パラメータで表したこのような解の表現もまた、解と呼ばれる。

連立方程式とは、通常複数の未知数を含む連立方程式の集合であり、それらの共通解を求めます。したがって、連立方程式の解とは、各未知数の値の集合であり、それらが組み合わさって連立方程式の各方程式の解を形成します。例えば、次の連立方程式は、

${\displaystyle {\begin{aligned}3x+5y&=2\\5x+8y&=3\end{aligned}}}$

唯一の解はx  =  −1, y  =  1 である。

恒等式とは、その式に含まれる変数のすべての値に対して成り立つ方程式のことです。代数学や微積分学では、多くの恒等式が知られています。方程式を解く過程では、恒等式を用いて方程式を簡略化し、解きやすくすることがよく行われます。

代数学において、恒等式の例としては、2乗の差が挙げられる。

${\displaystyle x^{2}-y^{2}=(x+y)(xy)}$

これはすべてのxとyについて当てはまります。

三角法には多くの恒等式が存在し、これらは三角方程式を操作したり解いたりする際に役立ちます。正弦関数と余弦関数に関わる多くの恒等式のうち、2つを以下に示します。

$\displaystyle \sin ^{2}(\theta )+\cos ^{2}(\theta )=1}$

そして

${\displaystyle \sin(2\theta )=2\sin(\theta )\cos(\theta )}$

これらはどちらも、 θのすべての値に対して真である。

例えば、次の式を満たすθの値を求めるには、次のようにします。

${\displaystyle 3\sin(\theta )\cos(\theta )=1\,,}$

θが0度から45度の間に制限されている場合、上記の積の恒等式を使用して次の式を得ることができます。

${\displaystyle {\frac {3}{2}}\sin(2\theta )=1\,,}$

θに対する以下の解が得られる。

$\displaystyle \theta ={\frac {1}{2}}\arcsin \left({\frac {2}{3}}\right)\approx 20.9^{\circ }.}$

正弦関数は周期関数であるため、 θに制限がない場合、解は無限に存在します。この例では、θを0度から45度の間に制限すると、解は1つの数値に限定されます。

一般的に、代数方程式または多項式方程式は、次の形式の方程式である。

${\displaystyle P=0}$、 または

${\displaystyle P=Q}$^{[ a ]}

ここで、PとQは、ある体（例えば、有理数、実数、複素数）の係数を持つ多項式です。代数方程式は、 1つの変数のみを含む場合、単変数と呼ばれます。一方、多項式方程式は複数の変数を含む場合があり、その場合は多変数（複数の変数、x、y、zなど）と呼ばれます。

例えば、

${\displaystyle x^{5}-3x+1=0}$

は整数係数を持つ一変数代数（多項式）方程式であり、

${\displaystyle y^{4}+{\frac {xy}{2}}={\frac {x^{3}}{3}}-xy^{2}+y^{2}-{\frac {1}{7}}}$

これは有理数上の多変数多項式方程式です。

有理係数を持つ多項式方程式の中には、係数のみを含む有限個の演算で解ける代数式（つまり、代数的に解ける式）を持つものがあります。これは、1次、2次、3次、4次のすべての方程式に対して可能ですが、5次以上の方程式は、アーベル・ルフィニの定理が示すように、必ずしもこの方法で解けるとは限りません。

1変数代数方程式の実数解または複素数解の効率的かつ正確な近似値を計算すること（多項式の根の探索を参照）や、複数の多変数多項式方程式の共通解を計算すること（多項式方程式系を参照）に多くの研究が費やされてきました。

線形方程式系（または線形システム）とは、1つ以上の変数を含む線形方程式の集合のことです。^{[ b ]}例えば、

${\displaystyle {\begin{alignedat}{7}3x&&\;+\;&&2y&&\;-\;&&z&&\;=\;&&1&\\2x&&\;-\;&&2y&&\;+\;&&4z&&\;=\;&&-2&\\-x&&\;+\;&&{\tfrac {1}{2}}y&&\;-\;&&z&&\;=\;&&0&\end{alignedat}}}$

これは、3つの変数x、y、zに関する3つの方程式からなる連立方程式です。線形連立方程式の解とは、すべての方程式が同時に満たされるような変数への数値の割り当てのことです。上記の連立方程式の解は次のように与えられます。

${\displaystyle {\begin{alignedat}{2}x&\,=\,&1\\y&\,=\,&-2\\z&\,=\,&-2\end{alignedat}}}$

なぜなら、それによって3つの方程式すべてが有効になるからです。「システム」という言葉は、方程式を個別にではなく、まとめて考えるべきであることを示しています。

数学において、線形システムの理論は線形代数の基礎となる部分であり、現代数学の多くの分野で用いられています。解を求めるための計算アルゴリズムは数値線形代数の重要な部分であり、物理学、工学、化学、コンピュータ科学、経済学において重要な役割を果たしています。非線形方程式系は、多くの場合、線形システムで近似することができ（線形化を参照）、これは比較的複雑なシステムの数学モデルやコンピュータシミュレーションを作成する際に役立つ手法です。

ユークリッド幾何学では、例えば直交格子を用いて、空間内の各点に座標の集合を関連付けることができます。この方法により、幾何学的図形を方程式で特徴付けることができます。3次元空間の平面は、次の形式の方程式の解集合として表現できます。${\displaystyle ax+by+cz+d=0}$、 どこ${\displaystyle a,b,c}$そして${\displaystyle d}$は実数であり、${\displaystyle x,y,z}$は、直交グリッドで与えられるシステム内の点の座標に対応する未知数です。${\displaystyle a,b,c}$は、方程式で定義される平面に垂直なベクトルの座標です。直線は、2 つの平面の交点、つまり、 の値が である単一の線形方程式の解集合として表されます。${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$または、値が の 2 つの線形方程式の解集合として${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}.}$

円錐曲線は、円錐と方程式の交点です。${\displaystyle x^{2}+y^{2}=z^{2}}$そして平面。言い換えれば、空間においては、すべての円錐曲線は、平面の方程式と、先ほど述べた円錐の方程式の解集合として定義される。この形式を用いることで、円錐曲線の焦点の位置と性質を決定することができる。

方程式を用いることで、幾何学的な問題を解決するために数学の幅広い分野を活用できる。デカルト座標系は、図形を方程式に変換することで、幾何学的な問題を解析的な問題へと変える。これが解析幾何学という名称の由来である。デカルトによって提唱されたこの考え方は、古代ギリシャの数学者たちが構想した幾何学を豊かにし、修正するものである。

現在、解析幾何学は数学の活発な分野の一つである。図形を記述するために方程式を用いるのは依然として変わらないが、関数解析や線形代数といった高度な手法も活用している。

デカルト幾何学では、幾何学的図形を記述するために方程式が用いられます。陰関数方程式や媒介変数方程式など、考慮される方程式は無限に多くの解を持つため、目的は異なります。解を明示的に示したり、その数を数えたりすることは不可能であるため、方程式を用いて図形の性質を研究するのです。これが、数学の重要な分野である代数幾何学の出発点となる考え方です。

同じ原理を用いて、3次元空間内の任意の点の位置を、互いに直交する3つの平面までの符号付き距離である3つのデカルト座標（または、同等に、互いに直交する3つの直線への垂直投影）によって指定することができる。

17世紀にルネ・デカルトがデカルト座標を発明したことで、ユークリッド幾何学と代数学の間に初めて体系的なつながりがもたらされ、数学は革命的な変化を遂げました。デカルト座標系を用いると、幾何学的形状（曲線など）はデカルト方程式、つまり形状上の点の座標を含む代数方程式で記述できます。例えば、原点と呼ばれる特定の点を中心とする平面上の半径2の円は、座標xとyが方程式x² + y² = 4^を満たすすべての点の集合として記述できます。

曲線の媒介変数方程式は、曲線の点の座標を、パラメータと呼ばれる変数の関数として表します。^{[ 8 ] [ 9 ]}例えば、

${\displaystyle {\begin{aligned}x&=\cos t\\y&=\sin t\end{aligned}}}$

これらは単位円の媒介変数表示であり、tはパラメータです。これらの式をまとめて、曲線の媒介変数表示と呼びます。

パラメトリック方程式の概念は、曲面、多様体、およびより高次元の代数多様体に一般化されており、パラメータの数は多様体または多様体の次元に等しく、方程式の数は多様体または多様体が考慮される空間の次元に等しくなります（曲線の場合は次元が1で1つのパラメータが使用され、曲面の場合は次元が2で2つのパラメータが使用されるなど）。

ディオファントス方程式とは、 2つ以上の未知数を含む多項式方程式で、すべての未知数が整数値をとる解のみを求めるものです。線形ディオファントス方程式は、次数が0または1の単項式の2つの和の間の方程式です。線形ディオファントス方程式の例は、ax + by = cで、 a、b、cは定数です。指数ディオファントス方程式とは、方程式の項の指数が未知数となる方程式です。

ディオファントス問題は、未知変数の数よりも方程式の数が少なく、すべての方程式を正しく満たす整数を求める問題です。より専門的な言葉で言えば、代数曲線、代数曲面、あるいはより一般的な対象を定義し、その上の整数格子点について問う問題です。

ディオファントスという言葉は、3世紀のヘレニズム時代の数学者、アレクサンドリアのディオファントスに由来する。彼はこうした方程式を研究し、代数学に記号を導入した最初の数学者の一人であった。ディオファントスが始めたディオファントス問題の数学的研究は、現在ではディオファントス解析と呼ばれている。

代数的数とは、有理係数を持つ1変数多項式方程式（または分母を消去することで整数係数を持つ多項式方程式）の解となる数のことです。πのような代数的数ではない数は超越数と呼ばれます。実数と複素数のほとんどは超越数です。

代数幾何学は数学の一分野であり、古典的には多項式方程式の解を研究する学問である。現代の代数幾何学は、抽象代数学、特に可換代数学のより抽象的な手法に基づき、幾何学の言語と問題を扱う。

代数幾何学における基本的な研究対象は代数多様体であり、これは多項式方程式系の解の幾何学的表現です。最もよく研​​究されている代数多様体のクラスの例としては、直線、円、放物線、楕円、双曲線、楕円曲線のような3次曲線、レムニスケートのような4次曲線、カッシーニ卵形などを含む平面代数曲線があります。平面上の点は、その座標が与えられた多項式方程式を満たす場合に代数曲線に属します。基本的な問題には、特異点、変曲点、無限遠点などの特別な関心のある点の研究が含まれます。より高度な問題には、曲線の位相と、異なる方程式によって与えられる曲線間の関係が含まれます。

常微分方程式（ODE）とは、1つの独立変数とその導関数を含む方程式のことです。「常微分方程式」という用語は、複数の独立変数を含む偏微分方程式と対比して用いられます。

係数を加算・乗算することで解が得られる線形微分方程式は、明確に定義され理解しやすく、厳密な閉形式解が得られます。一方、加法解を持たない常微分方程式は非線形であり、その解法ははるかに複雑です。なぜなら、閉形式で初等関数を用いて表すことはほとんど不可能だからです。代わりに、常微分方程式の厳密な解析解は級数または積分形式になります。手計算またはコンピュータによるグラフ法や数値計算法を用いることで、常微分方程式の解を近似的に求めることができ、場合によっては有用な情報が得られることもあります。厳密な解析解が得られない場合には、これらの近似解で十分な場合が多いのです。

偏微分方程式（PDE）とは、未知の多変数関数とその偏導関数を含む微分方程式のことです。（これは、単一変数の関数とその導関数を扱う常微分方程式とは対照的です。）偏微分方程式は、複数の変数を含む関数の問題を定式化するために使用され、手計算で解くか、関連するコンピュータモデルを作成するために使用されます。

偏微分方程式は、音、熱、静電気、電気力学、流体の流れ、弾性、量子力学など、さまざまな現象を記述するために使用できます。これらの、一見異なる物理現象も、偏微分方程式を用いて同様に定式化できます。常微分方程式がしばしば一次元力学系をモデル化するのと同様に、偏微分方程式はしばしば多次元系をモデル化します。偏微分方程式は、確率偏微分方程式において一般化されます。